第一类对弧长的曲线积分PPT课件

1、1一、问题的提出实例sM 匀质之质量分割121, nMMM,),(iiis 取取iiiisM ),( 求和 niiiisM1),( 取极限M取近似曲线形构件的质量近似值精确值 niiiis1),( 0lim Oxy2M1 nMABL1 iM1MiMis ),(ii 元素法第1页/共31页2二、对弧长的曲线积分的概念与性质定义10.1设L为 xOy面内一条光滑曲线弧,),(ii 又又,),(iiisf ,),(1 niiiisf 函数 f (x, y)在L上有界.作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值,0时时 在L上任意插入一点列把L分成n个小段. 设第i个小段的为第i个小段上任意取定的一(1

2、)(2)(3)长度为si ,点,(4)Oxy2M1 nMABL1 iM1MiMis ),(ii 121, nMMM1.定义第2页/共31页3曲线形构件的质量.d),( LsyxM ,d),( Lsyxf即 Lsyxfd),(这和的极限存在, 则称此极限为函数 f (x, y)在曲线弧 L 对弧长的曲线积分或第一类曲线积分. 积分和式被积函数 弧元素积分弧段记作 niiiisf1),( niiiisf1),( 0lim 第3页/共31页42. 存在条件3. 推广 szyxfd),(.d),(存在存在 Lsyxf的曲线积分连续,的曲线积分为.),(lim10iniiiisf 当 f (x, y)在

3、光滑曲线弧L上函数 f (x, y, z) 在空间曲线弧上对弧长对弧长第4页/共31页54. 性质 Lsyxgyxfd),(),( 性质1 LLsyxgsyxfd),(d),( 则则为常数为常数设设, 性质2 21d),(LLsyxf)(21LLL 1d),(Lsyxf 2d),(Lsyxf(对路径具有可加性)若L(或)是分段光滑的,第5页/共31页6性质3 设在L上),(),(yxgyxf 则 Lsyxfd),( Lsyxgd),(特别地, 有 Lsyxfd),( Lsyxfd),(性质4(中值定理)连续,若函数 f (x, y)在光滑曲线弧L上则在L上至少存在一点,),(d),(sfsyx

4、fL ),( 使得,),(L 其中s为曲线L的弧长.第6页/共31页7性质5(与积分路径的方向无关) Lsyxfd),( Lsyxfd),()(AB)(BA注意.d),( Lsyxf闭曲线L上 对弧长的曲线积分记作 函数 f (x, y)在第7页/共31页8 设函数f (x, y)在一条光滑(或分段光滑)的曲线当f (x, y)是L上关于x 的奇函数, Lsyxfd),(当f (x, y)是L上关于x 的偶函数 ,d),(21 LsyxfL1是曲线L落在y 轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的L关于y轴 对称,补充对称性质.L上连续, 则, 0(或y)(或y)(或x轴)(或x)运用对称性简化

5、对弧长的曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数 f (x, y)的奇偶性与积分曲线L的对称性.第8页/共31页9例 Lsyx.d)(3其中L是圆周.222Ryx 解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx对对因积分曲线L关于被积函数x是L上0d Lsx Lsy,d3对对被积函数0d3 Lsy因积分曲线L关于3y222Ryx 由对称性,计算得0 是L上y轴对称,关于x的奇函数x轴对称,关于y的奇函数xyO第9页/共31页10,1),(时时当当 yxf S几何意义 Lsd(1)(2) Lsyxfd),(柱面面积弧长 L,0),(时时当当 yxf平面曲线L上第一类曲线在几何上表示以L为准线,

6、 母线平行于z轴的柱面之介于平面z = 0和曲面 z = f (x, y)之间那部分的柱面面积.积分:三、对弧长的曲线积分的几何与物理意义第10页/共31页11,d2 LxsyI ,dd LLssxx ),()1(yx 当当 LsyxMd),( 物理意义 LysxId2 LLssyydd (2) 曲线弧 L对x轴及y轴的转动惯量:(3) 曲线弧 L的质心坐标:曲线弧 L的质量:表示曲线弧L的线密度时,第11页/共31页12四、对弧长曲线积分的计算定理10.1),()()( ttytxL的参数方程为的参数方程为上上在在, 其中且 f),(t )(t )( 设f (x, y)在曲线弧L上有定义且连

7、续,具有一阶连续导数, Lsyxfd),( 解法 化为参变量的定积分计算tttd)()(22 )(),(tt 第12页/共31页13, ,1kkktt 点),(kk tttskkttkd)()(122 ,)()(22kkkt nk 10lim Lsyxfd),(kkkt )()(22 )(, )(kkf 连续连续注意注意)()(22tt 设各分点对应参数为),1 ,0(nktk 对应参数为 则,1kkktt nk 10lim kkkt )()(22 )(, )(kkf 证 根据定义 kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(积分中值定理弧长公式第13页/共31页14xdydsdxyO

