代数考研3.3向量秩ppt课件

1、._?_?_._:,.,_t),t ,3 , 1(),3 ,2 , 1(),1 , 1 , 1(为什什么么表表示示式式是是否否唯唯一一的的线线性性组组合合可可表表示示为为向向量量这这时时向向量量相相关关线线性性时时当当设设 ._,),1 , 0 , 1, 0 , 9(),0 , 1 , 2 , 0 , 6(),0 , 0 , 8 , 1 , 5(. 2321321线线性性则则设设 ._b, a, 3),(r),4 , 6 , 2(),2 , 3 , 1(),1 , 1 , 1(),b, 0 , a(. 343214321应应满满足足条条件件则则如如果果设设 5212

2、唯一唯一线线性性无无关关21, 无关无关0ab2 :)(填空题填空题一一:)(填空题填空题一一3.3 向量组的秩向量组的秩 当方程组有无穷多解，当方程组有无穷多解，即有无穷多个解向量时，即有无穷多个解向量时，其中至其中至多只有多只有n个线性无关，个线性无关，中找到最大的中找到最大的倘若我们在全体解向量倘若我们在全体解向量，一个线性无关的部分组一个线性无关的部分组其余解向量均可其余解向量均可。被它们表示被它们表示，找到了这部分解向量找到了这部分解向量。就能找到其余的解向量就能找到其余的解向量由此可见，由此可见，的线性无关的部分组，的线性无关的部分组，讨论向量组中个数最多讨论向量组中个数最多具有具

3、有 重要意义。重要意义。定义定义的一个部分组的一个部分组若向量组若向量组s21, 满足满足r21, 线性无关；线性无关；)1(线性表示。线性表示。可由可由r21i,) s , 2 , 1i ()2( 线性无关组，线性无关组，为原向量组的一个极大为原向量组的一个极大则称则称r21, 简称为简称为.极大无关组极大无关组1例例),1, 2 , 1(1 ),2 , 3 , 0(2 ),0 , 7 , 2(3 线性无关线性无关21, 2110 2120 2132 的的一一个个极极大大无无关关组组。，为为，则则432121 )0 , 0 , 0(4 21400 ”，”，极大无关组既是“极大极大无关组既是“

4、极大又是“极小”。又是“极小”。“极大”是指“极大”是指的线性无关的部分组，的线性无关的部分组，它是向量组中个数最多它是向量组中个数最多“极小”是指它“极小”是指它部分组。部分组。的可以表示每个向量的的可以表示每个向量的又是向量组中个数最少又是向量组中个数最少可改为可改为定义中，条件定义中，条件(2)向量组中其余向量可由向量组中其余向量可由)2( 线线性性表表示示。r21, 或或。线性相关线性相关)n, 2 , 1i (,)2(r21i 两个特殊情形：两个特殊情形：极极大大无无关关组组；单单个个零零向向量量的的向向量量组组无无)1(大无关组即其本身。大无关组即其本身。线性无关的向量组，极线性无

5、关的向量组，极)2(，极大无关组可能不唯一极大无关组可能不唯一中，容易验证，中，容易验证，例例1和和，31 32 ，组。组。都是向量组的极大无关都是向量组的极大无关s21, )( t21, )(定义定义中中每每个个向向量量可可由由若若向向量量组组 )(线性表示，线性表示，向量组向量组)(可由可由则称向量组则称向量组)(.)(线性表示线性表示向量组向量组由定义，由定义，由向量组本身线性表示由向量组本身线性表示向量组的任一部分组可向量组的任一部分组可另外，另外，组线性表示。组线性表示。向量组可由其极大无关向量组可由其极大无关)(p21, )( 若向量组若向量组线性表示，线性表示，可由可由)()(而

6、而向向量量组组)(又可由又可由线性表示，线性表示，)( 则向量组则向量组)(可由可由.线性表示线性表示)( 若向量组若向量组可可相相互互线线性性表表示示，和和)(则称向量组则称向量组)( 等价。等价。和和)( 记作记作定义定义,s21 ,t21 向量组线性表示的向量组线性表示的 传递性：传递性：反身性反身性)1(,s21 ,s21 对对称称性性)2(,s21 ,t21 ,t21 ,s21 传递性传递性)3(,s21 ,t21 ,t21 ,p21 ,s21 ,p21 9 . 2定理定理组等价。组等价。向量组和它的极大无关向量组和它的极大无关推论推论无关组等价。无关组等价。向量组的任意两个极大向量

7、组的任意两个极大10. 2定理定理线性无关，线性无关，如果向量组如果向量组s21, 且可由向量组且可由向量组线线性性表表示示，t21, . ts 则则1推推论论s21, 如果向量组如果向量组线线性性表表可可由由t21, t,s 示示且且线性相关。线性相关。则则s21, 2推论推论相相同同。向向量量组组所所含含向向量量的的个个数数等等价价且且线线性性无无关关的的两两个个3推论推论等等。无无关关组组所所含含向向量量个个数数相相向向量量组组的的任任意意两两个个极极大大10. 2Th证证明明设设 tt12121111kkk tt22221212kkk .tst22s11sskkk 则有则有ss2211

