2.2直接证明与间接证明学案

1、§ 2.2直接证明与间接证明学案审核签名：编制：编制时间：3 月 4 日完成所需时间：40 分钟班级姓名第小组一 自主测试1. 分析法是从要证的结论动身, 寻求使它成立的条件 .2. 如 a b 0, 就 a+ 1b+ 1 . 用“ ” , “ ” , “ =”填空 ba3. 要证明3 +7 25 ，可挑选的方法有以下几种，其中最合理的是（ 填序号）.反证法分析法综合法4. 用反证法证明命题：如整系数一元二次方程ax2+bx+c =0（a 0）有有理数根， 那么 a、b、c 中至少有一个是偶数时，以下假设中正确选项.假设 a、b、c 都是偶数假设 a、b、c 都不是偶数假设 a、b、

2、c 至多有一个偶数假设 a、b、c 至多有两个偶数5. 设 a、b、c （ 0， +），p=a+b- c ，q=b+c - a，r=c +a- b，就“ pqr 0”是“ p、q、r同时大于零”的条件 .二典例分析22例 1（ 1） 设 a, b, c 0, 证明： abbcc a+b+c .2a222（ 2） 已知 a, b, c 为互不相等的非负数. 求证： a +b +c abc a +b +c 例2（1）求证：3725 ；（ 2）已知 a 0, 求证：a21a2-2 a+ 1 -2.a例3如 x , y 都是正实数，且x +y 2,求证：1x 2 与 1y 2 中至少有一个成立.yx三

3、巩固练习1. 用反证法证明“假如a b, 那么 3 a 3 b ”假设内容应是.2. 已知 a b 0，且 ab=1, 如 0 c 1, p=log ca2b22, q=log c21，就 p, q 的大小关系ab是.3. 设 s 是至少含有两个元素的集合 . 在 s上定义了一个二元运算“ * ”（即对任意的 a, bs，对于有序元素对 a, b, 在 s 中有唯独确定的元素 a* b 与之对应） . 如对任意的 a, bs, 有a* b* a= b, 就对任意的 a, b s，以下恒成立的等式的序号是 .（ a* b） * a=a a* b* a * a* b= a b* b* b= b a

4、* b* b* a* b =b4. 假如 a1b1c1 的三个内角的余弦值分别等于a2b2c2 的三个内角的正弦值，就a1b1c1 是三角形， a2b2c2 是三角形 . （用“锐角” 、“钝角”或“直角”填空）5. 已知三棱锥s abc的三视图如下列图：在原三棱锥中给出以下命题： bc平面 sac；平面sbc平面 sab； sb ac.其中正确命题的序号是.6. 对于任意实数a, b 定义运算a* b=（ a+1） b+1-1,给出以下结论：对于任意实数a, b, c ，有 a* b+c = a* b+ a* c;对于任意实数a, b, c ，有 a* b* c = a* b* c ;对于任

5、意实数a, 有 a*0=a, 就以上结论正确选项.（写出你认为正确的结论的全部序号）7. （教材）在abc中，三个内角a,b,c 的对边分别为a, b, c且 a,b,c成等差数列， a, b, c成等比数列，求证abc为等边三角形；8. （教材）已知1tan1, 求证 3sin 24cos22tan9. 已知 a、b、c （ 0， 1），求证： 1- a b,1-b c,1-c a 不能同时大于1 .4参考答案一，自主测试1. 分析法是从要证的结论动身, 寻求使它成立的条件 .答案充分2. 如 a b 0, 就 a+ 1b+ 1 . 用“ ” , “ ” , “ =”填空 ba答案3. 要证

6、明3 +7 25 ，可挑选的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号） .反证法分析法综合法答案4. 用反证法证明命题：如整系数一元二次方程ax2+bx+c =0（ a 0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个是偶数时，以下假设中正确选项.假设 a、b、 c 都是偶数假设 a、b、 c 都不是偶数假设 a、b、 c 至多有一个偶数假设 a、b、 c 至多有两个偶数答案5. 设 a、 b、c （ 0， +）， p=a+b- c， q=b+c- a， r=c+a- b，就“ pqr 0”是“ p、q、r 同时大于零”的条件 .答案充要二典例分析2例 1设 a, b, c 0, 证明： abb 2

