(第五章平面向量)

1、数学驿站 5.1 向量教学目标1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力.教学建议知识结构： 重点难点分析：本节重点是向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示向量在数学和物理学中应用很广泛，提供了一种便于空间数形问题研究的方法对学生来说向量是一种新的量，其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键，还要让学生理解向量和数量的区

2、别联系，建立一种新的量的思维体系相等向量只与方向、大小有关，与位置没有关系，进一步理了解学习的向量是自由向量，为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础向量的几种表示方法在运算中必须用到，掌握这几种表示法及几何表示的意义.本节难点是向量概念的理解由于向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别，数量的运算律、性质等对于向量是不适合的，让学生先直观上认识，再逐步抽象使学生建立向量的运算、性质体系，改变学生误认为：数量的运算律对于向量也适合的引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较

3、中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用教法建议：1采取实际问题的方式引入课题，例如：美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精确10米左右，射程超过2000公里），试问导弹一定能击中目标吗？或者象向量的概念从帆船航行的位移等其它实例，通过具体实例使学生了解生活中除了表示大小的数量外，有时还要标出方向，从而引出向量的概念在讲解实例时最好结合相应几何图象配合，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念

4、，并理解向量概念的实质再让学生列举实际生活中向量还有哪些，如速度、力、加速度等向量的概念是从物理中位移的概念抽象出来，而成为平面内的一自由向量，因此教学时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性。2引入向量概念之后，随之带来一系列相关概念是比较多的，如零向量，单位向量，相等向量，平行向量，共线向量.对于它们要抓住本质特征，让学生分析比较这些概念的区别与联系由于向量同时具有几何图象的特征，在学习时还要辩清它们在图形中表现相等、平行的意义，且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份，地位和作用. 对于单位向量与以前的单位长度的区别要给学生讲解清

5、楚，单位向量不止一个，因为要表示不同的方向讲清基本概念后，可让学生归纳数量和向量的区别和联系3对向量的位置不确定性的认识，即向量是自由向量，可以通过把向量放在简单几何图形中，体现共线与平行的关系，准确理解相等向量的含义，在图形中帮助学生体会向量的几何特征和数量特征的统一相等向量的定义也可以通过师生共同讨论得到，如数量相等，是指大小相等的两个数量，那模相等的两个向量是否相等？单位向量是否相等？让学生思考总结得到定义教学设计示例 一教学目标1理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；2理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判

6、断向量的平行、相等、共线；4通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.二教学具准备直尺、投影仪三教学过程1设置情境师：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？    生：不能，因为没有给定发射的方向师：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？生：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向师：对！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既

7、有大小又有方向的量叫做向量数学中用点表示位置，用射线表示方向常用一条有向线段表示向量在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等（2）向量的表示方法：几何表示法：点和射线有向线段具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作 （注意起讫）字母表示法： 可表示为 （印刷时用黑体字）例   用1cm表示5n mail（海里）（3）模的概念：向量 的大小长度称为向量的模。记作：| |，模是可以比较大小的注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数

8、运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。2探索研究（学生自学概念）（1）介绍向量的一些概念师：长度为零的向量叫什么向量？如何表示？长度为1的向量叫做什么向量？是不是只有一个？（学生看书回答）生：长度为零的向量叫做零向量，表示为：0；长度等于1的向量叫做单位向量，有许多个，每个方向都有一个师：满足什么条件的两个向量是相等向量？符号如何表示？单位向量是相等向量吗？生：如果两个向量大小相等且方向相同，那么这两个向量叫做相等向量，a=b单位向量不一定是相等向量，单位向量的方向不一定相同师：有一组向量，它们的

9、方向相同或相反，那么这组向量有什么关系？生：平行师：对！我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，符号如何表示？如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点 ，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？生：是平行向量，a/b，各向量的终点都在同一条直线上师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量（2）例题分析【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案（1）平行向量的方向一定相同？（2）不相等的向量一定不平行.（3）与零向量相等的向量是什么向量？（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的充要条件是什么？（

