幂零矩阵和幂零变换的性质及应用

1、幂零矩阵和幂零变换的性质及应用 作者： 日期：18 幂零矩阵和幂零变换的性质及应用1引言定义1.11 令为阶方阵，若存在正整数，使，称为幂零矩阵.定义1.21 若为幂零矩阵，满足的最小正整数称为的幂零指数.定义1.33 设为一个阶方阵，的主对角线上所有元素的和称为的迹，记为.定义1.45 形如的矩阵称为若当块，其中为复数，由若干个若当块组成的准对角称为若当形矩阵.定理1.15 设为阶方阵，则.定理1.25 分别为矩阵的特征多项式和最小多项式，则有.定理1.3 设为阶矩阵的特征值，则有，且对任意的多项式有的特征值为.定理1.4 阶若当块的最小多项式为且有.定理1.5 为阶复数域上的矩阵，若，则存

2、在可逆矩阵，使得.定理1.6 任意阶方阵，有.定理1.75 阶复矩阵与对角矩阵相似的最小多项式无重根. 定理1.85 每一个阶的复矩阵都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵唯一决定的，它称为的若当标准形.本文内容分为三部分，第一部分给出幂零矩阵的性质，第二部分是幂零矩阵的应用，主要给出幂零矩阵的性质应用和幂零矩阵在求逆中的应用，第三部分给出幂零变换的性质以及幂零变换与幂零矩阵的关系.2 幂零矩阵的性质性质2.1 幂零矩阵的行列式值为零.性质2.2 幂零矩阵的数乘矩阵、相似矩阵和次幂(为自然数)都是是幂零矩阵.性质2.3 若为幂零矩阵，为任意的阶矩阵且有，则也为幂零矩阵.证

3、明：因为为幂零矩阵，则由定义1.1知存在使得，又因为 ，所以也为幂零矩阵，所以原命题成立. 性质2.4 若为阶幂零矩阵，则均为幂零矩阵，其中是的转置矩阵，是的伴随矩阵.证明：因为为幂零矩阵，则由定义1.1知存在使得，由定理1.1知，所以都为幂零矩阵，又因为，所以也为幂零矩阵.性质2.5 若是幂零矩阵，且则 1) 2) 3) .证明：1）因为 ， 所以.2) 由1）类似可得 .3) ，所以原命题1)、2)、3)成立.性质2.6 为幂零矩阵的充分必要条件是的特征值全为0.证明：（1）因为为幂零矩阵，则由定义1.1知存在使得，令为任意一个特征值，则存在，由定理1.3知，为的特征值，所以存在 ，从而有

4、=0即有，又有，知则，所以为的特征值，由的任意性知，的特征值为0.（2）因为的特征值全为0，的特征多项式为，由定理1.2知 ，所以为幂零矩阵，所以由（1）、（2）可以得出原命题成立.性质2.7 若为幂零矩阵且，则不可对角化但对任意的阶方阵,存在幂零矩阵，使得可对角化.证明：因为为幂零矩阵，则由定义1.1知存在使得且由性质2.6知的特征值全为零，为的特征多项式且，令为的最小多项式，则有，从而有，由于，又此时，即的最小多项式有重根，由定理1.7知不可对角化. 又因为为阶方阵,由定理1.8知在复数域上存在可逆矩阵使得，其中阶数为，令阶数为，则有阶数为,由定理1.4知 即为幂零矩阵现令， ，即，又因为

5、为对角阵，由（2.1）式知可对角化，令且取 ，则有， 即有可对角化且为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.8 为幂零矩阵的充分必要条件是对任意的自然数.证明：（1）因为为幂零矩阵,所以的特征根全为0，由定理1.3知对任意的自然数有的特征值,所以.（2）设的特征根为,所以对任有 (2.2),令为的不为0的特征值且互不相同，重数为由（2.2）式及定理1.3得方程组,由于方程组（2.3）的系数行列式为又互不相同且不为0，所以，从而知方程组（2.3）只有零解，即，即没有非零的特征值，所以的特征值全为0，则由性质2.6得为幂零矩阵 ，所以由（1）、（2）知原命题成立. 性质2.9 若为幂零矩阵，则非退化.

