1312线段的垂直平分线的性质(第1课时)

1、 八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 人人 第十三章第十三章 轴对称轴对称忠县民族中学校：杜忠县民族中学校：杜 娟娟学学 习习 新新 知知观察思考 为为方便居民的出行方便居民的出行, ,准备在小河上修准备在小河上修建一座桥建一座桥. .为了让为了让A A和和B B两个社区的居民两个社区的居民到桥的距离都相等到桥的距离都相等, ,建桥的位置应该选建桥的位置应该选在哪在哪? ?1.线段垂直平分线的性质小结 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图所示,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,到点A与点B的距离,你有什么发现? 如图所示

2、,设直线MN是线段AB的垂直平分线,点C是垂足,点P是直线MN上任意一点,连接PA,PB,我们要证明的是PA=PB. 图中有两个直角三角形,APC和BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得PA=PB.证 明你能写出已知、求证,并证明吗？已知:MNAB,垂足为点C,AC=BC,点P 是直线MN上任意一点.求证:PA=PB. 因为点P是线段的垂直平分线上一点,于是就有:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.证明:在APC 和BPC中,PC=PC (公共边),PCB=PCA(垂直定义),AC=BC (已知),APC BPC (SAS).PA=PB(全等三角形的对应边相等).2.线段的垂

3、直平分线的判定1.你能写出上面这个命题的逆命题吗?2.它是真命题吗? 这个命题不是“如果那么”的形式,要写出它的逆命题,需分析原命题的条件和结论,将原命题写成“如果那么”的形式,逆命题就容易写出. 原命题的条件是原命题的条件是“有一个点是线段垂有一个点是线段垂直平分线上的点直平分线上的点”, ,结论是结论是“这个点与这个点与这条线段两个端点的距离相等这条线段两个端点的距离相等”. .写出逆命题后,就想到判断它的真假.如果真,那么需证明它;如果假,那么需用反例说明.如何证明？已知已知: :线段线段ABAB, ,点点P P是平面内一点是平面内一点, ,且且PAPA= =PBPB. .求证求证: :

4、P P点在点在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. .证法1 :过点P 作已知线段AB 的垂线PC,PA=PB,PC=PC,RtPAC RtPBC (HL).AC=BC,即P 点在AB 的垂直平分线上.又PCA+PCB=180,PCA=PCB=90,即PCAB,P点在AB的垂直平分线上.证法2 :取AB 的中点C,过P,C 作直线. PA=PB,PC=PC,AC=CB,APCBPC(SSS).PCA=PCB(全等三角形的对应角相等).证法3 :过P 点作APB 的平分线, PA=PB,APC=BPC,PC=PC,APCBPC(SAS).AC=BC,PCA=PCB(全等三角形的对应边相等,对应

5、角相等).又PCA+PCB=180,PCA=PCB=90,P点在AB的垂直平分线上. 从的推理证明过程可知 线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题,我们把它称为线段的垂直平分线的判定. 能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢? 要作出线段的垂直平分线要作出线段的垂直平分线, ,根据垂直平根据垂直平分线的判定分线的判定: :与一条线段两个端点距离相等与一条线段两个端点距离相等的点的点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上, ,那么我们那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点必须找到两个与线段两个端点距离相等的点, ,这样才能确定已知线段的垂直平分线这样才能确定已知线

6、段的垂直平分线. .作法:(1)任意取一点K,使点K 和点C 在AB 的两旁.(2)以点C 为圆心,CK 长为半径作弧,交AB 于点D 和E.(4)作直线CF.直线CF 就是所求作的垂线。KCABDEF尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知已知: :直线直线AB AB 和和AB AB 外一点外一点C C ( (如图所示如图所示) ). .求作求作: :AB AB 的垂线的垂线, ,使它经过点使它经过点C.C.(3)分别以点D和点E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,两弧相交于点F.12知识小结1.线段的垂直平分线的判定与性质互为逆命题.2.线段的垂直平分线的集合定义包含两个意思.(1

7、)(1)到线段两个端点的距离相等的点都在到线段两个端点的距离相等的点都在线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. .(2)(2)在线段垂直平分线上的点到线段两个在线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等端点的距离相等. .1如图所示,ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4 cm,ABD的周长为14 cm,则ABC的周长为 () A.18 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm检测反馈检测反馈解析:DE 是AC 的垂直平分线,AD=CD,ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,AE=4 cm,AC=2AE=24=8(cm),ABC 的周长=AB+BC+

8、AC=14+8=22(cm).故选B.B2如图所示,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 ()A.AB=ADB.CA平分BCDC.AB=BDD.BECDECC3.如图所示,在ABC中,AB=AC,A=36,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下列结论错误的是 ()A.BD平分ABCB.BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点解析解析:在在ABC中中,AB=AC,A=36,1803672 ,2ABCC AB的垂直平分线是的垂直平分线是DE,AD=BD,ABD=A=36,DBC=ABC-ABD=72-36=36=ABD,BD平分

9、平分ABC,故故A正确正确;BCD的周长为的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故故B正确正确;DBC=36,C=72,BDC=180-DBC-C=72,BDC=C,BD=BC,AD=BD=BC,故故C正确正确;BDCD,ADCD,点点D不是线段不是线段AC的中点的中点,故故D错误错误.故选故选D.3.如图所示,在ABC中,AB=AC,A=36,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下列结论错误的是 ()A.BD平分ABCB.BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点D4.如图所示,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10 cm,BC=11 cm,求ABD的周长.解析解析: : 先根据线段垂直平分线先根据线段垂直平分线的性质得出的性质得出ADAD= =CDCD, ,故可得出故可得出BDBD+ +ADAD= =BDBD+ +CDC