角函数题型汇总

1、角函数题型汇总 作者: 日期：三角函数的基础知识与基本运算1. （2009全国卷I文）sin 585°的值为网冷手（C）高/【解析】sin585o sin(360o 225o) sin(180o 45o) -sin 45o3. （2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（A. sin11C. sin11cos100 sin168sin1680 cos10B. sin168)0 sin110 cos100000D. sin168 cos10 sin11【答案】C解析因为sin160sin(180 12 )sin12 ,cos10 cos(90 80 ) sin80 ,由于正弦函数y si

2、n x在区间0 ,90 上为递增函数，因此sin11 sin160 cos10 。sin11 sin12 sin80 ,即2. (2009北京文)若sin0,则cos3.由已知,在第三象限,cos.1 sin2（2009北京理）2k6A.充分而不必要条件(kZ) ” 是c0s2充分必要条件AB.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件2k 6(k Z)时,cos 2cos 4k cos 33反之，当cos21,2时，有2k或 2 2k 34. (2008浙江理)若cosA.2sin(B) 2店则tan(C)2(D)2【答案】B【解析】由cos2sin,-5 可得：cos,52sin ,又由si

3、n2sincos21 ,可得：sin2(42sin )2 1可得.5sin-,所以，tan25cos2 5,cos55 2sin图像与性质：1. (2009浙江理)已知a是实数,则函数f (x)1 asin ax的图象不可能是()2 一，3.(2009辽宁卷理)已知函数f(x)=Acos( x)的图象如图所小，f(一),则23f(0) 二【解析】由图象可得最小正周期为253于是f(0)二九箕注意到2%亲于7寸称所以 f(p = f()= I【答案】B4. (2009江苏卷)函数y Asin( x ) ( A,为常数，A 0,0)在闭区间,0上的图象如图所示，则=.【解析】考查三角函数的周期知识

4、。3t2 2 一 人,T ,所以 3,3x+ ) ( >0,-4. （2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin示，M =< ）的图像如图所解析：由图可知,4,把 2 ,1 代入y=sin 4x 55有:1=sin910答案：105. （2009宁夏海南卷文）已知函数f(x) 2sin(x ）的图像如图所示，则of 7【解析】由图象知最小正周期22, 一一=,故 =3,又 x= 一34时，f (x) =0,即 2sin(3 一4）=0,可得72sin(3 12127.（2009辽宁卷文）已知函数f(x) sin( x )(0）的图象如图所示，【解析】由图象可得最小正周期为2九 4九T

5、= 233【答案】32f (x)73sin x cos x( 0), yf(x)的图像与(2009安徽卷理)已知函数直线y 2的两个相邻交点的距离等于,则f(x)的单调递增区间是k一,k125,k Z12(B) k5一,k12(C)k3,k(D) k6,k11 ,k 1221,k Z【解析】f (x)2sin( x-),由题设f(x)的周期为T2,由 2k - 2x - 2k266,k故选C2. (2009全国卷I理)如果函数3sin(2 x)的图像关于点(三,0)中心对称，那么| |的最小值为(C)(A)6(B)(C)3【解析】Q函数y3sin(2 x)的图像关于点4(,0)中心对称32 4

6、3Z)由此易得| |min4k 2 (k33. (2009四川卷文)已知函数f(x) sin(x-)(x R),下面结论错误的是2, ,A.函数f (x)的最小正周期为2CD 【答案】B .函数f (x)在区间0, 上是增函数函数f(x)的图象关于直线x = 0对称函数f(x)是奇函数D【解析】f(x) sin(x -)cosx,.A、B C均正确，故错误的是D4. (2009北京文)(本小题共12分)已知函数f(x) 2sin( x)cos x .(I)求f(x)的最小正周期；(H)求f(x)在区间一,一上的最大值和最小值.6 2【解析】(I) ; f x 2sin x cosx 2sin

