2020年高考数学十大圆锥曲线解题类型总结

1、圆锥曲线解题类型全归纳招式一：弦的垂直平分线问题 2招式二：动弦过定点的问题 4招式四：共线向量问题 6招式五：面积问题 13招式六：弦或弦长为定值、最值问题16招式七：直线问题 19招式八：轨迹问题 23招式九：对称问题 30招式十、存在性问题 339招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N : y2 x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(Xo,0),使得 ABE是等边三角形，若存在，求出 x0 ;若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线 l : y k(x 1), k 0, A(x1,y1), B(x2,y2)。由y2 k(x

2、1%y整理，得 y x2 2_22k x (2k1)x k 0由直线和抛物线交于两点，得一 22(2 k 1)424k 4k 1由韦达定理，得:xix22k2 1 , k 入" 2k2 111。则线段AB的中点为(,)o2k2 2k12k2111则 E(- -,0)22k2 2线段的垂直平分线方程为:_ 211 ,1 2k2、人 /口-(x 2)令 y=0,得 x02k k 2k201ABE为正三角形，E(2k21,0)到直线AB的距离d 为李|AB oAB,(X x2)2 (%y2)21 4k2k1Zg"邛解得k2k22 k、39-满足式此时x013【涉及到弦的垂直平分线

3、问题】这种问题主要是需要用到弦 AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标 M,结合弦AB与它的垂直平分线 L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求 L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点 D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平分线上)、曲线上存在两点 AB关于直线m对称等等。例题分析1:已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线 x+y=0对称的相异两点 A、B,则|AB|等于yx2 32解：设直线AB的万程为yxb,由x xb3

4、0x,x21，进而可求出ABy x b的中点M (长公式可求出1 1 .、 一一， 1 1 一,b),又由 M (一,一 2 22 2, ，一一一2一 一 ,一、b)在直线x y 0上可求出b 1, x x 2 0,由弦AB J1 12J12 4 ( 2)招式二：动弦过定点的问题y2.小"一、.321(a b 0)的离心率为，b22 一 X例题2、已知椭圆C: -2 a且在x轴上的顶点分别为 Ai(-2,0),A 2(2,0)。(I)求椭圆的方程；(II )若直线l : x t (t 2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线 PAi,PA2分别与椭圆交于 M、N点，试

5、问直 线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论2. c 3解：(I)由已知椭圆 C的离心率e - -a 2a 2,则得-J3,b 1。从而椭圆的方程为 4y2 1(II)设M(Xnyi),N(X2,y2),直线AiM的斜率为ki,则直线AM的方程为yki(x2),由y ki (x 2)2 2222 消y整理得(1 4ki )x 16k2X 16k1 4 0Q 2和、是方程的两个根,x 4y 422c1612 4 mH 2 8ki22xi -一厂则 xi y , yi1 4kl21 4kl22jk1方，即点M的坐标为(马粤，/)，1 4k21 4k2 1 4k2同理，设直线A2N的斜率为k2,则

6、得点28k2 2 4k2、N 的坐标为 (2-,2)1 4k2 1 4k；Qyp ki(t 2),yp k?(t 2)kik2kik22, Q直线MN的方程为：-yy1tx xiy2%X2 xiMM叫将点M、yi y2n的坐标代入，化简后得:又 Qt 2,0 4 2Q椭圆的焦点为(V3,0) 4 tt4 3V3 ,即t 故当t4 3 g时,3MN过椭圆的焦点。招式三：过已知曲线上定点的弦的问题22例题4、已知点A、B、C是椭圆E:勺当 I a buuur uuir点，直线BC过椭圆的中心 O,且ACgBC 0,(auurBCb 0)上的三点，其中点A (273,0)是椭圆的右顶uuur2 AC

7、 ,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线x J3对称，求直线PQ的斜率。解：（I） QuuurOCuurBCuuur2 AC，且BC过椭圆白中心Ouuur uuurAC Q AC gBC 0ACO 又QA (2 点,0) 2QA（2j3,0）是椭圆的右顶点,a 253,则椭圆方程为:2上1b2将点c （杂,J3）代入方程，得b24 , 椭圆E的方程为12 4点C的坐标为（V3J3）。（ii） Q直线pc与直线QC关于直线x J3对称,设直线pc的斜率为QC的斜率为从而直线PC的方程为:y志k(x啊,kxkx . 3(123y