10、7）共线向量一定在同一直线上吗？解：（1）根据定义：平行向量可以方向相反，故命题（1）为假；（2）平行向量没有长、短要求，故命题（2）为假；（3）只有零向量；（4）零向量；（5）平行向量；（6）模相等且方向相同；（7）不一定，只要它能被平移成共线就行说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合依定义、其长度为零【例2】如图，设 是正六边形 的中心，分别写出图中与向量 、 ，相等的向量解： 练习：（投影）在上题中变式一，与向量 长度相等的向量有多少个？（11个）变式二，是否存在与向量 长度相等，方向相反的向量？（存在）变式三，与向量 共线的向量有哪些？（有 、 和 ）3演练反馈（投影）（1）下列各

11、量中是向量的是（      ）A动能B重量C质量D长度（2）等腰梯形 中，对角线 与 相交于点 ，点 、 分别在两腰 、 上， 过 且 ，则下列等式正确的是（      ）AB CD （3）物理学中的作用力和反作用力是模_且方向_的共线向量参考答案：（1）B；  （2）D；    （3）相等，相反4总结提炼（1）描述一个向量有两个指标：模、方向（2）平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真

12、的不在一条直线上无关（3）向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性四板书设计向    量1向量的定义2表示法                        6例题3零向量和单位向量            

13、60; 7演练反馈4平行向量（共线向量）          8总结提炼5相等向量典型例题例1判断下列命题的真假： 直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量；两个向量平行是两个向量相等的必要条件；向量 与 是共线向量，则 、 、 、 必在同一直线上；向量 与向量 平行，则 与 的方向相同或相反；四边形 是平行四边形的充要条件是 分析：判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目解：直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这

14、两个向量一定平行，所以，此命题正确；不正确 与 共线，可以有 与 平行；不正确如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；正确此命题相当于平面几何中的命题：四边形 是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等小结：学习向量时，由于向量具有数形两重性，所以不仅要知其本身的一些概念性质，还应与相关的平面几何知识联系起来，这对理解向量的一些性质很有好处例2下列各量中是向量的有_.A   动能   B 重量  C  质量   D  长度  E  作用力与反作用力   F

15、60; 温度分析：用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识.解:A，C，D，F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方向，故为向量.小结：:此题意在加强应用意识，注重与其他学科的综合，在应用背景中认识大小和方向的含义，强化对向量的认识例3命题“若 ， ，则 ”（      ）A总成立B当 时成立C当 时成立D当 时成立分析：这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件零向量与其他任何非零向量都平行，当两非零向量 、 不平行而 时，有 ， ，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，故只能选择C答案：C小结：本例

16、说明向量平行的传递性要成立，就需“过渡”向量 不为零向量事实上，在 的情况下： 时， ， 与 同向或反向又 ， 与 同向或反向， 与 同向或反向， 若 与 中有一个为零，则另一个无论为零还是不为零，均有 由以上可以确定 是正确的 例4如图， 、 、 分别是 的三边 、 、 的中点，写出与 共线的向量分析：要注意到线段 是 的中位线，与 共线的向量的主要特性是与 平行，结合中位线的性质可以得出结论解：与 共线的向量有 、 、 、 、 、 、 小结：应注意共线向量就是平行向量，所以在图中凡是与 共线或平行的有向线段所表示的向量都是与 共线的向量 例5如图， 、 是 上的八个等分点，则在以 、 及圆

17、 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少？模等于半径 倍的向量有多少个？分析：（1）由于 、 是 上的八个等分点，所以八边形 是正八边形，正八形的边及对角线长均与 的半径不相等所以模等于半径的向量只可能是 与 （ 、28）两类（2） 内接正方形的边长是半径的 倍，所以我们应考虑与圆心 形成 圆心角的两点为端点的向量个数解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是 （ 、28）共8个；另一类是 （ 、28）也有8个两类合计16个（2）以 、 为顶点的 的内接正方形有两个，一个是正方形 ；另一个是正方形 在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量

18、）的长度为半径的 倍所以模为半径 倍的向量共有 个小结：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算 与 （ 、28）两类一般地我们易想到 （ 、28）这8个，而易遗漏 （ 、28）这8个（2）圆内接正方形的一边对应了长为 的两个向量，例如边 对应向量 与 ，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算认为满足条件的向量个数为8是错误的例6在平面中下列各种情形中，将各向量的终点的集会分别构成什么图形？（1）把所有单位向量的起点平移到同一点 （2）把平行于直线 的所有单位向量的起点平移到直线 上的 点（3）把平行于直线 的所有向量的起点平移到直线 上的点 解：（1）以点 为圆心，1为半径的圆（2

