第四章动量定理与动量守恒定律

1、第四章 动量定理与动量守恒定律基本内容本章重点是掌握动量、 冲量概念及其物理规律， 并掌握这些规律的应用条件和方法。 本章难点是所研究的系统的划分和选取、守恒定律条件和审核、综合性力学问题的分析求解。教学目的1. 掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的力学问题。2. 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题。3 理解质心的概念和质心运动定律。4-1 质点和质点系的动量定理、冲量 质点的动量定理动量是描写物体机械运动状态的物理量。 在日常生活中 ,人们站在树下 , 抬头看见一片树 叶落下即将砸到头顶 ,一定会满不在乎地敢于承当 , 而看到一颗石子飞来

2、, 一定会望而生畏地 急忙躲开。大家也知道 , 即使在钉子上面放上一个质量很大的物体 , 也很难把钉子压进木头里去。 可 是, 挥动小榔头敲钉子 , 就比较容易把钉子打进去。 这些现象都与动量概念有关。 可见， 动量 是描述一定运动状态下物体“运动量”的概念，比速度更能全面、确切地反映物体的运动 状态，为状态量。 牛顿在所著的 <<自然哲学的数学原理 >>一书中 , 把动量定义为质点的质量 m和其速度 v 的乘积 , 即(1)dp d(mv ) dt dt是千克米 / 秒。符号是它是一个矢量，其大小为 | mv |= mv，方向为速度的方向。在国际单位制中，动量的单位F

3、由牛顿第二定律Fdt dp d(mv)上式的积分为2t F （t ）dt p 2 p1 mv2 mv1 t1（ 4-1）式中 v1和 P1是质点在时刻 t1的速度和动量， v2和 P2是质点在时刻 t 2的速度和动量。F （t）dt为力对时间的积分，称为力的冲量，用符号 I 表示。式（ 3-1）的物理意义是：在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。这就是质点的动量定理。式（ 3-1）是质点动量定理的矢量表达式，在直角坐标系中，其分量式为IxIyIzt2t Fxdt mv 2x mv1xt1t2t Fydt mv2 y mv1y t1t2F zdt mv2z mv

4、1z4-2)1显然，质点在某一轴线上的动量增量，仅与该质点在此轴线上的受的外力的冲量有关。动量定理在 碰撞、 打击 等情形中特别有用 两物体碰撞时互相作用的力称为冲力 冲力 的特点是作用时间极短， 而力的大小变化则极大， 这就是所谓力的脉冲。一般而言，冲力大 小随时间而变化的情况比较复杂， 所以很难把每一时刻的冲力测量出来 但若我们能够知道 两物体在碰撞前、后的动量，那么根据动量定理， 就可得出物体所受的冲量；若我们还能测出碰撞时间 ，那么也可以通过冲量算出在碰撞时间 内的平均冲力 为1t2 t1tt12F (t)dt、质点系的动量定理前面两章， 我们讨论的是单个质点的运动。 在这一节里， 我

5、们要讨论由许多质点构成的在质点系中有一类是特别体系的运动规律。这种问题，常称为质点系问题，或多体问题。的，即所有质点都没有受到体系之外的物体的作用力。也可以简单他说， 整个体系不与外物相互作用，这种质点体系称为孤立体系。 )若在系统 S内有两个质点 1和 2，它们的质量分别为 m1和m2。系统外的质点对它们作 用的力叫做外力， 系统内质点间的相互作用力则叫内力。 设作用在质点上的外力分别是 F1 和 F2 ，而两质点相互作用的内力分别为 F12和 F 21 。根据质点的动量定理， 在 t t2 t1时间内， 两质点所受力的冲量和动量增量分别为t2t (F1 F12)dt m1v1 m1 v10

6、和t2t (F2 F21)dt m2v2 m2 v20 t1将上两式相加，有t2t 2t (F1F2)dtt (F12F21)dt(m1v1m2v2)(m1v10m2v20 )t1 12t1 1221 1 1 2 2 1 10 2 20( 4-3)由牛顿第三定律知 F12F21 ，所以系统内两质点间的内力之和，F12 F21 0故上式为t2t (F1 F2)dt (m1v1 m2v2) (m1v10 m2v20 )t1上式表明，作用于两质点组成系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量，亦即系统的动量增量。上述结论容易推广到由 n个质点所组成的系统。 如果系统内含有 n 个质点，那么式(

