抛物线的简单几何性质45651.PPT

1、.1X.2定义：在平面定义：在平面内内,与一个定点与一个定点F和一条定直和一条定直线线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py 一、温故知新一、温故知新.3范围范围1、yox)0 ,2(pF由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范

2、围为0 x 二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质）的几何性质?抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。.4对称性对称性2、yox)0 ,2(pF( , )x y关于关于x轴轴对称对称( ,)xy即点即点(x,-y) 也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2 = 2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2 = 2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上, 即满足即满足y2 = 2px，.5顶点顶点3、yox

3、)0 ,2(pF 定义：定义：抛物线与抛物线与它的对称轴的交点叫它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。做抛物线的顶点。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2 = 2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.只有一只有一个个注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。双曲线有两个顶点不同。.6离心率离心率4、yox)0 ,2(pFP(x,y) 抛物线上的点与抛物线上的点与焦点的距离和它到准焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做线的距离之比，叫做抛物线的离心率。抛物线的离心率。 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的

4、离心率为的离心率为e=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。物线的几何性质。.7（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1.8特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没

5、有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.yox)0 ,2(pFP(x,y)P越大越大,开口越开阔开口越开阔.9y2=2pxxyoFlAB过焦点且垂直于对称轴的直线过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段被抛物线截得的线段AB叫做抛叫做抛物线的通径，物线的通径，),2(),2(ppBppA、长度为长度为2pP越大

6、，开口越阔越大，开口越阔补充补充（1）通径：）通径：（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。.10补充补充（1）通径：）通径：|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）.11总结总结抛物

7、线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：.12因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐

8、标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），（，），2 2解解:所以设方程为：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：24yx例例：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点原点，并且经过点M M（，），求它的标准方程（，），求它的标准方程. .2 2三、典例精析三、典例精析坐标轴坐标轴当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论可

9、避免讨论.13练习：练习：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在轴，焦点在直线直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是上，那么抛物线通径长是 .162、已知点、已知点A（-2，3）与抛物线）与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P= 。 22(0)ypx p4.14法一法一: :直接求两点坐标直接求两点坐标, ,计算弦长计算弦长( (运算量一般较大运算量一般较大);); 法二法二: :设而不求设而不求, ,运用韦达定理运用韦达定理, ,计算弦长计算弦长( (运算量一般运算量一般) ); ; 法法三三: :设设而而不不求求, ,数数形形

10、结结合合, ,活活用用定定义义, ,运运用用韦韦达达定定理理, ,计计算算弦弦长长. . 例例2、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。l24yxAABBFOxy.15的长。两点，求线段抛物线相交于且与的焦点经过抛物线的直线斜率为例ABBAFxyl,4142xyOFABBA, 12, 2pp解：由题意可知，. 1:xl准线.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设, 1, 121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知221xxBFAFAB所以.16的长。两点

11、，求线段抛物线相交于且与的焦点经过抛物线的直线斜率为例ABBAFxyl,4142xyOFABBA1),0 , 1 ( xyABF的方程为所以直线为由已知得抛物线的焦点,4) 1(,422xxxy得代入方程.0162xx化简得8262121xxABxx。的长是所以，线段8AB.17抛物线的焦点弦的特征抛物线的焦点弦的特征1、已知、已知AB是抛物线是抛物线y22px的任意一条焦点弦，且的任意一条焦点弦，且A（x1，y1）、）、B（x2，y2）1）求证：）求证：y1y2P2，x1x2p2/4。2）设）设为直线为直线AB的倾斜角，求证：当的倾斜角，求证：当90o时，取得时，取得AB的最小值的最小值2p。3）若弦）若弦AB过焦点，求证：以过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线相为直径的圆与准线相切。切。124) ABxxP.18四、归纳总结四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对