19、）直线 上与点 的距离为1个长度单位的两个点（3）直线 小结：本小题考查向量的平移变换和单位向量等基础知识，考查对向量与集合知识的综合运用能力扩展资料向量的由来向量又称为矢量，最初被应用于物理学很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向但是在高等数学中还有更广泛的向量例如，把所有实系数多项式的全体看成一个

20、多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系 向

21、量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数abi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学 但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础随后

22、，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析 三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积并把向量代数推广到变向量的向量微积分从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具.扩展资料平面向量概述一本章内容 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具

23、有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法向量法和坐标法。 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的

24、积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等。 第二大节是“解斜三角形”。这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例和实习作业等。 正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题，特别在这一大节中，还安排了一个实习作业，从而使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。 为扩大学生的知识面，本章中还安

25、排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”。 本章重点是：（1）向量的概念、向量的几何表示和坐标表示；（2）向量的代数运算法则，向量的数量积；（3）线段的定比分点公式和中点公式、平移公式；（4）解斜三角形本章难点是：（1）熟练运用向量的概念、向量的几何表示和坐标表示；（2）理解和运用向量的运算法则；（3）已知两边和其中一边的对角解斜三角形引入向量后，运算对象扩充了，要注意熟悉这套运算法则，特别要区别向量运算与实数运算的异同另外通过向量的应用，学会把实际问题抽象为数学模型，提高解决问题的能力向量知识处处充满唯物辩证法，是中学阶段不可多得的培养唯物辩证思想的内容，有目的

26、、有计划地指导学生运用辩证唯物主义观点去研究问题，是学生进行德育教育，培养学生辩证唯物主义思想的极好途径二本章教学要求 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2.掌握向量的加法与减法。 3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 6.掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计

27、算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。三课时安排本章教学时间约22课时，具体安排如下： 5.1向量 约1课时 5.2向量的加法与减法 约2课时 5.3实数与向量的积 约2课时 5.4平面向量的坐标运算 约2课时 5.5线段的定比分点 约l课时 5.6平面向量的数量积及运算律 约2课时 5.7平面向量数量积的坐标表示 约1课时 5.8平移 约1课时 5.9正弦定理、余弦定理 约4课时 5.10解斜三角形应用举例 约2课时 5.11实习作业 约2课时 小结与复习 约2课时探究活动右图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法马可从 跳到

28、 ，也可以跳到 ，用向量 、 表示马走了“一步”试在图中画出马在 、 处走了“一步”的所有情况 解：马在 处只有3处可走，在 处有8处可走图形中马的走法如下：能否将将马在表格的任意一点处走一步的一般规律总结出来？习题精选一、判断题 1判断下列命题真假平行向量一定方向相同共线向量一定相等起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量不相等的向量，则一定不平行非零向量的单位向量是 2判断下列各命题是否正确若 ，则 若 、 、 、 是不共线的四点，则 是四边形 是平行四边形的充要条件若 ， ，则 两向量 、 相等的充要条件是 是向量 的必要不充分条件 的充要条件是 与 重合、 与 重合二、选择题

29、3如图，四边形 ，其中 ，则相等的向量是（      ）A 与                  B 与 C 与                  D 与 4下列命题中，正确的是（    &

30、#160; ）A                 B C                   D 5下列各命题中假命题的个数为（      ）向量 的长度与向量 的长度相等向量 与向量 平行，则 与 的方向相同或相反两个有共同起点

31、而且相等的向量，其终点必相同两个有共同终点的向量，一定是共线向量向量 与向量 是共线向量，则点 、 、 、 必在同一条直线上有向线段就是向量，向量就是有向线段A2            B3           C4             D56在下列各结论中，正确的

32、结论为（      ）两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件；两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件；两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件；两向量方向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不必要条件A、       B、        C、         D、7下列命题，真命题的个数为（

33、0;     ）两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同若非零向量 与 是共线向量，则 、 、 、 四点共线若 且 ，则 四边形 为平行四边形的充要条件是 A0         B1          C2          D38在矩形 中， ， 、 分别为 和 的中点，则在以 、 、 、 、

34、、 为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（      ）A9         B11         C18         D249下列各命题为真命题的有（      ）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量

35、方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量坐标平面上的 轴和 轴都是向量A个         B2个          C3个        D4个三、填空题10如图， 、 是线段 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出_个互不相等的非零向量11如下图，等腰三角形 中， 、 分别是腰 、 靠近顶点 的三等分点若 ，则 四、解答题12如右图，

