高三数学-苏州市2016届高三上学期第一次模拟考试数学试题

1、一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设全集Ux | x2，xN，集合Ax | x25，xN，则 【答案】【解析】试题分析：由题意得考点：集合的补集2.复数，其中i为虚数单位，则a的值为 【答案】5【解析】试题分析：考点：复数的模3.双曲线的离心率为 【答案】【解析】试题分析：由题意得考点：双曲线离心率4.若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 【答案】2【解析】试题分析：由题意得，因此方差为考点：方差5.已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，且a(a-b)，则实数x= 【答案】9【解析】试题分析：由题意得考点：向量数量积6.阅读算法

2、流程图，运行相应的程序，输出的结果为 N （第6题图）开始 zx+yx1 ，y1z < 6 y z Y 输出 结束 x y 【答案】【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；结束循环，输出考点：循环结构流程图7.函数的值域为 【答案】【解析】试题分析：，因此值域为考点：分段函数值域8.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为 【答案】【解析】试题分析：连续2次抛掷一枚骰子共有36种基本事件，其中“两次向上的数字之和等于7”包含这6种基本事件，故所求概率为考点：古典概型概率9.将半径为

3、5的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为，则 【答案】5【解析】试题分析：由题意得，扇形弧长为对应圆锥底面周长，因此考点：圆锥展开图10.已知是第三象限角，且，则 【答案】考点：同角三角函数关系11.已知是等差数列，a515，a1010，记数列的第n项到第n+5项的和为Tn，则取得最小值时的n的值为 【答案】5或6【解析】试题分析：由题意得，因此，而数列的第n项到第n+5项的和为连续6项的和，因此取得最小值时的n的值为第8项前3项或前2项，即n的值为5或6考点：等差数列性质12.若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则 【答案】18【解析】试题分析：由题

4、意得直线和直线截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为，即考点：直线与圆位置关系13.已知函数f(x)kx (x0，kR)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则 【答案】【解析】试题分析：由题意得与相切，切点为，由导数几何意义得，因此，即考点：导数几何意义，同角三角函数关系14.已知，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：，当且仅当时取等号考点：基本不等式求最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（1）求角C的大小；（2）若的面积为，求

5、边的长【答案】（1）（2）考点：正余弦定理16.（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中， E，F分别是AB，BC的中点，A1C1 与B1D1交于点O. （1）求证：A1，C1，F，E四点共面； （2）若底面ABCD是菱形，且A1E，求证：平面A1C1FE. （第16题图）C1EOD1B1A1FDCBA【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）连接BD，因为直棱柱中平面，平面，所以 9分因为底面A1B1C1D1是菱形，所以又，所以平面 11分因为平面，所以OD又A1E，平面A1C1FE，平面A1C1FE，所以平面A1C1FE. 14分考点：线线平行公理，线面垂直性质与判定

6、定理17.（本小题满分14分）图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米（1）当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？【答案】（1）宽为1.6米（2）渠底宽为米【解析】试题分析：（1）本题实际上为求对应半圆上点的坐标：先建立直角坐标系，求出半圆弧所在曲线方程：再根据水深CD确定对应点纵坐标，代入圆方程求得横坐标，从而确定水面的宽度；（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，因此问题转化为求圆的切线：设切点

7、，则切线EF的方程为从而可根据切线方程与两直线y-1和y0得交点坐标，求出对应等腰梯形的面积，再根据导数求其最小值试题解析：（1）以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，因为AB2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为 3分因为水深CD0.4米，所以OD0.6米，在RtODM中，（米） 5分所以MN2DM1.6米，故沟中水面宽为1.6米 6分（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为是圆弧BC上的一点，过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为 8分令y0，得，令y-1，得设直角梯形OCFE的面积为S，则 （） 1

8、0分，令，解得，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增 12分所以时，面积S取得最小值，最小值为此时，即当渠底宽为米时，所挖的土最少 14分考点：圆方程，圆的切线，利用导数求最值18.（本小题满分16分）如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积； （2）记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值； 求的取值范围（第18题图）【答案】（1）（2）详见解析，【解析】试题分析：（1）直线PM过椭圆的右焦点F，就是直线

9、CM过椭圆的右焦点F,点M就是直线CF与椭圆的交点，列直线CF方程与椭圆方程联立的方程组，解得，最后根据点到直线距离公式求高，根据两点间距离公式求底边长，算出三角形面积（2）本题思路简单，就是利用点P的坐标分别表示k1，k2，再计算k1·k2的值即可，但有一定运算量：先设，立得，再利用直线PC与椭圆联立方程组求出交点M坐标，求出先利用点P的坐标表示，再令，化简函数式：，最后结合函数单调性求值域试题解析：（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，即， 联立，解得或（舍），即 2分连BF，则直线BF：，即，而， 4分故 5分（2）解法一：设，且，则直线PM的斜

10、率为，则直线PM的方程为， 联立化简得，解得， 8分 所以， 所以为定值 10分 由知，所以， 13分令，故，因为在上单调递增，所以，即的取值范围为16分解法二：设点，则直线PM的方程为，令，得. 7分所以，所以（定值）. 10分由知，所以 = 13分令，则，因为在上单调递减，所以，即的取值范围为 16分考点：直线与椭圆位置关系19.（本小题满分16分） 已知数列满足：，,.（1）若，且数列为等比数列，求的值；（2）若，且为数列的最小项，求的取值范围.【答案】（1）或.（2）【解析】试题分析：（1），而数列为等比数列，则可由求出或.再分别验证当时，符合题意；当时，利用累加法得符合题意.（2），

