人教版高中数学必修⑤2.2《等差数列》教学设计

1、课题：必修 2.2 等差数列三维目标：1学问与技能（ 1）通过实例，懂得等差数列、公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件；（ 2）明白等差数列的各种表示法，能敏捷运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；（ 3）体会等差数列与一次函数的关系； 2过程与方法（1）让同学对日常生活中实际问题分析，经受等差数列的简洁产 生过程和应用等差数列的基本学问解决问题的过程；并引导同学通过观看，推导，归纳抽象出等差数列的概念；（ 2）引导同学建立等差数列模型用相关学问解决一些简洁的实际问题，在合作探究的过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的讨论；（3）培育同学的观看才能

2、，进一步提高同学的推理归纳才能；（ 4）培育同学分析问题、解决问题的才能及钻研精神，培育同学的运算才能、严谨的思维习惯以及解题的规范性；3情态与价值观（1）通过等差数列概念的归纳概括，培育同学的观看、分析资料的才能，积极思维，追求新知的创新意识；（2）借助函数的背景和讨论方法来讨论有关数列的问题，可以进一步让同学体会数学学问间的联系，培育用已知去讨论未知 的才能；形成学数学、用数学的思维和意识，培育学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗；（3）通过对数列学问的学习及探究，不断培育自主学习、主动探索、善于反思、 勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参加意识和合作精神，并进一步培育同学讨

3、论和发觉才能，让同学在探究中体验愉悦的胜利体验；教学重点：1懂得等差数列的概念及其性质，探究并把握等差数列的通项公式；2会用公式解决一些简洁的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系；教学难点：1概括通项公式推导过程中表达出的数学思想方法；2等差数列通项公式及性质的敏捷运用教具： 多媒体、实物投影仪教学方法： 合作探究、分层推动教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：同学们，上两节课我们学习了数列的定义及相关的性质，下面，请同学们简洁地回忆一下：什么是数列？什么是数列的项？数列有几种分类方法？ 什么是数列的通项公式？ 什么是数列的递推公式？在日常生活中，我们常常会遇到一类特别的数列；如：由同学观看

4、分析并得出答案： 在现实生活中， 我们常常这样数数， 从 0 开头，每隔 5 数一次， 可以得到数列：0，5， , , , , 2000 年，在澳大利亚悉尼举办的奥运会上，女子举重被正式列为竞赛项目； 该项目共设置了7 个级别；其中较轻的4 个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58， 63； 水库的治理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼；假如一个水库的水位为18cm，自然放水每天 水位降低2.5m，最低降至5m；那么从开头放水算起，到可以进行清 理工作的那天， 水库每天的水位组成数列（单位： m）：18，15.5 ，13， 10.5 ， 8，5.5 我国现

5、行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金运算下一期的利息；依据单利运算本利和的公式是： 本利和 =本金×（ 1+利率×寸期） . 例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%；那么依据单利，5 年内各年末的本利和分别是：时间年初本金（元）年末本利和（元）第 1 年10 00010 072第 2 年10 00010 144第 3 年10 00010 216第 4 年10 00010 288第 5 年10 00010 360各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288 ，10 360 ；摸索：同学们

6、观看一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，48，53，58， 6318，15.5 ，13，10.5 ，8，5.510 072，10 144，10 216，10 288 ，10 360看这些数列有什么共同特点呢？今日，我们就来探究这类数列：二、创设情境合作探究：通过上面的四个实例，同学们观看相邻两项间的关系回答、探究以下问题： 对 于 数 列 ， 从第2项 起， 每 一项 与 前 一 项 的 差都 等于；对 于 数 列 ， 从 第2项 起 ， 每 一 项 与 前 一 项 的 差 都 等于；对 于 数 列 ， 从 第2项 起 ， 每 一 项 与 前 一 项 的 差 都 等于；对于数列，

7、从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于； 总结归纳得到等差数列的概念：一般地，如果一个数列，那么这个数列就叫做 等差数列 ；叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示；那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是，；假如在 a 与 b 中间插入一个数a ，使 a ， a ， b 成等差数列数列，那么 a 应满意什么条件？ 等差中项概念：由三个数a，a， b 组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列，这时， a 叫做 a 与 b 的； 等差数列的通项公式（ 1）对于以上的等差数列，它们的通项公式存在吗？假如存在，分别是什么？（ 2）假如任意给了一个等差数列的首项a1 和公差d，它的通项公式是什么呢？

8、依据等差数列的定义进行归纳：a2a1d , a3a2d , a4a3d,所以a2a3a1a2d,d（ a1d） da12d,a4a3d（ a12d） da13d,由此我们可以得出：以a1 为首项， d为公差的等差数列 an 的通项公式为：等差数列的通项公式的其他推导方法：1、（迭加法）： an 是等差数列，所以anan 1d ,an 1an 2d ,an 2an 3d,a2a1d,两边分别相加得ana1n1d ,所以ana1n1d2、（迭代法）： an 是等差数列，就有anan 1dan 2ddan 22dan 33da1n1d所以a na1n1d【小试牛刀 】1、判定以下数列是否可能是等差数