8、12k）消v,整理得:0(1 3k2)x2 6 3k(1k)x9k218k 3 0Q xJ3是方程的一个根,9 k2 18k 3xp g/3 2即 xp1 3k29k 18k 3 G=同理可得:,3(1 3k2)一 2 一 一9k 18k 33(1 3k2)Qyp ykxp3(1 k)kxQ g(1 k) = k(xPxQ)273k =12k,3(1 3k2)9k2 18k 3xP xQ2.3(1 3k2)9 k218k 336k.3(1 3k2)3(1 3k2)kPQypyQxpxq则直线PQ的斜率为定值招式四：共线向量问题1:如图所示，已知圆C：（x 1）2 y2 8,定点A（1,0）,

9、M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上,且满足AM 2AP,NP AM0,点N的轨迹为曲线 E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F （0, 2）的直线交曲线E于不同的两点G、H （点解：(1) AM 2AP,NP AMG在点F、H之间），且满足FG FH ,求 的取值范围.0.，NP为AM的垂直平分线，|NA|二|NM|又 |CN | | NM | 2,2, |CN | AN | 2 J2 2.，动点N的轨迹是以点C ( 1, 0), A (1, 0)为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为2 a焦距2c=2.a 2 c 1,b2 1.2 X 曲线E的方程为一2（2）当直线GH斜率存在时，设直线 x

10、GH万程为y kx 2,代入椭圆方程- 2邢y1,2 2,y2 1.得(1 k2 )x2 4kx23 0.由3。型k-.<G(x1,y1),H(x2,y2),则XiX24k rr 28k小K（1），XiX2FGFH,(x1,y12)(x2 , y22)Xi X2,)X22 32k223(1 2k2)32k23213(/ 2)k1633.1,1.又当直线GH斜率不存在，方程为0,FG1 -FH , 31,即所求，一一 .一一 1的取值范围是1,1）31 2.、一、 , ,X的焦点，离心率 4A、B两点，交y轴于2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y、，

11、2 .5 为.（1）求椭圆C的标准万程；（2）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于5i210.uuruur uur uurM 点，若 MA1AF , MB2BF，求证:解：设椭圆C的方程为2 y_ b2a > b >0）抛物线方程化为2x 4y,其焦点为（0,1）,11则椭圆C的一个顶点为（0,1）,即b 1由e - Ja-b-25 , . a2 5,椭圆C的方程为a , a 51 证明：右焦点F（2,0）,设A（X1, y。B（X2,小 M （0, y0）,显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y k(x22），代入方程5y2 1并整理，得22(1 5k )x_2_220k x 2

12、0k50x1x220k22 ， x1 x21 5k20k2 5 uurk 又MA (x1,y1 y*uuiruurMB (x2,y2 y。)，AF (2x1，y1），iurBF (2x2, y2)，1(2 x1,0, yyo)uur uuriuruuir而 MA1AF , MB2BF ,即(x1y1 ) , (x2 0, y2y0)2(2x2, y2 )12所以12x12x2x122xX22(x1 x2) 2x1x22 x24 2(x1 x2) x1x2103、已知 OFQ的面积S=2 V6 ,且OF?FQ m。设以。为中心，F为焦点的双曲线经过 Q,|OF | c, m、.62(1)c2,当

13、4|OQ |取得最小值时，求此双曲线方程。22解：设双曲线方程为x2 4 a b1, Q (x°, y°)。FQ (x° c,y°),1Saqfq=一 |OF |y0 | 2v6,y°4.6c、八一，、62，6OF ? FQ (c,0)(x0 c, y0) =c(x°c)= ( 1)cx0c。442TT 厂22 i> 3c96. rzqq60V0«822J3,当且仅当3c- 96，即c 4时,|QQ|最小，此时Q(V6,76)或(V6, 呵,8 c26所以a22a6 b7 b2162ab24x , x2.故所求的双曲线

14、方程为-1242匕1。12类型1 求待定字母的值例1设双曲线C:2 X-2 ay21(a0)与直线L: x+y=1相交于两个不同的点A、B,直线L与y轴交一， 一 5 _于点P,且pa=二PB ,求a的值思路:12设A、B两点的坐标,将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求的值。解:设 A(xi,yi), B(X2,y2),P(0,1)5 .PA= PB,12(Xi, yi551)' (x2, y2 D, .X1 = 77X2.1212X联立x2a，消去 y 并整理得，(1 - a2)x2+2a2x- 2a2=0 (*)1.A、B是不同的两点，4a0,8a2 (1a

