信息光学计算

1、1.采用采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径孔径:求求菲涅耳衍射图样菲涅耳衍射图样在孔径在孔径轴上的强度轴上的强度分布。分布。220000,t x ycircxy解：(1)设入射光场为U0(x0，y0)，由题意，知 U0(x0，y0)=1。圆形孔径的透射率函数为：t(x0，y0)=。则孔径平面透射光场分布为： U(x0，y0)= t(x0，y0)=。由菲涅耳衍射公式可得衍射光场为：令：x=y=0时，得到衍射图样在轴上的复振幅为：将积分换用极坐标系作运算，得轴上复振幅分布为：则孔径轴上强度分布为：由上式可知，圆孔菲涅耳衍射图样其

2、中心光强沿孔径轴是明暗交替变换的，而且：当 ，即 时，I(0,0)=0,为极小值；当 ，即 时， I(0,0)=4,为极小值。222200002222000022200002222200001,1,kkkixyixyix xy yikzzzzkkkixyixyix xy yikzzzzUx yeeUxyeedx dyi zeecircxyeedx dyi z220022200000,0kikzixyzeUcirc xy edx dyi z2212200/4/4/4/410,0 |12sin4kkiriikzikzzzZikzikzikzikzikzikzUederdreeizkeeeeieez

3、 2220,0 |0,0 |4sin4sin42ZZkIUzz1,2,3,.2nnz12zn10,1,2,3,.22nnz121zn2.余弦余弦型振幅光栅的复振幅透过率为型振幅光栅的复振幅透过率为：t(x)=a+bcos(2x/d)，式中，式中，d 为光栅的周期，为光栅的周期，a b 0。观察平面与光栅相距。观察平面与光栅相距z。当。当z分别取下述值时，分别取下述值时，确定单色确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布平面上产生的强度分布。式中式中：zT=2d2/为为泰伯距离泰伯距离。（。（1）z= zT=2d2/（2）z=zT/2 =d2/解：光栅与相距

4、为z 的观察平面上的光场分布，这是一个典型的菲涅耳衍射的问题。可以在频域来求解这个问题。当单色平面波垂直照明光栅时，光栅透射光场为：U(x0)=At(x0)=Aa+bcos(2x0/d)，式中： A 为平面波振幅。该透射光场对应的空间频谱为： ，根据菲涅耳衍射的传递函数式：可得到观察平面上的光场的频谱为：下面分两种情况进行讨论： (1)： 当z= zT=2d2/时，e e- -iziz/d/d2 2=1=1，则有：对上式作傅里叶逆变换，可得到观察平面上的光场复振幅分布为：强度分布为：从上式可以看出，强度分布与光栅透射场分布相同。(2)当z=zT/2 =d2/时， e e- -iziz/d/d2

5、 2=-1=-1，则有：对上式作傅里叶逆变换，可得到观察平面上的光场复振幅分布为：强度分布为：强度分布与光栅透射场分布相比，像产生相移。 1122bbFA add 2izikzHee 22/11221122izikzikzik z dbbGHFHA aeeddbbAeaedd 1122ikzbbGAeadd cos 2/ikzU xA abx de 22cos 2/I xAabx d 1122ikzbbGAeadd cos 2/ikzU xA a bx de 22cos 2/I xA a bx d3.3.环形环形孔径的外径为孔径的外径为2a2a，内径为，内径为2a 2a (0 (0 1a。光栅

6、透过率可以表示为一维卷积形式：采用单位振幅的单色平面波垂直照射衍光栅，则透射光场等于光栅的复振幅透过率: U(x0,y0)=t(x0,y0)，其对应的傅里叶变换式为：把上式代入夫琅禾费衍射公式，得到夫琅禾费衍射图样的复振幅分布为：0000001,*xxxyt x yrectcombrectrectaddLL 200000 0221,*sin* sinsinsin* sinsinsinsinnnxxxyF U xFrectcombrectrectac a comb dLc Lc LaddLLaamnaLamncLc Lc Lcc Ldddddd sinc L222220 0,22,zsinsin

