角函数在实际中的应用

1、角函数在实际中的应用作者：_日期:专题3锐角三角函数在实际中的应用解题技巧:1 .如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线）， 构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）；2 .在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。一仰角、俯角问题1 .某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度.已知小亮站着测量，眼睛与地面的 距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30。；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°.两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）.（1）求小敏到旗杆的距

2、离DF.（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度.（结果保留整数，参考数据:2 .如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从 B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与 地面所成的锐角是56°,从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°,且 BC=20m,若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离.（参考数据：sin56 =0.83,tan56 148, . V.73,结果保留整数）文物3 . （2014潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B, 一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米

3、的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45。，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99 104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB.4 .一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点 A看，测得杆顶端点A的仰角为45。，向前走6m到达点B,又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°,（1）求/BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度.（结果精确到1m）A5 .如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点 C处测得端点A的俯角为60°,然

4、后沿着平行于AB的方向 水平飞行了 500米，在点D测得端点B的俯角为45°,已知岛屿两端A、B的距离541.91 米，求飞机飞行的高度.（结果精确到1米，参考数据：仃%.73, aV.41）BD 是 6048°（人的身高忽略不计），求乙楼的高度6 . （2015丹东10分）如图，线段 AB, CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离米.某人站在 A处测得C点的俯角为37。，D点的俯角为CD.（参考数据：sin37 °| tan37 ° * sin48 ° 看，tan48 0 11） 5410107 .如图，一楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡

5、比为1: V3,山坡坡面上点E处有一休息 亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=6米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测 得点E的俯角为45°.（1）求点E距水平面BC的高度；（2）求楼房AB的高.（结果精确到0.1米，参考数据 6.414, V3M.732）8.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞彳T高度是 AF =3700米，从飞机上观测山顶目标 C的俯角是45。，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°,求这座山的高度 CD.（参考数据：sin50 °0.7COs50 °Q.6tan50 °

6、1.20）9. （2015?荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60。方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西450方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点 D处到公路的距离（结果不取近似值）10. （2015?达州）学习 利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山 与中心广场的相对高度 AB,其测量步骤如下：（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶 A的仰角/AFH=30。；（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线

7、上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角/EGH=45°（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB. 小取1.732,结果保留整数）11. （2015?河南）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上 D处测得大树顶端 B的仰角是30。，朝大树方向下坡走 6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°,若坡角/FAE=30°,求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin480也74, cos480

8、0.67,tan48° 杓11, V3M.73）12. （2014?河南）在中俄 海上联合-2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30。，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68。，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数，参考数据：sin680 09,cos68° 0.4, tan68° 2.5,_ ' 1.7)坡度、坡角问题13. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡 AB的坡角/ BAE = 45°,坝高BE =20米.汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到 F处，使新的背

9、水坡 BF的坡角/ F = 30°,求AF的长度.（结果精确到1米，参考数据：42=1.414炉=1.732）14. （2014山西）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段 AB, BC表示连接缆车站的钢缆，已知 A, B, C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度 AA', BB； CC分别为110米，310 米，710米，钢缆AB的坡度i1=1 : 2,钢缆BC的坡度i2=1 ： 1,景区因改造缆车线路，需要从 A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）15. （2015?广安）数学活动课上，老师和学生

10、一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡 FC的坡比为i=1: 10 （即EF: CE=1: 10）,学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端 B的仰角为 %已知tanQ,升旗台高AF=1m，小明 |7|身高CD=1.6m,请帮小明计算出旗杆 AB的高度.三方向角问题16. 如图，小岛在港口 P的北偏西60°方向，距港口 56海里的A处，货船从港口 P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口 P, 4小时后货船在小岛的正东方向.求货船的航行 速度.（精确到0.1海里/时，参考数据：WH.41,逸为.73）17. 某海

11、域有 A、B两个港口， B港口在A港口北偏西 30 °的方向上，距 A港口 60海里.有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75。方向的C处.求该船与 B港口之间的距离即 CB的长（结果保留根号）.18. 如图，要测量 A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30。方向上，在C点测得A点在C点的北偏西 45。方向上，又测得 BC= 150 m.求A点到河岸 BC的距离.（结果保留整数）（参考数据： 姆=1.41艰=1.73）!C«1河岸河岸!/19.（2013年河南省）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大