7、xcosx sin 2x, 函数f(x)的最小正周期为 .(H)由 一x 2x , ssin2x 1 ,6232f(x)在区间 -,-上的最大值为1,最小值为 . 6 225. (2009陕西卷文)已知函数 f(x) Asin( x ), x R (其中2A 0,0,0-)的周期为 ,且图象上一个最低点为 M(,2).23(I )求f(x)的解析式；(H)当x 0,求f(x)的最值.12【解析】2 一 ,1由最低点为M (,2)得A 2由T3,24由点M(,2)在图像上得2sin(一)33 . 4一11所以 2k 故 2k (k32622得 一一2T42 即 sin()1Z),又(。,石)，所

8、以所以 f(x) 2sin(2 x -)(H)因为 x 0,2x126。寸所以当2。力，即x=0时，便取得最小值1;当2X+&5，即x正时，f取得最大值52.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+j)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.1 C 1设ABC为ABC的二个内角,若8sB=3,啜)4,且C为锐角，求sin 2xsin 31 cos 2x 1. 3 .八 一 一 sin 2xsinA.解：(1) f(x)=cos(2x+ )+sin2x.= cos2xcos所以函数f(x)的最大值为二®,最小正周期(2) f(c)=

9、1 sinC=-1,所以 sinC ,因为 C 为锐角，所以 C -, 222423又因为在 ABC中，cosB=1,所以sin B 273,所以 33sin A sin(B C) sin BcosC cosBsinC4. (2009重庆卷理)(本小题满分13分,2 J 3(D11 、万2 32小问7分,2<2 .3.6(H )小问6分.)设函数 f(x) sin(x 一)2cos2x 1 .468(I )求f(x)的最小正周期.(H)若函数y g(x)与y f的图像关于直线x 1对称，求当x 0,3时 y g(x)的最大值.解： (I) f (x) = sin xcos cos xsi

10、n cos x 4646431、3 =sin x cos x2424=.3sin( x )43_ 2故f (x)的取小正周期为T =8442(H )因区间0,关于x = 1的对称区间为,2,且y g(x)与y f(x)的图象关3342x = 1对称，故y g(x)在0,上的最大值为y f(x)在,2上的最大值3 3由(I)知 f (x) = V3sin(x )4 3一 2 一，当一x 2 时， 一一一一364 36因此y g(x)在0, 4上的最大值为“33 gmax '.3sin -.62图像的变换：1. (2009湖南卷理)将函数y sin x的图象向左平移 (0<2 )的单

11、位后，得到函数y sin(x 3)的图象，则 等于(D)A. -B. 5-C. - D. <【答案】：D【解析】解析由函数y sin x向左平移 的单位得到y sin(x )的图象，由条件知函数y sin(x)可化为函数y sin(x 一),易知比较各答案，只有611y sin( x ) sin(x ),所以选 D 项。662. (2009全国卷II文)若将函数y tan( x -)(0)的图像向右平移个单位长度46后，与函数y tan( x 一)的图像重合，则 的最小值为 61111 ,%4(C)32【答案】D【解析】y tan x 4x 61.故选D2向右平移一个单位6 y tan

12、(x -) tan641 一一- 6k -(k Z),又 Q 0 min623. (2009山东卷理)将函数y sin 2x的图象向左平移一个单位，再向上平移1个单位，所4得图象的函数解析式是().22A. y cos2x B. y 2cos x C. y 1 sin(2x ) D. y 2sin x4【答案】B【解析】将函数y sin 2x的图象向左平移一个单位，得到函数y sin 2(x 一)即44y sin(2x ) cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式 为 y 1 cos2x 2cos2x,故选 B.4. (2009天津卷文)已知函数f(x) sin(wx )(x