36、在以正方体 的顶点为起点、终点的向量中，（1）写出所有与 相等的向量；（2）写出所有与 相反的向量；（3）写出与 相等及相反的向量；（4）写出所有与 共线的向量13在直角坐标系中，画出下列向量：（1） ， 的方向与 轴正方向的夹角为 ，与 轴正方向的夹角为 ；（2） ， 的方向与 轴正方向的夹角为 ，与 轴正方向的夹角为 ；（3） ， 的方向与 轴正方向的夹角为 ，与 轴正方向的夹角为 参考答案：1（1）假命题  （2）假命题    （3）真命题   （4）假命题   （5）真命题2（1）不正确 （2）正确 （3）

37、正确  （4）不正确  （5）正确（6）不正确3D   4C  5C  6D  7B  8D  9B  真命题作用力与反作用力是一对大小相同方向相反的向量，因而它们是一对共线向量假命题因为零上和零下并不代表方向真命题因为南偏西 的向量恰好为北偏东 的向量的反方向（如图），所以它们共线假命题因为虽然 轴和 轴有方向，但无长度（或者说无法测得它们的长度，也无法确定它们的起点与终点），故它们不是向量综上所述，在四个命题中，真命题有两个，故应选择B106  112   12

38、（1） 、 、 是与 相等的向量；（2） 、 、 、 是与 相反的向量；（3） 与 相等， 、 与 相反；（4） 、 、 、 、 、 、 与 共线135.2向量的加法与减法教学目标1掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；2掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；3明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；4在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；5通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以

39、渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识教学建议知识结构:重点难点分析：本节重点是向量的加法和向量的减法的定义、运算、几何表示我们学过的数能进行运算且有相关的运算律而向量也应当可以进行加法减法运算，也必须遵循相应的运算律，且能作出几何解释，才能让向量发挥更大的作用所以向量的加减运算法则必须重点体会理解而加法交换律，结合律等运算律的出现使向量的运算具备了线性性质，更是我们所希望的，尤其是向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，这些自然应在教学中

40、引起重视本节内容也是本章的重要内容之一本节的难点是对向量加减法定义的理解及向量加法，减法运算时方向的确定向量的加法与数量的运算有很大的区别，运算中包含方向和长度两方面，因此首先要学生从几何表示上理解运算的意义向量的减法实际上是转化成加法来进行的，转化的前提是掌握相反向量的概念减法的三角形法则与加法的三角形法则是不同的，特别是减法的三角形法则应让学生记住:连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数)记清法则是灵活运用的前提教法建议：1向量的加法可以从实际问题引入，例如可以从物理上的位移入手，由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是

41、什么？位移也是向量的一种，那么向量和的定义也是一致的从而使学生有物理上的位移直观理解向量和的定义，然后再从数学的角度定义向量的三角形法则给学生说明三角形法则对于一切向量都适合，但物理习惯用的平行四边形法则对于共线向量不适合，要让学生特别注意2向量的减法引入之前，要给学生讲清相反向量的意义和表示方法让学生理解向量的减法的几何表示，可以按照下图讲解，理解差向量的起点终点的选择3掌握向量的加法和减法法则时，一方面要用形来帮助理解，另一方面还可以从特殊位置到一般位置去认识，如共线的，共起点的，共终点的等特殊想来能够之间的运算熟悉法则的使用让学生结合图形，归纳总结向量和的性质，如向量的方向，模等与两向量

42、间的关系4 对于加法的结合律让学生通过图形自己检验，一方面可以熟悉向量的加法，还可以理解结合律由于向量的加法满足结合律，和交换律，所以向量的加法中向量的个数可以推广到n个即n个向量 相加可以写成 ，并且按向量加法的三角形法则可以得到n个向量相加的法则是:以前一个向量的终点作为下一个向量的起点，相继作出向量 ，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作向量，这个向量就是所求的这n个向量的和教学设计示例（第一课时）一教学目标 （1）掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和会用向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；（2）掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行计算；（3