8、 Lsyxfd),(tttttfd)()()(),(22 必须满足! (2) 注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此, 0 ks(1)因为, 0 kt所以因此积分限说明第14页/共31页15特殊情形bxaxyL ),(: Lsyxfd),()(ba xxsd)(1d2 baxf,(1)xx d)(12 )(x ),()()( ttytxL的参数方程为的参数方程为 f),(t )(t )( Lsyxfd),( dycyxL ),(: Lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yysd)(1d2 yy d)(12 tttd)(

9、)(22 第15页/共31页16 Lsyxfd),( d)()(sin)(,cos)(22 f),(: L (3),()()( ttytxL的参数方程为的参数方程为 f),(t )(t )( Lsyxfd),( 特殊情形)( )(),(),(: ttztytx推广 szyxfd),(tttttttfd)()()()(),(),(222 )( tttd)()(22 sin)(cos)(yx第16页/共31页17 ),(),(yxgzyxfz 0),(0),(21zyxzyx 或此时需把它化为参数方程再按上述方法计算.为参数),如果积分路径L是两个曲面的交线:(选择x, y, z中某一个第17页/

10、共31页18例解例,sin,cos:,d ayaxsxyzI 其中其中求求解 kaI 202sincos.21222kaka 上上自自原原点点到到为为其其中中求求xyLsyIL2,d2 20yI).155(31 xy22 )20( y22yx d22ka yy d12 对x积分?)2 , 2( xy22 xyO.)2 , 2(的的一一段段)20(. 的一段的一段kz第18页/共31页19例).0(222 xRyxABCL解xysd1d2 xyyxd222 xyRd| Lsy d|xyRyRd|0 xyRyRd|0 .22R 的的如图如图半圆周半圆周由曲线由曲线)(ABCL ABsy d| BC

11、sy d|得xyO即即是右半圆周是右半圆周其中其中计算计算,d|LsyL ,222Ryx 方程方程第19页/共31页20即即是右半圆周是右半圆周其中其中计算计算,d|LsyL ).0(222 xRyx解此题时也可用故 Lsy d|2xyRd.22R sydAB Ry02对称性质ABCLxyOL关于x轴对称, | y |为y的偶函数,第20页/共31页21,de22 Lyxs计算计算,:222ayxL 由圆周由圆周轴轴及及直线直线xxy 在第一象限中所围图形的边界.AB Lyxsde22 BOABOA提示解:OA, 0 y OAyxsde22xsd01d2 :AB,sin,cos ayax 40

12、 sAByxde22 de40aa xaxde0. 1e a.e4aa,0ax xyO第21页/共31页22AB:BO,xy sBOyxde22xsd11d2 xaxd2e2202. 1e a Lyxsde22故.e4)1e (2aaa .220ax xyO OAyxsde22 sAByxde22. 1e a.e4aa第22页/共31页23解 LsxxxyLd),20(:2则则已已知知曲曲线线 x2032)41(3281x , xx ),20( x,2xy xx d412 )2 , 2( 2xy xyO Lsxd20)41d(412202xx 81613.613 考研数学一, 填空, 4分第2

13、3页/共31页24例解求圆柱面22222 RyRx被截在球2222Rzyx 内部的柱面的面积.由图形的对称性,只需求第一挂限部分的面积,再四倍之. 柱面与xOy平面的交线RxyzORR2222Rzyx Rxyx 22,0),(时时当当 yxf平面曲线L上第一类曲线积分 S Lsyxfd),(柱面面积在几何上表示以L为准线,母线平行于z轴的柱面之介于平面z = 0和曲面z = f (x,y)之之间那部分的柱面面积. cos:RL .20 (极坐标)弧微分为 dd22s,d R故所求的面积 S222yxR L4sd 24R.42R dR 22cosR20S Lsyxfd),(柱面面积第24页/共3

14、1页25研究生考题, 填空(3分)则则为为下下半半圆圆周周设设平平面面曲曲线线,12xyL ).(d)(22 syxL曲线积分曲线积分采用极坐标1: L则syxLd)(22 Lsd2 . 2法三 在曲线L上,故 syxLd)(22. Lsd法二)2( d例 解采用参数方程tytxsin,cos 则syxLd)(22 )sin(cos22tt . tttd)(cos)sin(22 2法一, 122 yx)2( t第25页/共31页26则则其周长为其周长为为椭圆为椭圆设设, 13422ayxL . )(d)432(22 Lsyxxya12解 Lsxyd20 Lsyxd)43(1211222 Lsyxd)34(1222sLd112 .12a 对称性 Lsyxxyd)432(220 Lsyxd)43(22第26页/共31页27例,d2 sxI求求解 曲线的方程具有如下特点: sx d2 sxId2 sa d2),d2(球面大圆周长球面大圆周长 sa有 szyxd)(22231 . 0,2222zyxazyx为圆周为圆周其中其中 sad23131轮换对称性 x, y, z 地位相等,可以轮换,曲线的方程不变. sz d2 sy d2.23a 31第27页/共31页28对弧长曲线积分的概念 对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的