13、 R, w 0)的最小正周期为，4y f(x)的图像向左平移| |个单位长度，所得图像关于y轴对称，则 的一个值是 ()A B C D 2848【答案】D【解析】由已知，周期为 ,w 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶 w函数，sin2(x )-cos2x ,故选 D115. (2009天津卷理)已知函数f(x) sin( x -)(x R, 0)的最小正周期为，为了得到函数g(x) cos x的图象，只要将y f(x)的图象A向左平移一个单位长度8B向右平移一个单位长度C向左平移一个单位长度 一移长度【答案】A【解析】由题知 2 ,所以f(x) sin(2x ) cosy (2 x

14、 ) cos(2x ) cos2(x ),三角包等变换：1. (2009辽宁卷文)已知 tan 2 ,则 sin2sin cos 2cos2(A)4(B) 5(C)3(D)-3445【答案】D.2222 sin sin cos 2cossin sin cos 2cos 22sin cos2一一 一tan tan 2 4 2 2 4tan214 152. (2009福建卷理)函数f(x) sin xcosx最小值是A. -1 B.1C. -D. 122【答案】B1 1【斛析】: f(x) -sin 2x. f (x)min-.故选 B2 2113.(2009湖北卷文)“sin是c0s2的22A.

15、充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A1 - 【解析】由cos 2a -彳#sin a24. (2009江西卷文)函数f(x)3A. 2 B.2【答案】A1 .1 o 1 .一，故sin a -是sin a -成立的充分不必要条件,2 24(1 6 tan x)cosx的最小正周期为C.D.一2【解析】由f(x) (1 73tan x)cos x cosx V3sin x 2sin( x 一)可得最小正周期为2 65. (2009年上海卷理)函数 y 2cos2x sin 2x的最小值是.【答案】1 "a【解析】f (x) cos2x si

16、n 2x 1 V2sin(2x -) 1 ,所以最小值为：1 J2,0 x 一，则f (x)的最大值为 2A. 1B. 2 C. 33 1 D. J3 2【解析】因为f (x) (1 J3tan x)cosx = cosx.3sin x = 2cos(x -)一是，函数取得最大值为2. 3故选B1. (2009全国卷I理)若一4y tan 2xtan3 x的最大值为解:令 tanx t,Q 41,3y tan 2x tan x_42 tan x1 tan2 x2t1t27. (2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)cos(2 x814)sin2 x3(1)求函数f(x)的最大值和

17、最小正周期.设A, B,C为ABC的三个内角，若cosB 1, f(c)321,且C为锐角，求sin A 4【解析】(1)f(x)=cos(2x+ )+sin2 x.= cos2xcos sin 2xsin cos2x 1.3 sin 2x222所以函数f(x)的最大值为，最小正周期sin C = 1，所以 sin C又因为在 ABC中,4_ 1,_cosB 一,所以 sin B3言因为C为锐角,所以C3亚6. (2009 江西卷理)若函数 f(x) (1 V3tan x) cosx所以sin A sin(B C) sin BcosCcos B sin C8. (2009重庆卷理)设函数f (

18、x) sin(2 234x 6)1 1 J32 322cos2 x 82 2.36(I )求f(x)的最小正周期.4-(H)右函数y g(x)与y f(x)的图像关于直线x 1对称，求当x 0,-时3y g(x)的最大值.【解析】 (I) f (x) = sin xcos cos x sin cos x46464sin x - cos x = 3sin( x )42443一 一一， 2故f(x)的取小正周期为T = 一 =84(H)在y g(x)的图象上任取一点(x,g(x),它关于x 1的对称点(2 x, g(x).g(x) f(2 x) 3sin(24由题设条件，点(2 x, g(x)在y

19、 f(x)的图象上，从而x) = 3sin x =. 3cos( x)3243439.2,3当0 x 3时，43g max /3 COS 3-x -43,3ri2(2009重庆卷文)设函数f(x)(sin一一” .、4,因此y g(x)在区间°,§上的最大值为x cos x)2 2cos2 x(0)的最小正周期为12.2cos(I)求的最小正周期.(H)若函数y g(x)的图像是由yf(x)的图像向右平移一个单位长度得到，求2y g(x)的单调增区间.【解析】(I)22.2f (x) (sin x cos x) 2cos x sin2 cossin 2 x 1 2cos 2