12、坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE,背水坡坡角BAE 68 ,新坝体的高为DE ,背水坡坡角 DCE 60 。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC.（结果精确到0.1米，参考数据:sin 680.93,cos680.37, tan 682.50,73 1.73)答案1.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析：(1)过点A作AMLEF于点M,过点C作CNLEF于点N.设CN=x ,分别表示出EM、AM的长度，然后在RtAAEM中，根据tan/ EAM=亚,代入求解即可；3(2)根

13、据(1)求得的结果，可得EF=DF+CD,代入求解.解:(1)过点A作AM，EF于点M ,过点C作CNLEF于点N,设 CN=x,在 RtA ECN 中， ZECN=45°, .EN=CN=x, EM=x+0.7 - 1.7=x - 1, .BD=5, .AM=BF=5+x , 在 RtAAEM 中， v / EAM=30 °研3'x-1=（x+5）,O1解得：x=4+3*71,即 DF= （4+3、，后）（米）； （2）由（1）得：EF=x+0.7=4+0.7制+3X.7+0.7咫.8%0 （米）.答：旗杆的高度约为10米.点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答

14、本题的关键是根据仰角构造直角三角形, 利用三角函数的知识求解.考点:解直角三角形的应用.2.分析:作AD，BC交CB延长线于点D,线段AD即为文物在地面下的深度.设AD=x .通过解直角AABD求得BD二三=；通过解直角AACD求得CD=/jx,由此 tan56列出关于x的方程，通过方程求得 AD的长度.最后通过解直角三角形 ABD来求AB的 长度即可.解：作ADLBC交CB延长线于点D,线段AD即为文物在地面下的深度.根据题意得 / CAD=30 °, / ABD=56设 AD=x .在直角 AABD 中，V /ABD=56°,bd=-=t anNABD t an56 &

15、#39;在直角 ACD 中，./ACB=30°, .CD=VAD二回+20解得 x为8.97, .AB=AD sin5&'118. 970, S3-23.答：从B处挖掘的最短距离为23米.点评:此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、余弦概念及运算，关键把实际问题 转化为数学问题加以计算.3 .【思路分析】首先，过点 A作AEXCD于点巳过点B作BFXCD于点F,易得四边形 ABFE为 矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF, AE = BF.由题意可知， AE= BF = 1100200= 900米，CD =4 .99 104米，然后分别在 RHAEC与RtABFD

16、中，利用三角函数求得 CE与DF的长，继而求得两海 岛间的距离AB.解：如解图，过点 A作AEXCD于点巳过点B作BFXCD,交CD的延长线于点 F.则四边形 ABFE为矩形， .AB=EF, AE = BF.由题意可知 AE = BF = 1100200 = 900（米），CD = 19900（米）.在 RtMEC 中,/ 0=45°, AE= 900（米）, .CE =AEtan / CAEtan 45= 900（米）,在 RtBFD 中，Z BDF =60°, BF= 900（米）,900BFDF = tan/BDF tan60300V3（米）,AB = EF = C

17、D + DF - CE= 19900 + 300炉900 = （19000 + 300/3）米.答：两海岛之间的距离 AB是（19000+300/3）米.4 .考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析：（1）作PQXAB交AB的延长线于H, （2）设PQ=xm,根据正、余弦的定义表示出 式计算即可.解：（1）作PQXAB交AB的延长线于H, 由题意得，/QBH=30°, /PBH=60°, ./BQH=60°, /PBQ=30°,丁. / BPQ=/ BQH - / PBQ=30°（2）设 PQ=xm,ZBPQ=Z PBQ, a BQ=PQ

18、=xm ,/QBH=30°, , QH=-|bQ=-1x, BH考x,./A=45°,6+Wx=x +4x,解得 x=2V>6-9.答：该电线杆PQ的高度约为9m.根据三角形的外角的性质计算；QH、BH,根据等腰直角三角形的性质列点评:本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐 角三角函数的定义是解题的关键.5 .考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:过点A作AELCD于点E,过点B作BFLCD于点F,设高度为x米，在RtAAEC中可得 CE=一笑=亚工，在 RDBFD 中有 DF=k=x,根据 AB=EF=CD+DF - CE