6、证明：令为的特征值，若退化则有，由定理1.3得所以至少存在为的特征值，又由定理1.3得为的一特征值这与为幂零矩阵矛盾，所以为非退化.性质2.10 若为幂零矩阵，则一定不可逆但有.证明：因为为幂零矩阵，则由定义1.1知存在使得，所以，所以一定不可逆，由性质2.6得的特征值为 ，由定理1.3得的特征值分别为且有，即 ， 所以原命题成立.3 幂零矩阵的应用3.1 幂零矩阵的性质应用例3.1.1 为阶方阵，为幂零矩阵且，则有.证明：由定理1.5知在复数域上，存在可逆矩阵，使得 ，又因为为幂零矩阵由性质2.4知的特征值全为0，即，又因为可逆所以所以,由知为的特征值由定理1.3得：, 从而得证 ，则有.例

7、3.1.2 为阶方阵，求证，可对角化,为幂零矩阵且.证明：由性质2.7知存在幂零矩阵,使得可对角化,即存在可逆，使得 ,即有 ，由性质2.4知由于为幂零矩阵则也幂零矩阵，又因为与相似 ，所以可对角化，令 ，则有，可对角化，为幂零矩阵，又因为为对角阵所以.例3.1.3 为阶方阵，且，证明：存在自然数.证明：由于，所以对任意的有由定理1.6推广可得：,由性质2.6得为幂零矩阵，所以由定义知存在. 所以原结论得证.例3.1.4 在复数域上阶方阵相似于对角阵等价于对于的任一特征值，有 与的秩相同.证明：因为对角化，则存在可逆矩阵，使得,从而有所以与相同，即 与的秩相同.由于在复数域上，存在可逆矩阵使得

8、，其中阶数为，若不全为对角阵，则不妨令不可对角化，且有，有，从而知的秩大于的秩，即有的秩大于的秩也即 的秩大于的秩，这与已知矛盾，所以所有为对角阵，从而得证相似于对角阵.3.2 幂零矩阵在求逆中的应用3.2.1 可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆例3.2.1 已知 求.解：，其中 且有.所以 .3.2.2 主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆例3.2.2已知,求.解：因为其中 且有，所以可得3.2.3 可表为若当块幂的和的矩阵的逆例3.2.3 已知,求.解：，其中 ,.所以.4 幂零变换的性质定义4.16 设是数域上的向量空间，是的线性变换，如果存在整数，使即对任意，有，则称为幂零线性变换.

9、定义4.26 若是幂零线性变换，是非空正整数集合中的最小正整数，则称是幂零线性变换的幂零指数.性质4.1 设,都不等于零，但.则 线性无关.证明：设，使将分别去作用得,又因为，所以.同理可得.故线性无关.性质4.2 设维向量空间有线性变换及向量，满足.求证关于的某个基的矩阵是证明：根据性质4.1 线性无关，所以它们组成的一个基故关于的某个基的矩阵是.性质4.3 是维向量空间的幂零线性变换当且仅当它的特征多项式的根都是零.证明：必要性 设是幂零变换的特征值，是属于特征值的一个特征向量，则 由于，所以，即.充分性 若关于的某个基德矩阵时，那么的特征值全部为0，所以上存在可逆矩阵，使得故,所以.因此

10、，即是幂零线性变换. 性质4.4 如果一个幂零变换可以对角化，那么一定是零变换.证明：设在向量空间的某个基下的矩阵是，由题设可以对角化，即存在上的可逆矩阵，使得，矩阵时在一组新基下对应的矩阵，并由性质4.3知，.即矩阵是零矩阵故是零变换.性质4.5 若是维向量空间的幂零线性变换，则的特征多项式为.证明：因为是幂零线性变换，故存在正整数，使，于是为的一个化零多项式，从而得特征值全为零，又是首一多项式，故为的特征多项式.性质4.6 若是维向量空间的幂零线性变换，且的幂零指数为，则，且的最小多项式为.证明：设是的最小多项式，则.由定义4.2可知为的最小多项式.性质4.7 设是数域上的维向量空间，是的线性变换，若是幂零变换，则在某一基下的矩阵时幂零矩阵.证明：由于是幂零变换，即存在正整数，使对任意，有.设是的一个基，关于的矩阵是.即所以有.由于是基，所以，因此是幂零矩阵.参考文献1 邹本强幂零矩阵的性质J威海职业技术学院学报,2007,12(1)：154-1552 韩道兰、罗雁、黄宗文幂零矩阵的性质及应用J玉林师范学院学报,2003,24(4)：1-33 谷国梁关于幂零矩阵性质的探讨J. 铜陵财经专科学校学报,2001,4(1)：49-494 姜海勤幂零矩阵性质的一个应用J泰州职业技术学院学报,2004,4(1)：61-625 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数（第二