7、sinzkixyikzzxyzzkixyikzzne eUF U xiaL e eamxnycc Lc Lidddzx,y强度分布为：上式就是光栅的夫琅禾费衍射图样。当单缝衍射的零点位置与某些衍射级重合时，这些衍射级就会消失。(1)若夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级(见左下图)，则要求：2n/d=n/a(n=1,2,.)，即d=2a(2)若夫琅禾费衍射图样中第三级极小(见右下图)，则要求3/d=1/a ，即d=3a2222sinsinsinnaLamxnLyIccLczddddzx,y5.5.在在透明玻璃板上有大量透明玻璃板上有大量(N)(N)无无规则分布的不透明小圆规则分布的不透明小圆颗粒颗粒,

8、 ,它们它们的半径都是的半径都是a a 。采用单采用单位位振幅的单色平面波垂直振幅的单色平面波垂直照明照明, ,求求相距为相距为z z 的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。强度分布。解：有N 个无规则分布的不透明圆颗粒的透明玻璃板与这些不透明圆颗粒位置有N 个透明圆孔的不透明玻璃板是互补屏。因此，可通过求解N 个无规则透明圆孔的不透明玻璃板的衍射图样强度分布间接求解。有N 个无规则透明圆孔的不透明玻璃的复振幅透过率函数可以表示为：式中xn,yn是各个小圆孔的中心位置。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，玻璃板透射的光场分布为：U(x0，y0)=t(x0，y0

9、)=.对上式作傅里叶变换，有：22222221220 0,2212+y,z+ynnkixyzkxxyyixyikziNzzzikzxyzzna xJze eUF U xiae eeixx,y将上式代入夫琅禾费衍射公式，则得到观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布为：22N000001*nnnxytcircxxyya0 x ,y，2222N0000001,+y22122122112+y2+ynnnnnnxynxrzzzzxxyyiNNixyzznnxyF UB circFxxyyaaxJzJaaea zex x ,y，强度分布为：222222222112222221,1(ij)2+y2+y,+y

10、+y2cos 2cos 22sin 2nnxxyyiNzznNjjiiiii ja xa xa Ja JzzI x yU x yeNxxxxyyxxyyxxyyzzzzzz,1(ij)2222122,1(ij)sin 22+y2cos 2+yNjji jNijiji jxxyyzza xa JzxxxxyyyyNxzz 因为N 个孔径无规则排列，所以有：,1(ij)2 cos 20Nijiji jxxxxyyyyzz这样，强度分布最终简化为：22221222+ y,+ yaxN aJzIxyx所以， N 个无规则分布的小孔，其衍射图样简单的就是单个小孔衍射强度的N 倍。N 个无规则分布的不透明

11、圆颗粒的透明玻璃板的透过率表示为1-t(x0 , y0)，其傅里叶谱为：0000,1,xyzzFtxyFtxy 根据巴比涅原理，衍射图样的强度分布除中心有一个亮点 外，其余部分强度分布应该与上式所表达的I (x, y)相同。,xyzz6.6.一一个衍射屏具有下述圆对称的复振幅透过率函数个衍射屏具有下述圆对称的复振幅透过率函数( (见下图见下图) )(1)(1)这个屏这个屏的的作用类似于透镜，为什么作用类似于透镜，为什么？( (2) 2) 给出此屏的给出此屏的焦距焦距表达式表达式？( (3) 3) 这种这种屏作屏作成像元件它会受到什么性质的限制成像元件它会受到什么性质的限制( (特别对于多色物体

12、成像特别对于多色物体成像) )？解：(1)此衍射屏的复振幅透过率如图所示，可把它表示为如下直角坐标形式：式中，中括号内的第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜相位变换因子： 比较，形式相同。当用平面波垂直照射200011cos2rt rarcircl22214kixyfe2214ia xye2214ia xye22222211,2414ia xyia xyt x yexyecircl(2) 把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的相位变换因子相比较，便得相应的焦距，即对于 项，令a= k/(2f1)，则有f1= k/2a= /a0，焦距为正，相当于会聚透镜。对于 项，令a=-k

13、/(2f2)，则有f2=-k/2a=-/a0，焦距为负，相当于发散透镜。对于1/2项，平行光直接透过，仅振幅衰减，相当于一个振幅衰减片，可视为f3=。(3) 由于该衍射屏有三重焦距,当用作成像装置时,便可以对同一物体形成三个像。例如对无穷远的点光源,将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像,而另一个像在无穷远(直接透射光)。如下图所示。当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。若用接收屏来接收，则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。此外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长成反比。若用白光作光源，则在像面上可看到严重的色散现象。如取：red