7、 4-3)可改写成t2 nt2 nt12 ( Fiex)dtt12 (1 i 11 i 1nFiin )dti1nmvimvi 0i1考虑到内力总是成对出现，且大小相等、方向相反，故其矢量和必为零，即nFiin0i1设作用于系统的合外力用 F ex表示，且系统的初动量和末动量各为 P0和P ，那么上式可改写为nmivi0i14-4a)tnt F exdtmi vit1I P- P04-4b)式（ 3-4）表明，作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。这就是质点系的动量定理。对于在无限小的时间间隔内，质点系的动量定理可写成F exdt dp或F ex dpF dt（ 4-4c）上式表明，作用

8、于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率。上式表明在某一时间内质点所受合外力的冲量等于同一时间内质点动量的增量， 这一关系叫做质点动量定理的微分形式。实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。在相对论中，质量随速率而变， F = m a 已不再正确，但 Fdt = dp 仍然正确。动量定理与牛顿定律的关系： 对一个质点， 牛顿定律表示的是 力的瞬时效应，而动量定理表示的是力 对时间的积累效果 . 牛顿定律只适用于质点，不能 直接用于质点系 . 而动量定理可适用于 质点系. 牛顿定律和动量定理都只适用 于惯性系 . 要在非惯性系中应用动量定 理，必须考虑惯性力的冲量 .三、动量定理的应用实例课本

9、 63 页例一四、思考题如图所示， 一根轻质无弹性的细线一端系于固定点 O ，另一端系一质量为 m的小球， 且 小球作半径为 r 的匀速率圆周运动，速率为 v0 。问小球运行半周，小球的重力、绳的拉力与 小球受到的合力的冲量大小为多少？方向如何？4-2 动量守恒定律一、动量守恒定律ex从式（ 4-4 ）可以看出，当系统所受合外力为零，即 F ex 0 时，系统的总动量的增量亦 为零，即 p p 0 0 。这时系统的总动量保持不变，即np mi vii 1 恒矢量（ 4-5a）这就是动量守恒定律， 它的表述为： 当系统所受合外力为零时， 系统的总动量将保持不变，式( 4-5a)是动量守恒定律的矢

10、量式。在直角坐标系中，其分量式为pxmi vix C1pymi viy C2pzmi vizC3(Fxex 0)(Fyex 0)4-5b)(Fzex 0)式中 C1、 C2 和C3均为恒量。二、应用动量守恒定律应该注意的几个方面(1) 只有外力对系统动量的增量有贡献。系统内力不改变系统总动量，但可使系统 内各质点的动量变化 .体系动量守恒并不是要求体系不受外力， 只要所受外力的矢量和为零。 不受外力的体系 其动量必然守恒，故孤立体系的动量守恒。在某些过程(如爆炸、碰撞)中，体系虽受外力，但外力有限，过程时间很短，外力 冲量很小 . 而其间内力很大，体系内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外

11、力的冲量 可忽略不计，故可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的动量再分配问题(2) 动量守恒是矢量式，它可以写成三个分量式：若 Fx= 0，则Px =常量；若 Fy= 0，则Py =常量；若 Fz= 0，则Pz =常量；(3)与牛顿定律一样，动量守恒定律只适用于惯性系。(4) 动量守恒定律虽然由牛顿第二、三定律导出，但它比牛顿定律适用范围更广。 尤 其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不成立，但动量守恒定律仍然成立 .这是因为动量守恒定律可以不用牛顿定律， 而直接从空间的平移不变性 (一种时空对称 性)导出。时空对称性原理是比牛顿定律更高层次的定律。动量不仅是表述物体运动状态的量， 而且

12、， 动量较之速度其涵义更为广泛， 意义更为重 要。因此， 一般描述物体作机械运动时的状态参量，用动量P 比用速度 v 更确切些。动量 P和位矢 r 是描述物体机械状态的状态参量。课本 65 页例二和例三三、思考题1 质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一部分质点的速率变大时，一部分质点的速 率一定会变小？2 假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围无其它可利用的工具，你怎样依 靠自身的努力返回湖岸呢？能否用步行、滚动、挥舞双臂或踢动两脚而到达岸边？例题 4-1 一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，其下端刚与地面接触.此时放开绳子，从静止状态开始下落 .已知绳子质量为 m,长