19、tan60 3tan45列出方程，解方程可求得x的值.解：过点A作AE LCD于点E,过点B作BFLCD于点F,设高度为x米. AB / CD,丁. /AEF=/ EFB=/ABF=90 °, 四边形ABFE为矩形. .AB=EF, AE=BF.由题意可知：AE=BF=x米，CD=500米.在 RtzXAEC 中，/C=60°, -CE=T 惇 K （米） 在 RtzXBFD 中，/BDF=45 °, .DF=+ 船=x （米）. tan45 ' .AB=EF=CD+DF - CE,即 500+x-嗫=541.91J解得：x=99答：飞机行飞行的高度是99

20、米.6 .【思路分析】本题考查三角函数的实际应用.题中有角度没直角三角形，先考虑过点C向AB作垂线CE构造直角三角形，利用正切分别求得AB、AE,最后利用线段和差关系求解即可.解：过点C作CEXABx AB于点E ,则四边形EBDC为矩形，.BE=CD, CE=BD=60米.（2 分）根据题意可得，ZADB = 48°, /ACE=37°.在 RtADB 中，tan48 °=AD,11则 AB = tan48 BD 而X60= 66（米）；（5 分）在 RtACE 中，tan37 °=而,3则 AE = tan37 CE760=45（米）,（8 分）.C

21、D = BE=AB- AE= 66 45= 21（米）,，乙楼的高度 CD为21米.（10分）7 .考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析：（1）过点E作EFLBC于点F.在RtzXCEF中，求出CFEF,然后根据勾股定 理解答;（2）过点E作EHLAB于点H.在RtzXAHE中,CF的值，再根据AB=AH+BH ,求出AB的值.解：（1）过点E作EFLBC于点F.在 RtzXCEF中，CE=20,晋金，.EF2+ （V3EF） 2=202,. EF>0, .EF=10.答：点E距水平面BC的高度为10米.（2）过点E作EHLAB于点H.贝（JHE=BF, BH=EF.在 RtzX

22、AHE 中，/HAE=45 °, .AH=HE ,由（1）得 CF=JF=10仃（米）又. BC=6米， .HE=6+10 仃米， .AB=AH+BH=6+10 饵10=16+1跖梭.3 （米）./HAE=45°,结合（1）中结论得到答：楼房AB的高约是33.3米.8.解：设 EC = x,ECECtan / EBCECtan501x（米）,在 RtBCE 中，tanZEBC = BE,在 RtACE 中，tanZEAC = AE，ECtan / EACECtan45'=x（米）,.AB+BE = AE,-300 + 5x = x, 6解得：x= 1800（米），这

23、座山的高度 CD = DE EC = AF CE = 3700 1800 =1900（米）.答：这座山的高度是 1900米.14.【思路分析】对于解直角三角形的实际应用问题，首先要考虑把要求的线段和已知线段、角放到直角三角形中求解.如解图，过点 A作AELCC于点E,交BB于点F,过点B作BDLCC于点D.分别在RtAAFB和RtABDC中根据坡度求得 AF , BD的长度，再在RtAAEC中，根据勾股定理求得AC的长度.解：如解.图，过点 A作AELCC于点E,交BB于点F,过点B作BDLCC'于点D.则4AFB , 4BDC和4AEC都是直角三角形，四边形AABF, BB CD和B

24、FED都是矩形. . BF = BB FB '= BB AA'= 310 110= 200（米）,.CD = CC' DC '=CC - BB'= 710 310= 400（米）.- i1= 1 : 2, i2=1 ： 1,AF = 2BF=400（米）,BD = CD = 400（米）.又. FE=BD=400（米），DE =BF=200（米）. .AE = AF + FE =800（米）， .CE = CD+DE = 600（米）.第8题解图在 RtAEC 中，AC =AE2+CE2 =8002+6002 = 1000（米）.答：钢缆AC的长度为1000米.16 .考点:解直角三角形的应用-方向角问题.分析:由已知可得ABXPQ, /QAP=60°, /A=30°, AP=56海里，要求货船的航行速度， 即是求PB的长，可先在直角三角形 APQ中利用三角函数求出PQ,然后利用三角函数求 出PB即可.解：设货船速度为x海里/时，4小时后货船在点