讲稿4误差的估算s

1、第三节误差的估算由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲， 两种情况的处理都属于误差计算。然而，间测量是由直测量决定的， 以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确 定的。因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将 间测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法 计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算， 故将误差计算称为误 差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差 估算方法。一、直测量的误差估算1 .算术平均误差在测量列Xi中，各次测量的误差的绝对值的算

2、术平均值叫算术平均误差。记为X。按定义X 1nXiXoni 1或X 1nXini 1其中XiXi Xo。当n较大时，可用下式估算为Xi XX 一 n n 1此法比前法得到的偏差要大些。2.绝对误差误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的Xi , X 而广义的绝对误差还有后面要讨论的Sx, x, Q等。3.相对误差绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为Er 其估算方法为ErX100%X广义地讲后面要讨论的晏、等都可叫相对误差。X4.标准误差（实验标准差）按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为x需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得 到的结果

3、。实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此,标准误差x只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、 极差法、Bessel法等，它们的估算结果基本一致。应用上，一般使用Bessel 方法。Bessel标准偏差Sx的计由统计理论可推导出，对有限次测量的算公式（Bessel公式）为:SxXi1 '2 1 2或Sx X i X i1 i inii即最后是用Sx代替x。通常所说的标准误差，实际上就是 Sx5算术平均值的标准差算术平均值的标准差与实验标准差的关系为Sx?Sx类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系1n? %而且 X0.80Sx。二、间测量的误差计算

4、（误差的传递）上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的， 在此基础上我们 可以进一步讨论间测量的误差计算问题。我们知道，间测量是由直测 量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关 系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。 下面我们首先讨 论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。1误差传递公式的一般形式设间接测量量f与彼此独立的直接测量量x、y、z （只取3个）间的函数关系为f f x, y,z测量结果用平均值和绝对误差表示为y y yz z z和f f f其中,f f x,y,z。将f x, y, z在x, y, z点按泰勒级数展开有 f-f-f-f x

5、,y,zf x,y,z? x x? y y? z zxyz+（高阶小量）将此结果与前面假定关系式f f f比较，忽略高阶小量，并考虑到误差传递中通过组合可能产生的最大值，取间测量的绝对误差为相对误差为根据标准差的定义，由上述展开式，在考虑到x,y,z是彼此独立2f 2xx2In fy2In f其中丄、空分别为丄、xxx在x,y,z点处的值x的情况，可得标准差的传递公式的绝对形式为 22 f 2 y z z相对形式为为了较好地使用标准误差的传递公式，需要说明的是:（1）如果f由x,y,z按加（减）关系确定时，常用标准误差传递的绝对 形式计算。（2）如果f由x,y,z按乘（除）关系确定时，常用误差

6、传递的相对形式 计算。（3）如果x, y, z彼此不独立，还需计算相关系数（协方差）。例如：若 f x?y，当x y （仅数值相等）时的误差传递，与取x y（ x与y完 全相关）后f x2的误差传递是不一样的。因为，当f x?y时有2 2fxy再取x y时，化为-.2?。fx而当f x2时丿 2?。fx可见，前者在取x y时，仅为数值上相等，而它们仍是彼些独立的两 个变量；而后者，则为完全相关，即 x与y为同一个变量了，故结果 也不一样了。2.误差传递公式的具体形式为了实际计算方便，我们将一些常见函数关系确定的误差传递公式列于下表。函数关系一般误差传递公式标准差传递公式fx yfxyfJ 22

7、V xyfx? yfxx_yyff2 J x1 x2yyfkxfk? xfk xf仮f fff1 ? k xfp qx yfx pxq-y r zf|px22q y2r zr zfyzf” xyzfsin xfcosx|xfcosx| xfIn xfxxfxx误差传递的实际例子(1)2.Y=aXlX2(fl为常系数)(2)A7 AZ】AZ2Y 石 屯(3)醛=±/a)心(5)（3）和（5）式表明，当函数形式为积和商的形式时，其相对误差为各自变量的 相对误差之和。4.(ii)5.Y 務为常系数）LY1 AZ有Yb X(12)熟悉微积分的同志很容易得出上述各式下面再讨论几个实验的例子。4小g 例1 .单摆法测重力加速度的公式'-我们由公式直接讨论，微商取绝对值,起辛滋+ 4品罔疔 大小铅球的中心距离，d为扭秤臂长，S为亮点最大位移量，M为大铅球的质量， T为振动周期，L为凹面镜到刻度尺的距离。其中r、d、M可认为是定值常数（当 然也可测量），S T、L是实验中的待测量。因而相对误差蚯卡2曲”险 X Ar 十皀 I 7(13)(14)例2用万有引力实验器测定万有引力的公式G = r2sd/ MT2L,式中r为现在我们直接用相对误差的计算公