20、 xsin 2 x cos2 x 2,2sin(2-22 .,依题意得，故的最小正周期为23(H )依题意得：g(x) . 2 sin 3(x ) 一242. 2sin(3x由2k-(k Z)解得7行(k Z)22g(x)的单调增区间为:2k-,-k34 3(k Z) 12三角函数与解三角形综合:1. (2009湖南卷文)在锐角 ABC中，BC 1,B2A,则-A的值等于2 cos AAC的取值范围为(五,M).【解析】设 AACB 2 .由正弦定理得BC ACACsin 2 sincosBCsin A222AB2 AC2 BC22AB AC于是sin A从而sin 2Asin（2A -）且满

21、足c°s 2A 2.5uuu uuurAB AC 3.由锐角 ABC 得 0o 290o 0o45°,又 0o 180° 390°30°60°,故 30°45° cos 虫，22AC 2c°s （ 2, 3）.2. （2009天津卷文）（本小题满分12分）在 ABC中，BC 5, AC 3, sinC 2sin A(I )求AB的值。(H )求sin( 2A )的值。4【答案】10AB【解析】(1)解：在 ABC中，根据正弦定理， 二B-sin CBC于是 AB sinC 2BC 2,5sin A(2)解

22、：在 ABC中，根据余弦定理，得c°sA2 a 5V1 c°s A =, 542 A 2 2sin Ac°sA -,c°s2A c°s A sin A5J,2sin 2Ac°s c°s2Asin 4410c、3 sin C（I）求 ABC的面积； （II）若b c 6,求a的值.A 2.52 A 34.【解析】（I）因为 c°s_ , c°sA 2c°s 1 ,sin A ,又由25255uuu uuur1AB AC 3,得 bcc°sA 3, bc 5, S ABC -bcsin A

23、 2（II）对于bc 5,又b c 6, b 5,c 1或b 1,c 5,由余弦定理得a2 b2 c2 2bcc°s A 20, a 2娓4. （2009湖北卷文）在锐角 ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且6a 2csin A , ( I )确定角C的大小：(H)若c=。7,且ABC勺面积为3亘2，求a b的值。a 2sin A sin A【解析】(1)由/3a 2csin A及正弦定理得,Q sin A 0, sin C,Q ABC是锐角三角形，C 23(2)解法 1: Qc广,C一.由面积公式得 -absin 33，即ab 6 3232由余弦定理得a2b2 2ab

24、cos 7,即 a2 b2 ab 7 3由变形得（a b）2 25,故a b 55. （2009北京理）在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B ,34-cos A -,b 33 o 5（I）求sinC的值；（H）求 ABC的面积.【解析】（I ） V A、B、C为AABC的内角，且B ,cos A -, 35_ 2 . 3C A,sin A 一 , 35sinC sinWosA2-sinA 210(II)由(I )知 sin A3一,sin C53 4310'由正弦定理,又; B -,b 赤，.在 ABC 中, 3bsin A 6asin B 53.ABC的面积1一 ab

25、sin C22T33 4.31036 9.350B、C所对的边分别为6. （2009四川卷文）在 ABC中，A、B为锐角，角510a、b、c, 且 sin A ,sin B 510(I )求A B的值；(II )若a b【解析】（I）A、B为锐角，sinAcos A1 sin2 A亚1 ,求5,sin B52.5°,cos B5a、b>1010cos(AB)cos Acos Bsin Asin Bc的值。2、55103、10 、510.2105102v 0 A B(II )由(I )知CA Bsin C4由3旦上得sin A sin B sin C5a 10b. 2c,即 a