13、为 L ，求下落到所剩长度为 z 时， 地面对这段绳子的作用力。解：绳子上端的下落速v 2g l z而紧靠地面的质元dm与地面相碰时其动量由vFd1m变为零 .故若设该质元受到的支持力为根据质点动量定理有F1 gdmdtvdm忽略二级小量，并考虑dt 内落地绳子的长度为 -vdt，可F1dmvvdtvdtm2mvl dt l2mg 1 z加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为mzF F1 l z m g 3mg 1 zll例题 4-2 一长为 l ，质量为 M的小车放置在平直轨道上。车的 A 端站有一质量为 m的 人，人和小车原来都静止不动， 如果这人从车的 A 端走到 B端，不计

14、小车与轨道之间的摩擦， 求小车和人各自的位移为多少？解答： 人走动前，人和车原为静止，速度均为零；走动后，设人和小车相对于地面的 速度分别为 v 和 V, 假设它们均与 x 轴正向同向0=m(+ v)+ M(+ V)试中，负号表示人与小车运动的方向相反。由v dx/d t，有两边积分：由此得小车相对于地面的位移为所以，人相对于地面的位移（即末位置与初位置的坐标之差）为在水平方向上系统不受外力，动量守恒，故mv1 Mv2 0其中 v1、 v2分别为某时刻人和车对地的速度.再设 u 为人对地的速度，则为人对船v1 u v2则可写出下面三个运动学关系式间内从船tx2t v2 dtt0时tx1v1 d

15、tt0tlt 0 udt例题 4-3 在光滑的水平面上，有 一质量为 mb 的静止物体 B，在 B上又有一 质量为 ma的静止物体 A，A 受冲击，以 va （相对于水平面向右运动， A 和 B 之 间的摩擦系数为 ，A 逐渐带动 B 一起 运动，问 A 从开始运动到相对于 B 静止 时，在 B 上运动多远？解：取 A和 B 组成的系统，根据动量守恒 mavama mb v内力做功不为零，由系统的动能定理W外 W内E kmgx 1 mamb v2 1 ma va22a b2 a a2mbva22 g ma mbx b a完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞两物体在碰撞过程中， 它们之间相互作用的内力较

16、之其他物体对它们作用的外力要大得 多，因此， 在研究两物体间的碰撞问题时，可将其他物体对它们作用的外力忽略不计。如果在碰撞后，两物体的动能之和完全没有损失，那么，这种碰撞叫做完全弹性碰撞。实际上， 在两物体碰撞时，由于非保守力作用，致使机械能转换为热能、声能、 化学能等其他形式的 能量， 或者其他形式的能量转换为机械能， 这种碰撞就是非弹性碰撞。 如两物体在非弹性碰 撞后以同一速度运动，这种碰撞叫做完全非弹性碰撞。例题 4-4 如图，质量为 M的物块 A 在离平板为 h 的高度处自由下落 . 落在 质量也为 M的平板 B上. 已知轻质弹簧的 倔强系数为 k，物体与平板作完全非弹 性碰撞，求碰撞

17、后弹簧的最大压缩量 .解：本题可分为三个物理过程物块 A 下落v12 2gh 物块 A 与平板 B 发生碰撞Mv 1 M M v2 碰撞后弹簧被压缩 机械能守恒 E Ek Ep 0Ek 0 1 M M v22弹簧被最大压缩时取弹簧不承载平板的平衡位置为坐 标原点 0. 则平板 B 放上后位移为 x1， 块 A 碰撞后位移为 x2，则Ep 1 k x1 x2 2 M M gx2 1kx1212M根据机械守恒式，得M v221 kx1x22 x12M M gx202212 1 2将、式代入式，整理后 得2x22Mg Mghx 20k 2 kx2 0因，故应将负根舍去得碰撞后弹簧最大压缩量为Mkgh

18、xmaxx1x22MgMgmax 1 2 k k二、思考题在弹性碰撞中，有哪些量保持不变 ?在非弹性碰撞中又有哪些量不变。4-5 一质量为 m的小球，由顶端沿质量为 M的圆弧形木槽自静止下滑，设圆弧形槽的半径为 R（如图所示） 。忽略所有摩擦，求（ 1）小球刚离开圆弧形槽时，小球和圆弧形槽的速度各是多少？（ 2）小球滑到 B 点时对木槽的压力(1) 由动量守恒定律m 1 M 2 01212由机械能守恒定律m12 M22mgR2122由上面两式解得2MgR MmM2gRm M Mm2 gRm M M(2) 小球相对槽的速度为12(Mm)2gRm M M竖直方向应用牛顿运动第二定律2N mg mRmg mRmg ( Mm)22mgm M M3mg2m2gM例题 4-6. 打桩机的铁锤质量为、落高为 ,