均值不等式及其证明

1、1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本重要不等式之一，在不等 式理论研究和证明中占有重要位置。平均值不等式 证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表 意义证明方法，其中用来证明平均值不等式许多结 论，其本身又具有重要意义，特别是，在许多竞赛 书籍中，都有专门章节介绍和讨论，如数学归纳法、 变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是 证明不等式常用方法和技巧。1.1 平均值不等式一般地，假设为n个非负实数，它们算术 平均值记为几何平均值记为! 算术平均值及几何平均值之间有如下关系。即4S，当且仅当/=.=时，等号成立。上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不 等式。平均值不等式表达形

2、式简单，容易记住，但它证 明和应用非常灵活、广泛，有多种不同方法。为使 大家理解和掌握，这里我们选择了其中几种典型证 明方法。供大家参考学习。1.2 平均值不等式证明证法一（归纳法）（1）当 =2时，已知结论成立。（2）假设对（正整数入2）时命题成立，即对 % >0= 1,2，,女,有ai +2 + + %、/T7。那么，当=k+1时，由于A+i =， Gk+i =唾的2%，K + Y关于,2，.,%1是对称，任意对调及力（i w j）， 4+1和 G*+i值不改变,因此不妨设=min4+J 9 怎+i=max%M2，.M«+J显然/ << %，以及（6 - A+1

3、）（。川- At+i）。口J 得A+i(4 +，+】A+1)- aak =川=(k + l)Ag -4 = q+%+. +$17k 一 k 一k=% + + q +? +% f)之弧 +% f) 即4+i >a2.ak(a +/旬- A1)两边乘以人川,得4+1 -A- (% + /+ A1)> a2.ak(aak+l) = Gk+l。从而，有A+旧Gz证法二（归纳法）（1）当 =2时，已知结论成立。（2）假设对=% （正整数入2）时命题成立，即对4 >0,i = l,2,次，有aA +a2+. + ak > klaa2.ak o那么，当=4+ 1时，由于%+2+.+勺

4、+%1=a +a2 + + / +(&+】 +G&+ + . + G&+)_(A_l)G«+2 kaxa2.ak + 女也八闻 -(k -1)G,2攵/ y/+iG：+:一(&i)Gk+i=2阂 G*G3-(k-l)Gz =(攵+ 1)G.|从而，有4+1 > G*+i证法三(归纳法)(1)当=2时，已知结论成立。(2)假设对=攵(正整数h2)时命题成立，即对 q >0,i = 1,2,.,4,有 + 出 + + A N k*a20k 。那么，当=4+1时，由于a+a2+- + ak+ak9/10证法四（归纳法和变换）证法五（利用排序不等式

5、）设两个实数组4”,和伪也，也满足ax <a2 <.<anbx <b2 <.<bn ,则aR+ah +. + * （同序乘积之和）> 3 i + a2b.2 +.+* （乱序乘积之和） 1 fl。 J .ri /1>（也+。曲.1 +. + 4“A （反序乘积之和）其中/i4是1,2,.一个排列，并且等号同时成立充分必要条件是4 =a, =. = 4或4 =,=. =成立。证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式O设4。，&。，4+4 = 1则对不公0有x/%"工4$ + z,x2等号成立充分必要条件是匹=N。琴生不

6、等式。设y = /（x）,xe（a/）为上凸（或下凹）函数，则对任意 xi e（a,。）0 = 1,2n）,我们都有4/（为）+4/（占）+-+4/（乙）0/（4演+4&+.+44）或4/（内）+4“.）+% J*”）之/（4演+）其中 4>0。= 1,2,.,这4 = 1习题一1 .设。求证：对一切正整数，有(a + b)n-a"-bn>22n-2"+i2 .设也求证：八。、八 b、八 c、c八 a + b + c.(1 + -)(1 + -)(1 + ) 2 2(1 + *) b c aqabc3 .设石，通,为为正实数，证明:£ + 玉 + 土 < (土尸 + (三尸 + (2)2X x2 x3 x2 x3 x4 .设4+c = l, 求证：(1 + a)(l+b)(l + c) > 8(l-a)(l-b)(l- c)5 .设x,y,zeK, 且xNyNz, 求证:z x y6 .设dAce/r, 满足c/+c2 = l, 求证：7 .设a,b,c,d是非负实数,满足ab+be+cd + da = 1 ,求证:/c3/i1112 b + c + d c + d + a d