26、. 2b,c又 ; a b J2 1 , . J2bb7. (2009山东卷文)(本小题满分12分)/5b叵1, b 1, a V2, cJ5设函数 f (x) 2sin xcos2 - cosxsin sin x(02)在*处取最小值.求的宜(2)在 ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知a1,b2,3 一f(A)C1 cos【解析】(1) f (x) 2sin x cosxsin sin x2sin x sin xcos cosxsin sin xsin xcoscosxsin sin(x )因为函数f(x)在x处取最小值，所以sin(1,由诱导公式知sin1,因为0，所以 万

27、.所以f(x)sin(x ) cosx(2)因为f(A) I3,所以c0sA ,因为角A为ABC的内角，所以A最又因为a1,b 五，所以由正弦定理，得一一上 sin A sin B，也就是bsin A sin B a22 1 ,因为b a,所以B 或B22434当B 一时,C47,3, ;当8 时,C 6 4124634128. (2009全国卷II文)(本小题满分12分)设4ABC的内角A、B、C的对边长分别为 a,b,c, cos(A一32C) cos B -，b2【解析】由cos(A C)3 M cos B 一及 B2(A C)得 cos(A C)cos(A C) 3 ,3 -sin A

28、sinC) 一，解得 sin Asin C2sinB 近或 sinB2又由b2ac及正弦定理得sin2 B sin Asin C,故sin2 B -4 2(舍去)，于是B 或B 一。33又由b2 ac知b a或b c所以B9. （2009安徽卷理）（本小题满分12分）在 ABC 中，sin(CA) 1 , sin B(I)求sin A的值;(II)设AC 疵,求ABC的面积.【解析】（I ）由C A,且 C A 2B,B2'. /B、2, B . B、sinA sin(- ) (cos sin), 4 2222211sin2 A (1 sin B)- 23,又 sinA 0,二 sin

29、 A.33（n）如图，由正弦定理得AC BCsinB sin AAC sin A BC sin B3 2 2633310. (2009江西卷理)6互_3 2 ,又 sinC13-, S abc - AC BC 32（本小题满分12分）sin( Asin CB) sin AcosB cosAsin B ABC 中，A, B,C所对的边分别为a,b,c,sin A sin B tan C , sin( B A) cosC .cos A cos B(1)求 A,C ;(2)若 Sabc 3 73,求 a,c.【解析】（1）因为tan Csin A sin B» ，cos A cos B即

30、sin-C cosCsin Asin Bcos A cos B所以 sinCcosAsinCcosB cosC sin AcosC sin B ,sinCcosA sin(C A)cosC sin A cosC sin B sinCcosB,sin(B C),所以 CB C,或 C A(B C)(不成2C A B,得 C所以.B又因为sin（BA)cosC（舍去）得A ；,B512(2) S abc 1acsin B ac 3 展，又28a c,即 asin Asin C ,2F得 a 2.2, c 2 3.三角函数与向量综合：1. （2009年广东卷文）（本小题满分12分）已知向量a （si

31、n , 2）与b （1, cos ）互相垂直，其中（0,）2（1）求sin和cos的值(2)若 5 cos( ) 375 cos , 0 ,v v v v【解析】(1 ) Q a b , agb sin一，求cos 的值 22cos 0,即 sin 2cos2.又sin22cos 1 ,又 (0, ) sin 2(2) : 5cos( ).2cos sin , cos又 0，二 cos4cos2cos21，即 cos22.5 , cos 55(cos cos. 2 sin 1,22_55sin sin ).5 coscos2，即 cos212（2009江苏卷）（本小题满分14分）2,5sin

32、3,5 cosrrr4sin )设向量 a (4cos ,sin ),b (sin , 4cos ), c (cosr r r(1)若a与b 2c垂直，求tan( )的值；"r r(2)求|b c|的最大值；r r(3)若 tan tan 16 ,求证：a / b .16sin2(1)由a与b 2Gs直，a (b 2c)即 4sin( ) 8cos( )(2)b c (sin cos ,4cosb c2sin22sin cosa b 2a c 00,tan( ) 2;4sin ), 22cos 16cos 32cos sin17 30sin cos 17 15sin 2最大值为32,所以b