7、c 2ca a+b+c .证明 a, b, c 0，依据基本不等式，a2有+b 2a,bb+c 2b,2cc+a2c.2a三式相加：a b22+b c+ c+a+b+c 2 a+b+c.2a22即 a+ bbc+ c a+b+c .2a变. 已知 a, b, c 为互不相等的非负数.222求证： a +b +c abc a +b +c .222222证明 a +b 2ab, b +c 2bc, a +c又 a, b, c 为互不相等的非负数，上面三个式子中都不能取“=”， 2ac.222 a +b +c ab+bc+ac, ab+bc 2ab 2 c , bc+ac 2abc2 ,ab+ac

8、2a 2bc ,又 a, b, c 为互不相等的非负数， ab+bc+acabc a +b +c ,222 a +b +c abc a +b +c .例 2（ 1）略（ 2）已知 a 0, 求证：a21a21-2.-2 a+a证明要证a 21a 2-2 a+ 1 -2,a只要证a21a2+2a+ 1 +2 .2 分a a 0, 故只要证a 21a222（ a+ 1 +2 ） 2,6 分a即 a2+ 1 +4a2a 21+4a 2 2121a +2+2 +2aa+2,8 分a从而只要证2a 212a 2a1,10 分a只要证 4a 21a 2 2（a +2+ 12a 2） , 即 a + 12a

9、2 2, 而该不等式明显成立，故原不等式成立.14 分例 3如 x, y 都是正实数，且x+y 2,求证：1x 2 与y1y 2 中至少有一个成立.x证明假设1x 2 和 1y yx 2 都不成立，就有 1xy 2 和 1y 2 同时成立，x由于 x 0 且 y 0,所以 1+x 2y ，且 1+y 2x， 两式相加，得2+x+y 2x +2y，所以 x +y 2，这与已知条件x+y 2 相冲突，因此 1xy 2 与 1y 2 中至少有一个成立.x一、填空题1. （ 2021·南通模拟） 用反证法证明“假如a b, 那么 3 a 3 b ”假设内容应是.答案3 a = 3 b 或 3

10、 a 3 b2. 已知 a b 0，且 ab=1, 如 0 c 1, p=log ca2b22, q=log c21，就 p, q 的大小关系ab是.答案p q3. 设 s 是至少含有两个元素的集合 . 在 s上定义了一个二元运算“ * ”（即对任意的 a, bs，对于有序元素对 a, b, 在 s 中有唯独确定的元素 a* b 与之对应） . 如对任意的 a, bs, 有a* b* a= b, 就对任意的 a, b s，以下恒成立的等式的序号是 .（ a* b） * a=a a* b* a * a* b= a b* b* b= b a* b* b* a* b =b答案4. 假如 a1b1c1

11、 的三个内角的余弦值分别等于a2b2c2 的三个内角的正弦值，就a1b1c1 是三角形， a2b2c2 是三角形 . （用“锐角” 、“钝角”或“直角”填空）答案锐角钝角5. 已知三棱锥s abc的三视图如下列图：在原三棱锥中给出以下命题： bc平面 sac；平面sbc平面 sab； sb ac.其中正确命题的序号是.答案6. 对于任意实数a, b 定义运算a* b=（ a+1） b+1-1,给出以下结论：对于任意实数a, b, c ，有 a* b+c = a* b+ a* c;对于任意实数a, b, c ，有 a* b* c = a* b* c ;对于任意实数a, 有 a*0= a, 就以上结论正确选项.（ 写出你认为正确的结论的全部序号）答案二、解答题7. 略， 8 略9. 已知 a、b、c （ 0， 1），求证： 1- a b,1-b c,1-c a 不能同时大于1 .4证明方法一假设三式同时大于1 ，4即 1- a b1 ,1-b c41 ,1-c a 1 ,44 a、b、c 0,1,三式同向相乘得1- a b1- b c 1- c a 1 .64又