11、利用累加法得，由题意转化为恒成立问题：对，有恒成立，即对恒成立.变量分离时需分类讨论：当时， 恒成立，当时， 恒成立，当时，有，分析数列得为递增数列，因此当时， ，当时，数列得为递增数列，因此当时，试题解析：（1）， 由数列为等比数列，得，解得或. 3分 当时， 符合题意； 4分 当时， =， 符合题意. 6分 （2）法一：若， =. 8分 数列的最小项为，对，有恒成立，即对恒成立. 10分 当时，有，； 当时，有，；当时，有，；当时，有，； 12分当时，所以有恒成立，令，则，即数列为递增数列，. 15分综上所述，. 16分法二：因为，又为数列的最小项，所以即所以. 8分此时，所以. 10分当

12、时，令，所以，所以，即. 14分综上所述，当时，为数列的最小项，即所求q的取值范围为. 16分考点：累加法求数列通项，数列单调性20.（本小题满分16分） 已知函数（aR），为自然对数的底数（1） 当a1时，求函数的单调区间；（2） 若存在实数，满足，求实数的取值范围；若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）【解析】试题分析：（1）当a1时，先明确定义区间R，再求导，求出导函数零点0，列表分析得单调区间：在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）不等式存在性问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值求解：由得，分离变量时需分类讨论：当时

13、，不等式显然不成立；当时，；当时，.以下问题转化为求=最值，利用导数求得在区间和上为增函数，和上为减函数从而可得当时，当时，即当时，当时，由知需分类讨论：时，当时，再由，得或解得a的取值范围为 试题解析：（1）当a1时， 1分由于， 当时，当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 4分（2）由得当时，不等式显然不成立；当时，；当时，. 6分记=， 在区间和上为增函数，和上为减函数 当时，当时， 8分综上所述，所有a的取值范围为 9分由知时，由，得，又在区间上单调递增，在上单调递减，且，即，. 12分当时，由，得，又在区间上单调递减，在上单调递增，且，解得. 15分 综上所述，所有a的取

14、值范围为 16分考点：利用导数求单调区间，利用导数求函数最值附加题21.A选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，四边形 ABDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点（1）求证：；（2）若BDAB，BC=BE，AE=2，求AB的长【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）等弦对等角，所以由BD=CD，得CAD=BAD即CAE=2CAD因为CE是圆的切线，所以由弦切角定理得CAD=DCE从而；（2）因为BC=BE，所以BEC=BCE=EAC，所以AC=EC由切割线定理得EC2=AEBE，即AB2=AE( AEAB)，即AB2+2 

15、;AB-4=0，解得AB=. 试题解析：（1）证明：因为BD=CD，所以BCD=CBD 因为CE是圆的切线，所以ECD=CBD 2分所以ECD=BCD，所以BCE=2ECD因为EAC=BCE，所以EAC=2ECD 5分（2）解：因为BDAB，所以ACCD，AC=AB 6分因为BC=BE，所以BEC=BCE=EAC，所以AC=EC 7分由切割线定理得EC2=AEBE，即AB2=AE( AEAB)，即AB2+2 AB-4=0，解得AB=. 10分考点：弦切角定理，切割线定理21.B选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量，并且

16、矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15) ，求矩阵M.【答案】考点：矩阵特征值及特征向量21.C选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是，在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标.【答案】【解析】试题分析：由代入消元得曲线C1的普通方程yx，注意消参数后x,y的取值范围x0；由得曲线C2的直角坐标方程是x2y24.解射线方程与圆方程联立的方程组得交点坐标试题解析：解：由消去t得曲线C1的普通方程yx(x0)； 3分由2，得24，得曲线C2的直角坐标方程是x2y2

17、4. 6分联立解得 故曲线C1与C2的交点坐标为. 10分考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程21.D选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）设函数f(x)|xa|(a0)（1）证明：f(x)2；（2）若f(3)5，求实数a的取值范围【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式性质得|xa|a，又由基本不等式得a2，因此f(x)2；（2）解含绝对值不等式，一般利用绝对值定义分类求解：当a>3时，f(3)a，由f(3)<5得3<a<；当0<a3时，f(3)6a，由f(3)<5得<a3.最后求并集.试题解析：（1）

18、证明：由a>0，有f(x)|xa|a2，所以f(x)2. 4分（2）解：f(3)|3a|.当a>3时，f(3)a，由f(3)<5得3<a< 6分当0<a3时，f(3)6a，由f(3)<5得<a3. 8分综上，a的取值范围是. 10分考点：绝对值不等式性质, 绝对值定义22.（本小题满分10分） 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向.已知该网民购买种商品的概率为，购买种商品的概率为，购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的

19、种数，求的概率分布和数学期望.【答案】（1）（2）0123【解析】试题分析：（1）至少购买2种商品包括恰好购买2种商品及恰好购买3种商品，其中恰好购买3种商品包含一种情形，而恰好购买2种商品包含3中情形，所求概率为这四种情形概率的和：（2）先确定随机变量可能取值为,再分别求对应概率，（1）中已求出，只需再求，注意概率和为1，最后利用数学期望公式求数学期望试题解析：解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件，则：, 3分 所以该网民至少购买2种商品的概率为 . 答：该网民至少购买2种商品的概率为. 5分（2）随机变量的可能取值为, , 又, , 所以. 所以随机变量的概率分布为：0123 8分 故数学期望. 10分考点：数学期望，概率分布23.（本小题满分10分） 如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形.