43、）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（4）培养学生化归的数学思想二教学重点：向量的加法的定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量；教学难点：对向量加法定义的理解三教具：多媒体、实物投影仪四教学过程1设置情境请同学看这样一个问题：（投影）（1）由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和时什么？（2）如图（2），飞机从 到 ，再改变方向从 到 ，则两次位移的和是 ，应该是_（3）如图（3），船的速度是 ，水流速度是 则两个速度的和是 应该是_生：（1）这人两次的位移的和是从台北到上

44、海；（2）飞机两次位移的和是 ；（3）两个速度的和是 师：很好！两人向量的和仍是一个向量本节课就来研究两个向量的和（板书课题：向量的加法）2探索研究（1）向量的加法的定义：已知向量 ，在平面内任取一点A，作 ，则向量 叫做向量 的和。记作： 即 零向量与任意向量 ，有 （2）两个向量的和向量的作法：三角形法则:两个向量“首尾”相接注意：1°三角形法则对于两个向量共线时也适用；2°两个向量的和向量仍是一个向量例1已知向量 ，求作向量 作法：在平面内任取一点O，作 ，则 平行四边形法则：由同一点A为起点的两个已知向量 为邻边作平行四边形BCD，则以A为起点的向量 就是向量 的和

45、。这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用3向量和与数量和的区别：当向量 不共线时， 的方向与 不同向，且 当向量 同向时， 的方向与 同向，且 当向量 反向时，若 ，则 的方向与 同向，且 ；若 ，则 的方向与 反向，且 ；4向量的运算律：交换律： 证明：当向量 不共线时,如上图，作平行四边形ABCD，使 ， 则 , 因为 ， 所以 当向量 共线时，若 与 同向，由向量加法的定义知： 与 同向，且 与 同向，且 ，所以 若 与 反向，不妨设 ，同样由向量加法的定义知： 与 同向，且 与 同向，且 ，所以 综上， 结合律： 学生自己验证。由于向量的加

46、法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了例如： 例2如图，一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时喝水的流速为 ，求船实际航行的速度的大小与方向。解：设 表示船垂直于对岸的速度， 表示水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则 就是船实际航行的速度在 中， ， 所以 因为 答：船实际航行的速度的大小为 ，方向与水流速间的夹角为 4演练反馈（投影）（1）在平行四边形 中， ， 则用 、 表示向量 的是（     ）A       

47、;   B           C0          D （2）若 为 内一点， ，则 是 的（     ）A内心           B外心        C垂心  

48、        D重心（3）下列各等式或不等式中一定不能成立的个数（     ） A0          B1          C2            D35总结提炼（1） 是一个向量，在三角形

49、法则下：平移 向量，使 的起点与 的终点重合，则 就是以 的起点为起点， 的终点为终点的新向量（2）一组首尾相接的向量和： ，如图（3）对任意两个向量 、 ，任有 成立五板书设计 1引例揭示课题2例1   例2演练反馈总结提炼教学设计示例（第二课时） 一教学目标 1明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；2能利用向量减法的运算法则解决有关问题；3启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；4过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解

50、事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识二教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量；教学难点：对向量减法定义的理解三教    具：多媒体、实物投影仪四教学过程1设置情境上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法（板书课题：向量的减法）2探索研究（1）向量减法相反向量：与 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量。记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量注意：1° 与 互为相反向量。即 2°

51、任意向量与它的相反向量的和是零向量。即 3°如果 、 是互为相反向量，那么 与 的差：向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差即 向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法 的作法：已知向量 、 ，在平面内任取一点O，作 ，则 。即 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量 思考：为从向量 的终点指向向量 的终点的向量是什么？（ ）师：还可以从加法的逆运算来定义，如下图所示，因为 ，所以 就是 ，因而只要作出了 ，也就作出了 要作出 ，可以在平面内任取一点 ，作 ， ，则 师：若两向量平行，如何作它们的差向量？两个向量的差仍是一个向量吗？它们的大小如何（ 的几何意义）？方向怎

52、样？生：两个向量的差还是一个向量， 的大小是 ，是连接 、 的终点的线段，方向指向被减向量练习：（投影）判断下列命题的真假（1） （     ）（2）相反向量就是方向相反的向量（      ）（3） （     ）（4） （     ）参考答案：、×、×、×（2）例题分析【例1】已知向量 、 、 、 ，求作向量 ， 师：已知的四个向量的起点不同，要作向量 与 ，首先要做什么？生：首先在平面内任取一

