概率论第三章第四章习题及答案

1、整理ppt19.以X记某医院一天出生的婴儿的个数，以Y记其中男婴的个数,设X和Y的联合分布律为(1)求边缘分布律(2)求条件分布律(3)写出X=20时,Y的条件分布律返回主目录第三章 多维随机变量及其分布., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0,)!( !)86. 6()14. 7(,14nnmmnmemYnXPmnm整理ppt2解:返回主目录第三章 多维随机变量及其分布nmmYnXPnXP0,) 1 (nmmnmmnme014)!( !)86. 6()14. 7(nmmnmmnmnne014)86. 6()14. 7()!( !nne)86. 614. 7(!14, 2 , 1 ,

2、0,!1414nnen., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0,)!( !)86. 6()14. 7(,14nnmmnmemYnXPmnm整理ppt3返回主目录第三章 多维随机变量及其分布mnmYnXPmYP,mnmnmmnme)!( !)86. 6()14. 7(14mnmnmmnme)!()86. 6()14. 7(!14., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0,)!( !)86. 6()14. 7(,14nnmmnmemYnXPmnm014!)86. 6()14. 7(!kkmkme86. 614)14. 7(!emem, 2 , 1 , 0,!)14. 7(14. 7m

3、mem整理ppt4返回主目录第三章 多维随机变量及其分布,|, 2 , 1 , 0)2(mYPmYnXPmYnXPm时当!)14. 7()!( !)86. 6()14. 7(14. 714memnmemmnm., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0,)!( !)86. 6()14. 7(,14nnmmnmemYnXPmnm, 1,)!()86. 6(86. 6mmnmnemn整理ppt5返回主目录第三章 多维随机变量及其分布,|, 2 , 1 , 0nYPmYnXPnXmYPn时当!14)!( !)86. 6()14. 7(1414nemnmenmnm., 2 , 1 , 0;, 2

4、, 1 , 0,)!( !)86. 6()14. 7(,14nnmmnmemYnXPmnmmnmmnC1486. 61414. 7nmCmnmmn, 2 , 1 , 0,49. 051. 0整理ppt6返回主目录第三章 多维随机变量及其分布|nXmYPnmCmnmmn, 2 , 1 , 0,49. 051. 020|)3(XmYP.20, 2 , 1 , 0,49. 051. 02020mCmmm整理ppt711.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为(1)求常数c(5)求(X,Y)的联合分布函数.返回主目录第三章 多维随机变量及其分布., 0,0 ,),(其他yxcxeyxfy. 11),()

5、 1 ( cdxdyyxf可解得由整理ppt8返回主目录第三章 多维随机变量及其分布.00其他,),(yxxeyxfydudvvufyxFxy ),(),()5(0;),(,00i)yxFyx时或当.21) 1(1),(,0ii)2000yxyuxyuvxxyuvexexdueeudveduududvueyxFxy 时当整理ppt9返回主目录第三章 多维随机变量及其分布.00其他,),(yxxeyxfy.121121) 1(1lim),(lim),(22yyxyxyxeyyexexyxFyyF则.1211),(),(,0iii)2yeyyyyFyxFyx时当整理ppt10返回主目录第三章 多维

6、随机变量及其分布.0,21) 1(1,0,1211, 00, 0),(22yxexexxyeyyyxyxFyxy或则整理ppt1125.设随机变量(X,Y)服从区域上的均匀分布,试求:返回主目录第三章 多维随机变量及其分布ayaxyxD0 ,0: ),(.,max)2(的概率密度YXM ).()(:(2)zfzFM和为分别的分布函数和概率密度设解整理ppt12返回主目录第三章 多维随机变量及其分布., 0,0 ,0 ,1),(),(2其它的联合密度函数为由题意知ayaxayxfYX0;)(,0i)zFz时当,0iii)时当az zZPzF)(zYzXP,zYXP,max zzdxdyyxf),