14、=690nm，blue=469nm，则有：4600.67690redblueblue这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到非常严重的色散现象。这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图。时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。因子 表明该屏具有半径为l 的圆形孔径。22xyc i r cl7.7.图图3 3所所示相干成像系统中，物体的复振幅透过率示相干成像系统中，物体的复振幅透过率为为: :为了使像面能得到它的像，为了使像面能得到它的像，问问(1(1) ) 若若采用圆形光阑，其直径应大于多少采用圆形光阑，

15、其直径应大于多少？ (2)(2)若若采用矩形光阑，各边边长应大于多少采用矩形光阑，各边边长应大于多少？解：物体的频谱为： 其频谱如下图所示。物体有三个频谱分量，在谱面上的位置分别(0,0), ( a , b ),(- a ,- b )。要使像面上得到物体的像，则必段要求这三个频率分量都通过系统，即系统的截止频率要都要大于这三个频率分量中任何一个分量的频率。(1)若采用圆形光阑，假设光阑直径为D，系统的截止频率为： 0=D/(2f)，根据上面的分析，要使像平面得到物体的像，必须要求 即要注(2)若采用矩形光阑，假设其大小为ab，则系统截止频率为： 根据上面的分析，要使像平面得到物体的像，必须要求

16、即要求8.8.一一个非相干成像个非相干成像系统系统, ,出瞳出瞳由两个正方形孔构成。如下图所示，正方形孔的边由两个正方形孔构成。如下图所示，正方形孔的边长长a=1cm,a=1cm,两两孔中心距孔中心距b=3cmb=3cm。若光波。若光波波长波长=0.5m=0.5m，出瞳与像面距离，出瞳与像面距离 d di i=10cm=10cm，求系统的求系统的OTFOTF，画出沿画出沿f fx x 和和f fy y 轴轴的截面图。的截面图。解：假定这是一个衍射受限的非相干成像系统。根据OTF 的几何解释,光学传递函数为：在 轴上， =0。左下图表示中心在(0,di/2)和(0,-di/2)的两个错开的光瞳。

17、重叠面积和总面积S0同时增加一倍，两者比值保持不变。因而H(0,)与单个正方形孔情况下沿轴的OTF相同,即有H(0,)=tri(/2 0),式中:tri(/2 0=a/di=10/(1000.5)103mm-1=200mm-1。其截面图如右下图所示。式中:S0是光瞳面积；S( ，)是中心位于 和 的两个平移光瞳的重叠面积。在轴上，=0，根据重叠情况的变换，可分为四个区间进行讨论：(1)如左下图所示，当时，此时重叠区面积与总面积的比值与单个孔的情况相同，因此(2)如右下图所示，当 ，因为b=3，即 时，两个孔相互错开，重叠面积为零，因此H(，0)=0(3)如下图所示，当 或即 时，只有一个孔发生

18、重叠，但总面积是两个孔的面积，因此OTF 的大小只是第一种情况的一半，即(4)如右下图所示，当 时，光瞳完全错开,无重叠部分,即:其沿轴的光学传递函数截面图如下图所示。9.9.下下图所示成像图所示成像系统系统, ,光阑光阑为双为双缝缝, ,缝缝宽为宽为a a , ,中心中心间隔为间隔为d d , ,照明照明光波长光波长为为。求求下述情下述情况况下系统的脉冲面积响应和下系统的脉冲面积响应和传递函数传递函数, ,画画出它们的出它们的截面图截面图.(.(1) 1) 相干相干照明照明;(;(2) 2) 非相干照明。非相干照明。解：对于相干照明情况下，光瞳函数为： 相干传递函数为： 对应的相干脉冲响应为： 脉冲响应和传递函数的截面图如下图所示。对非相干照明，利用上面计算的结果，非相干脉冲响应为：则非相干传递函数为：脉冲响应和传递函数的截面图如下图所示。1 10.0.制作制作一全息图一全息图, ,记录时用的是氩离子激光器波长为记录时用的是氩离子