53、点 ，作 ， ， ， 作 、 ，则 ， 【例2】如图所示， 中 ， ，用 、 表示向量 、 师：由平行四边形法则得 由作向量差的方法得 练习：（投影）对例2进行变式训练变式一，本例中，当 、 满足什么条件时， 与 互相垂直？变式二，本例中，当 、 满足什么条件时， ？变式三，本例中， 与 有可能相等吗？为什么？参考答案：变式一：当 为菱形时，即 时， 与 垂直变式二：当 为长方形时 ，即 变式三：不可能，因为 的对角线总是方向不同的3演练反馈（投影）（1） 中， ， ，则 等于（     ）A      

54、   B          C        D （2）下列等式中，正确的个数是（      ） ；  ；  ；  ；  A5        B4        C3   

55、0;     D2（3）已知 ， ，则 的取值范围是_参考答案：（1）B；   （2）B；  （3）3，134总结提炼（1）相反向量是定义向量减法的基础，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：（2）向量减法有两种定义：将减法运算转化为加法运算： 将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果 ，则 从作图上看这两种定义没有本质区别，前一个定义就是教材采用的定义法，但作图稍繁一点；后一种定义便于作图和记忆，两个有相同起点的向量相减，所得向量是连接两向量终点，并且指向被减向量的终点五板书设计向量的减法相反向量  &

56、#160;           例1           例2向量的减法典型例题例1如图1所示，已知向量 ，试求作和向量 分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和即先作 ，再作 解：如图2所示，首先在平面内任取一点 ，作向量 ，再作向量 ，则得向量 ，然后作向量 ，则向量 即为所求小结：此题的目的主要在于用几何作图熟

57、悉加法的三角形法则及对结合律的认识例2化简下列各式(1) ；      (2) 分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法是利用几何方法通过作图实现化简；是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量解： (1)原式= (2)原式= 小结：向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径很多，十分灵活，如平面任一向量都可以写成两个向量的和，同样任一向量都可以分成两个向量的差等通过这种调整来简化运算例3用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形分析：要证明

58、四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量(需首先将命题改造为数学符号语言)已知：如图3，ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB求证：四边形ABCD是平行四边形证明：由已知得 ， ，且A，D，B，C不在同一直线上，故四边形ABCD是平行四边形小结：这种类型的题目由于要求用向量的方法来证明，故应把平面几何的语言准确无误的转换为平面向量的语言，如本题中 ，而不能写 例4证明：对于任意两个向量 都有 分析：由于不等式本身有明显的几何意义，故应选用向量的几何意义进行证明可根据向量 共线与不共线两种情况进行讨论证

59、明：若 中有一个为零向量，则不等式显然成立若 都不是0时，记 ，则 (1)    当 不共线时，如图4甲所示，则有 即      (2)    当 共线时，若 同向，如图4乙所示， ，即 ；若 反向，如图4丙所示 ，即 综上可知 小结：两个向量之间无大小可言而两个向量的长度之间可以比大小此不等式一般称为三角不等式，它的几何意义就是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值在证明之后还可以让学生一起讨论不等式中两个等号成立的条件例5设a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”

60、，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km“说明下列向量的意义(1)a+b    (2)b+d   (3)d+a+d分析：根据实际意义来确定向量的方向，再根据三角形法则进行加法运算解：(1) a+b表示向东走5km         (2) b+d表示向西南走 km(3) d+a+d表示向东南走 km小结：关于向量的加法实际就是向量的合成，而向量的合成在实际中有着广泛的应用，此题就是初步了解其应用例6如图5，一物体受到两个大小均为60N的力的作用，两力的夹角为6

61、0 且有一力方向水平，求合力的大小及方向 分析：首先应根据题目已知条件作出向量图，从图中观察合力与分力的关系解：设 分别表示两力，以 为邻边作平行四边形OACB，则 即为合力由已知可得OAC为等腰三角形，且 过A作 于 ，则在 中， 故 ，即合力的大小为 ，方向与水平方向成30°角小结：在这种向量的合成中注意和向量的模并不是两向量的模的简单相加，只有在两向量方向相同时才可以扩展资料向量 -思维的全新视角、教学的最佳契机南京十三中 陶可向量是新教材增加的内容，无论是对于教师还是学生都是新的，作为学生，接触到新的内容，不仅增大了知识的容量，而且由于立足于向量这一新的视角，进一步拓宽了思维的渠道。作为教师不仅要学