解题教学与思维品质的培养

1、解题教学与思维品质的培养湖南省衡东县第五中学罗江英解题教学是数学教学中一个极其重要的环节，它既能帮助学生全 面的、深刻的理解和掌握基础知识和方法，领会数学思想。更重 要的是能够培养学生的思维品质，从而真正提高学生分析问题、 解决问题的能力。一、一题多解，培养思维的广阔性思维的广阔性表现在多方面，多角度地思考问题，善于发现事物 多方面的联系，找出多种解决问题的方法。在教学中，教师可多 设计一些问题，引导学生在所学的知识范围内尽可能提出不同的 构想、不同的解法。例1已知f (x) K1 + £, a、b为相异的实数求证|/()一/。)|<la-bl思路1:按证明绝对值不等式的常规方

2、法，经过平方去绝对值符 号后利用作差法比较，通过配方判定符号得以证明。思路2：利用作商比较法，通过分子有理化，再用放缩法原理证 明之思路3：注意到函数f(x”、耳定的结构特征，作三角代换： 令x=tan。,转化为三角不等式证明 思路4：考虑方程y=7TTf表示双曲线y2-x2=l的上支。而/(。)一)(网是表示该双曲线上两点(a,f(a)与(b,f(b)的 a-b连线的斜率的绝对值。于是问题可化为双曲线上任一条弦所在直 线的斜率的范围问题，而双曲线y2-x2=l的渐近线的斜率为土1. 问题即可得证思路5：考察表达式0)2 + (x - 0)2可视为P(x.l) 到 0(0,0)的距离，当 aW

3、b 时，Px (a, 1), P?(b, 1)和原点 0(0,0)确 定的三角形O巴已中任意一边大于其余两边之差，即可得证。思路6：观察函数f(x)二、T针的特点，联想到复数的模，可 构造复数z=l+xi,利用复数的三角不等式进行证明。类似上述这种一题多解的训练，能沟通代数、几何、三角等知识 之间的联系，对培养学生思维的广阔性是十分有益的。二、一题多变，培养思维的深刻性思维的深刻性表现在能深入钻研与思考问题，善于从复杂的事物 中去把握它的本质，真正领会解决问题的数学思想和方法。一题多变是指变换问题的条件或结论，深入探讨问题，有利于培 养思维的深刻性。例2设Ai、A2是圆x?+y2=a2的一条直

4、径的两个端点，巳已是与A1A2垂直的弦，求直线Ai R与A2 R的交点的轨迹方程。学生可用多种方法求出轨迹方程xZy2=a2。在教学中，可将上题的条件分别改为“设A、A?是椭圆=1长轴上的两个顶2 X 点”或“设Ai、A2是双曲线一a2Qi实轴上的两个顶点”,引导学生继续探索其轨迹方程。例3已知圆的方程是x2+y2K2,求经过圆上一点M(xo, yo)的方程学生利用“圆的切线垂直于过切点的半径”这一性质，很容易求 出切线方程是xox+yoy=r2.同样在教学中可将此题变换成如下的 问题让学生深入思考变题1：如果M(xo. yo)是圆x2+y2=F内异于圆心的一点,试判断 直线x°x+

5、y°y二必与圆的位置关系。变题2：如果M(xo. yo)是圆x2+y2=d外的一点，试判断直线 x°x+y。尸声与圆的位置关系。三、注重开放题的教学，培养思维的独创性思维的独创性表现在能独立地提出问题，发现问题，分析问题和 解决问题，勇于创新，敢于突破常规的思考方法和模式，主动提 出新的见解和方法。开放题可充分激发学生的创新潜能，在开放 题的教学中，选用的问题既要有一定的难度，又要被大多数学生 接受；既要隐含“创新”因素，又要留有让学生可以从不同角度、 不同层次充分施展聪明才智的余地。例4直线y=3x+m与抛物线y二x相交于A、B两点，,求直线AB的方程。你能对横线处补充一个恰当的条件，使直线方程得以确定吗？此 题一出，学生的思维便很活跃，补充上的条件也是形形色色，百 花齐放：®AB -a/TO ；OALOB；线段AB被Y轴平分； 线段AB的中点到Y轴的距离最短等等。学生畅所欲言，涉及到 的知识有韦达定理、弦长公式、中