高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.1 柯西不等式课件 北师大版选修4-5_第1页
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1、1第二章 几个重要的不等式21柯西不等式31.认识柯西不等式的几种简单形式,理解它们的几何意义.2.会证明一般形式的柯西不等式,并能利用柯西不等式证明一些简单问题.41.简单形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式):对任意实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当向量(a,b)与向量(c,d)共线时,等号成立.(2)简单形式的柯西不等式的向量形式:设=(a,b)与=(c,d)是平面上任意两个向量,则|,当向量(a,b)与向量(c,d)共线时,等号成立.5答案:B 答案:B 62.一般形式的柯西不等式(1)定理2:(2)推论(三维形式的柯西不等式

2、): 7【做一做2-1】 已知x,y,zR+,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是()答案:B 8【做一做2-2】 设a=(1,0,-2),b=(x,y,z),若x2+y2+z2=16,则ab的最大值为.解析:由题知,ab=x-2z,由柯西不等式知12+02+(-2)2(x2+y2+z2)(x+0-2z)2,当且仅当向量a与b共线时等号成立,9题型一题型二题型三题型一 利用柯西不等式证明不等式 反思为了利用柯西不等式,将2x+y平方,这一运算技巧是证明不等式的关键.10题型一题型二题型三11题型一题型二题型三分析:如何构造两组数,利用柯西不等式是关键. 12题型一题型二题型三反思在本

3、题中,a,b,c的指数的变化是关键,要根据柯西不等式的需要进行适当的变形.13题型一题型二题型三14题型一题型二题型三题型二 利用柯西不等式求最值 分析:根据柯西不等式的需要对式子进行变形,注意等价性. 15题型一题型二题型三反思当式子中有根号、平方等形式时,经常用柯西不等式来解决.16题型一题型二题型三【变式训练3】 设a,bR,且a2+b2=10,求3a+b的最大值与最小值.解:利用柯西不等式得(3a+b)2=(a3+b1)2(a2+b2)(32+12)=1010=100,即(3a+b)2100,|3a+b|10,-103a+b10,当且仅当a=3b时等号成立.又a2+b2=10,a2=9,b2=1,当a=-3,b=-1时,3a+b有最小值-10;当a=3,b=1时,3a+b有最大值10.17题型一题型二题型三题型三 柯西不等式的向量式的应用 反思应用柯西不等式的向量形式证明不等式,关键是构造出两个向量的坐标.18题型一题型二题型三1912345答案:A 2012345答案:B 2112345答案:3 22123454设a=(-2,1,2),|b|=6,则ab的最小值为,此时b= .解析:|ab|a|b|=18,|ab|18.

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