7、(1;)(,ii)zFaz时当.1)(22002azdxdyazFzz 整理ppt13返回主目录第三章 多维随机变量及其分布., 1,0, 0, 0)(22azazazzzF即., 0,0,2)()(2其它因此azazzFzf整理ppt1426.设随机变量X与Y相互独立,X的分布律为Y的概率密度为返回主目录第三章 多维随机变量及其分布., 0, 10, 1)(其他yyfY,1 , 0 , 131iiXP记Z=X+Y,试求:(2)Z的概率密度.).()(:(2)zfzFZ和分别为的分布函数和概率密度设解整理ppt15返回主目录第三章 多维随机变量及其分布0;)(,1i)zFz时当,01iii)时

8、当zzZPzF)(XzYPzYXP1;)(,2ii)zFz时当 11)(zYPXPzF,10iv)时当 z zYPXPzYPXPzF011)(,3131310zdyz,313110zdyz整理ppt16返回主目录第三章 多维随机变量及其分布XzYPzF)(,21v)时当 z 11011)(zYPXPzYPXPzYPXPzF,3131313110zdyz. 2, 1, 21,3) 1(, 1, 0)(zzzzzF即整理ppt17返回主目录第三章 多维随机变量及其分布., 0, 21,31)()(其它因此zzFzf整理ppt1828.设随机变量(X,Y)服从区域上的均匀分布,定义随机变量U,V如下

9、:求返回主目录第三章 多维随机变量及其分布1, 0: ),(22yxyyxD.0,),(UVPVU并计算的联合概率密度.3, 1,3, 0, 2,0 , 1, 0, 0YXYXVYXYXXU整理ppt19解:随机变量(X,Y)的联合概率密度为返回主目录第三章 多维随机变量及其分布., 0, 1, 0,2),(22其他yxyyxf, 0YXXPVUP3, 01, 0, 03,00, 1YXYXPVUP,413,01, 1YXYXPVUPYXXPVUP3, 00, 0,21整理ppt20返回主目录第三章 多维随机变量及其分布., 0, 1, 0,2),(22其他yxyyxfYXYXPVUP3,0,

10、 2dxdyxx 10112332方法方法二YXP3)sin(3312102txdxxx令则令事件,3,1, 02YXXYYA)6( ,6120, 2扇形角度为的面积AVUP整理ppt21返回主目录第三章 多维随机变量及其分布.12121614111, 2VUP0UVP1, 21, 1VUPVUP.3112141整理ppt222 设随机变量 服从几何分布,其分布律为X,11112xxxxxn111kkpkpXE)(,2111kppkXPk解:由于第四章 随机变量的数字特征).(),(XDXEp求为常数其中,10111kkpkp两边对x求导得 1132111122,xnxxxxn整理ppt23返

11、回主目录.)(ppppkpXEkk11111211因此(1)式两边对x求导得 21132211223,)(xnxnxxn.)(231111211211111ppppkkppkkpXXEkkkk则第四章 随机变量的数字特征整理ppt24返回主目录.)()()()()()()(2222222111211pppppXEEXXXEXEXXXEXEXEXD因此第四章 随机变量的数字特征整理ppt258（2）设随机变量 相互独立且都服从0,1上的均匀分布.返回主目录nXXX,21.0, 1 , 0, 1)(否则xxf., 2 , 1nk.,min,max2121的数学期望和求nnXXXVXXXU解:由题意

12、知 ( )的密度函数为kX则第四章 随机变量的数字特征整理ppt26返回主目录. 1, 1, 10, 0, 0)(xxxxxF), 2 , 1(nk的分布函数为故相互独立因UXXXn,21第四章 随机变量的数字特征的分布函数为kX . 1, 1, 10, 0, 0)(uuuuuFnU整理ppt27返回主目录的分布函数为VduuufUEU)()(第四章 随机变量的数字特征的密度函数为U . 1, 1, 10,)1 (1, 0, 0)(vvvvvFnV.0, ) 1 , 0(,)(1其他xnuufnU101dunuun10duunn.1nn. 1, 1, 10, 0, 0)(uuuuuFnU整理p