9、列？假如是，写出通项公式（ 1）9，8， 7，6，5， 4，；（ 2）1， 1， 1，1，；（ 3）1， 0， 1，0， 1，；（ 4）1 ， 2， 3，2， 3， 4，；（ 5）a,a,a,a,；（ 6）0 ， 0， 0，0， 0， 0，.2、在等差数列an中，1）已知 a1=2,d=3,n=10,求 an2）已知 a1=3,an=21,d=2,求 n3）已知 a1=12,a6=27,求 d74）已知 d=1 ,a =8,求 a13三、互动达标巩固所学：问题.1求等差数列8，5， 2，的第20 项.-401 是不是等差数列-5 ， -9 ，-13 ，的项？假如是，是第几项？【分析】要求出第2

10、0 项，可以利用通项公式求出来；首项知道了，仍需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题；要判定这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满意该数列的通项公式，并且需要留意的是，项数是否有意义；【解析 】由a1 =8， d=5-8=-3 ， n=20，得a208211349由 a1 =-5 ， d=-9- （ -5 ） =-4 ，得这个数列的通项公式为an54n14n1, 由题意知，此题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立；解这个关于n 的方程，得 n=100，即-401 是这个数列的第100 项；【点评】从该例题中可以看出

11、，等差数列的通项公式其实就是一个关于 an 、 a1 、d、n（独立的量有3 个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判定所给的数是不是数列中的项， 当判定是第几项的项数时仍应看求出的项数是否为正整数， 假如不是正整数， 那么它就不是数列中的项；问题.2 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10 元，即最初的 4km（ 不含4 千米）计费10 元；假如某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？【分析】此题是一个实际问题，第一搞清题意，然后提取数学信息进行分析，建立相应的数学模型，此题明显是一个等差数列的模型【解析 】解：依据题意，当该市出租

12、车的行程大于或等于4km时，每增加 1km，乘客需要支付1.2 元. 所以，我们可以建立一个等差数列 an 来运算车费 .令 a1 =11.2 ，表示 4km处的车费，公差d=1.2 ；那么当出租车行至 14km处时，n=11，此时需要支付车费a1111.21111.223.2元答：需要支付车费23.2元；【点评】这是等差数列用于解决实际问题的一个简洁应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的学问解决实际问题；问题.3 已知数列 an 的通项公式为anpnq, 其中 p、q 为常数，且p 0，那么这个数列肯定是等差数列吗？【分析】 判定 an 是不是等差数列，可以利用等差数列的定

13、义，也就是看 anan 1 （ n 1）是不是一个与n 无关的常数；【解析 】取数列 an 中的任意相邻两项an 与an1 （n1），求差得anan 1 pnq p n1qpnq pnpqp它是一个与n 无关的数 . 所以 an 是等差数列；摸索：这个等差数列的首项与公差分别是多少？这个数列的首项a1pq,公差dp ；由此我们可以知道对于通项公式是形如 anpnq 的数列，肯定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.【点评】 通过这个例题我们知道判定一个数列是否是等差数列的方法：假如一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数， 那么这个数列必定是等差数列；【探究】引导

14、同学动手画图讨论完成以下探究：在直角坐标系中， 画出通项公式为an3n5 的数列的图象； 这个图象有什么特点？在同一个直角坐标系中， 画出函数y=3x-5 的图象，你发觉了什么？据此说一说等差数列anpnq 与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系；【分析】 n 为正整数，当n 取 1，2， 3，时，对应的an 可以利用通项公式求出；经过描点知道该图象是匀称分布的一群孤立点；画出函数y=3x-5的图象一条直线后发觉数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x 在正整数范畴内取值时相应的点的集合；于是可以得出结论：等差数列anpnq 的图象是一次函数y=px+q 的图象的一个子集，是

15、y=px+q 定义在正整数集上对应的点的集合；该处仍可以引导同学从等差数列anpnq 中的p 的几何意义去探究；四、思悟小结：学问线：（1）等差数列的概念；（ 2）等差数列的通项公式；（3）等差中项的概念；思想方法线：（ 1）公式法或定义法；（ 2）建模思想方法；（ 3）函数的思想方法；题目线：（ 1）依据等差数列的通项公式，解决相关的基本问题；（ 2）判定一个数列是否为等差数列；（ 3）关于等差数列的实际问题；五、针对训练巩固提高：1、等差数列的相邻四项是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值分别是a.2,7b.1,6c.0,5d.无法确定x2、如 log 3 2 ，log3 21) ，

16、log 2x11 成等差数列， 就 x 得值为（）3a7 或-3b.log3 7c.log 2 7d.43、（1）求等差数列3， 7，11，的第 4 项与第 10 项（2）101 是不是等差数列2，9，16，的项？假如是， 是第几项？4、（1）在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项 a1 与公差 d.（2）.在等差数列 an中，已知a3=9,a9=3,求 a125、一个首项为23，公差为整数的等差数列，假如前六项均为正数，第七项起为负数，就它的公差是多少？6、已知无穷 an 中, 首项为 a1，公差为d, 其中m， n， p， qz（1）数列中，第n 项与第 m项有什么关系？（2）如 m+n=p+q，就数列中的第m，n，p， q 项有什么关系？7、已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d：（1）将数列中的前m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新