8、xxx 1x)kkk(tt1212111 2x )kkk(tt2222121 . sx )kkk(tst22s11s 1 )xkxkxk(s1s221111 2 )xkxkxk(s2s222112 . t )xkxkxk(sst2t21t1 令令0 xkxkxks1s221111 0 xkxkxks2s222112 .0 xkxkxksst2t21t1 , ts 若若,零解零解则上述齐次方程组有非则上述齐次方程组有非即有不全为零的数即有不全为零的数,x,x,xs210 xxxss2211 使使得得则则线线性性相相关关，s21, 矛盾。矛盾。所以所以ts 证证明明设有向量组设有向量组s21, )

9、( t21, )(),( 向量组向量组均线性无关且均线性无关且)( )( )(线性无关且可由线性无关且可由由于由于 )(线性表示，线性表示，)(知知则由定理则由定理10. 2ts 同同理理, st ts 即即。2相相等等向向量量组组所所含含的的向向量量个个数数等等价价的的两两个个线线性性无无关关的的推推论论定义定义量量的的个个数数的的极极大大无无关关组组中中所所含含向向向向量量组组s21, 称为向量组的秩，称为向量组的秩， 记作记作.,rs21 ，如果向量组只含零向量如果向量组只含零向量规定其秩为零。规定其秩为零。s,rs21 线线性性无无关关s21, 线线性性相相关关s21, s,rs21

10、2例例,:s21 )( 设向量组设向量组,t21 :)(可由可由线性表示，线性表示， 则则,rs21 .,rt21 ，向向量量组组可可怎怎样样表表示示？若若1,rs21 证证明明,r,r1s21 设设.r,r2t21 与与1r21iii, 与与分分别别与与是是s21, 2r21jjj, t21, 的极大无关组。的极大无关组。1r21iii, 则则线线性性表表示示，可可由由s21, s21, 又又线线性性表表示示可可由由t21, t21, 且且2r21jjj, 可由可由线性表示，线性表示，可由可由从而从而1r21iii, 线性表示。线性表示。2r21jjj, 线性无关，线性无关，因因1r21ii

11、i, 可得可得由定理由定理10. 2.rr21 3例例, 0r,rs21 设设可可由由其其部部分分组组若若s21, ，线线性性表表示示r21iii, 是是则则r21iii, s21, 的一个极大无关组。的一个极大无关组。, 0r,rs21 若若个个则其中任意则其中任意 rr21iii, 线线性性无无关关的的向向量量s21, 都是都是的极大的极大可以证明，可以证明，无关组。无关组。证证明明n21, 又又r21iii, 因因为为的部分向量组，的部分向量组，是是s21, r21iii, 则则线性表示，线性表示，可用可用s21, 线线性性表表示示，可可用用r21iii, 则则,r21iii ,s21

12、所以所以 ,rr21iii ,rs21 r 线性无关，线性无关，则则r21iii, ,s21的的极极大大无无关关组组。即即为为 可可得得由由例例 211. 2定理定理,s21 若若,t21 则有则有,rs21 ,rt21 逆命题不成立。逆命题不成立。,rs21 但但若若,rt21 组线性表示，组线性表示，且其中某一组可由另一且其中某一组可由另一则可证两组等价。则可证两组等价。证证明明,s21 ,t21 ,r2s21 ，由由例例,rt21 可由可由,s21 线性表示。线性表示。,t21 ,rs21 ,rt21 同同理理 ,rs21 则则,rt21 4例例设有向量组设有向量组)()( )(321,

13、 4321, 5321, , 4)(r )(r, 3)(r 证证明明线性无关。线性无关。543212 , 4例例设有向量组设有向量组)()( )(321, 4321, 5321, , 4)(r )(r, 3)(r 证证明明线性无关。线性无关。543212 , .)(, 3)(r线线性性无无关关则则因因 , 3)(r 又又,)(线性相关线性相关则则.,3214线线性性表表示示可可由由所所以以 线性相关，线性相关，设设543212 , 可可由由故故542 ,321线线性性表表示示 ,3215线线性性表表示示可可由由所所以以 这与这与矛盾，矛盾，4)(r 线线性性无无关关。所所以以543212 , 例例是由是由设向量组设向量组)(由由设向量组设向量组)(线线性性表表示示，)(与与 )(，)(r证证明明可由可由)(线性表示。线性表示。 )(证证合合并并所所成成，)(、)(分别是分别是)( )(r的极大无关组，的极大无关组，、 )()( 由由则则 )(线性表示，线性表示，)(由由从而从而)(线性表示，线性表示，)(是是所所以以)(的极大无关组，的极大无关组，)( )(r 则则，)(r的极大无关组，的极大无关组，)(是是所所以以)(可可由由则则)(线性表示，线性表示，)(从而从而可由可由)(线性表示。线性表示。 )(法一法一法二法二s21,