13、pt28返回主目录dvvvfVEV)()(第四章 随机变量的数字特征的密度函数为V .0, ) 1 , 0(,)1 ()(1其他vvnvfnV101)1 (dvvnvn1010)1 ()1 (dvvvvnn.11n1111)1 (nnv. 1, 1, 10,)1 (1, 0, 0)(vvvvvFnV整理ppt29第四章 随机变量的数字特征返回主目录9.将n个球随机地放入N个盒子,并且每个球放入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数的数学期望.解解： .,个盒子中有球第个盒子中没有球第iiXi10.,Ni21易见 .NXXX1.NiiEXEX1.,Ni1,)(niNNXP10以X表示有球的盒子数。设

14、,)(niNNXP111整理ppt3010.若有n把看上去形状相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁，设取到每只钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。（2）不写出X的分布律。返回主目录第四章 随机变量的数字特征整理ppt31（2）令返回主目录, 11X次试开有一次成功前次试开都不成功前10,1, 1kkXk., 2nk.21nXXXX则令 表示事件“第k次试开成功”。kA则第四章 随机变量的数字特征整理ppt32返回主目录, 1)(1XE) 1(1)(kkXPXE., 2nk)2() 1(121knknnnnn.21)(1)(2

15、nXEXEnkk因此第四章 随机变量的数字特征)(121kAAAP)|()|()(2211121kkAAAAPAAPAP,1nkn整理ppt33第四章 随机变量的数字特征24.;,(1) ,00.22的相关系数求均为常数又相互独立，设随机变量VU,YXV,YXU) ,(NY), ,(NXY ,X解：解：.VU相互独立与为何值时当,)2(返回主目录),(Cov),(Cov),(Cov),(Cov22YYXYYXXX),Cov(),Cov( (1) YXYXVU)()(22YDXD.)(222整理ppt34第四章 随机变量的数字特征.)()(),(Cov2222222222DVDUVUUV所以返回

16、主目录故相互独立与时当,0VUUV.)(,)(,2222222222DYDXDVDYDXDUYX则相互独立与由于,),(正态分布服从二维知由二维正态分布的性质YX所以也服从二维正态分布,),(VU.相互独立与时当VU整理ppt35第五章 大数定律及中心极限定理7.整理ppt36 第五章 大数定律及中心极限定理,29. 15 . 05 . 12 . 02 . 13 . 01kXE.713. 15 . 05 . 12 . 02 . 13 . 012222kXE所以所以 .0489. 029. 1713. 1222kkkXEXEXD整理ppt37 第五章 大数定律及中心极限定理故量是独立同分布的随机

17、变而,30021XXX3001300130013001300130014001400kkkkkkkkkkkkXDXEXDXEXPXP0489. 030029. 030029. 130013001kkXP.0003. 09997. 0139. 31xtnkkndtexnnXP21221lim整理ppt382 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理8(1)设一个系统由设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工。为了使整个系统正常工作，至少必须有作，至少必须有85个部件正常

18、工作，求整个系统个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。正常工作的概率。解：解：设设X是损坏的部件数，则是损坏的部件数，则 XB(100,0.1)。则整个。则整个系统能正常工作当且仅当系统能正常工作当且仅当 X 15. 由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理有拉普拉斯定理有15XP返回主目录 9 . 01 . 01001 . 0100159 . 01 . 01001 . 0100XP.952. 0359 . 01 . 01001 . 010015 整理ppt39第五章 大数定律及中心极限定理8(2)设一个系统由设一个系统由n个相互独立起作用的部件组成，个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性为每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有，且必须至少有80 %的的部件工作才能使整个系统正常工作，问部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为至少为多大才能使系统的可靠性不低于多大才能使系统的可靠性不低于0.95？解：解：设