15、2) 0,0<a< J2 且 a 1.X1+X2=2a21 a2且 X1 X2=一12a22 a即"X212互2,且aX221 a 12W消去X2得, a22a 2892 =，a 6017 a=13类型2 求动点的轨迹,0<a< M2 且 a171, a=。13例2如图2 ,动直线y kx 1与y轴交于点A,与抛物y23交于不同的两点 B和C,且满足BP=X PC AB=X AC,其中 R.。求 A POA的重心Q的轨迹。思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数入获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。,y解：由 o2y

16、kx1 口得,3k2x2+(2k 1)x+4=0.1ek 且k 0.6设 P(x' ,y,' B(X1,y1), C(X2,y2),39贝U Xl+X2=1 2kk24,X1.X2=.k由BPPCyi)= (X2 x,y2 y)X X1 =(X2 X )由 AB AC(X1, y1 1)(X2 , y21)X1X2 °x X1X1X2X22x1x2X1X281 2kkX8k2k6k 12k消去k得,x，2 y -6=0 (*)设重心Q(x,y),则X3y33x3y,代入（*）式得，3x-6y-4=0o1k)且k612且X故点Q的轨迹方程是 3x-6y-4=04 /日

17、8-x 4 x338一），其轨迹是直线 3x 6y 4=0上且不包括点34_4-825A( ,0), B(4,),C(一,一)的线段 AB。333 3类型3证明定值问题例3已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于 A、B两点，OA OB与£（3, 1）共线。设M为椭圆上任意一点，且 OM OA OB,其中， R.证明：22为定值。思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。解：设椭圆方程为2 X2 a2。1(a b 0), F (c,0).则直线AB的方程为 b

18、2y x c.代入椭圆方程中，化简得,2,2、 2c22 22, 2-(a b )x 2a cx a c a b 0.设 A(x1,y1), B(x 2,y2),则 x1x22a cTT，x1 X2 a b2 22. 2a ca bX2,y1 y2)得,由 OA OB 与 a (3, 1)共线，OA OB (x13(y1 y2) (x1 X2)0。又 y1x1 c,y2X2c,3(x1x2 2c) (x1 x2) 0, x1 x2I,即2a2 cb23c23b2.由 22. 223 2.212向 c a b,于是 a -c ,b -c。 2222因此椭圆方程为 J 4 1,即x2 3y2 3b

19、2.3b2 b2设 M(x, y),由 OlMOA OB 得，(x,y)(x1, y1)(x2,y2)，xx1x2 且 yy1y2.因M为椭圆上一点，所以(x1x2)23( y1y2)23b2.-2,2_ 2、即(x1 3y1 )2/2-2、 c,八、2(x2 3y2) 2 (x1x2 3y1y2) 3b又 x1x23c,a2 3c2,b2 1c2, x1x2 2222 22, 2-a ca b 3 222 cab 8Erl2x1x23y1 y2x1x23(x1c)(x2c) 4x1 x23(x1x2 )c3c3 099 O2-2-22-2-23c2 9c2 3c2 0.而 x13y13b2,

20、 x23y2 3b2,22代入得，22 =1, 22为定值。类型4探索点、线的存在性1例4在4ABC中，已知B( 2, 0), C(2, 0), AD，BC于D,ABC的垂心H分有向线段 AD 所成的比为 3，111设P(1,0), Q(1,0),那么是否存在点 H,使-,-,成等差数列，为什么？|HP|PQ|HQ| -思路：先将ACXBH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数(坐标)关系，通过解代数方程组获解。解：设H(x, y),由分点坐标公式知 A( x,-4y)- 3. H 为垂心 . .AC XBH , . (x 2,4y)(x 2,y) 0 ,322

21、整理得，动点H的轨迹方程为 士匕 1(y 0)。43|HP| . (x 1)2 y2|PQ| 2, |HQ | &x 1)2 y2 。,111,2假设,成等差数列，则|HP|PQ| |HQ|PQ|11|HP| |HQ|即 1 一,(x 1)2 y2(x 1)2 H在椭圆上a=2, b= *3, c=1 , P、Q是焦点,HP HQ 2a 4,即忒x 1)2 y2 ；(x 1)2 y2 4 由得，J(x1)2""y2?7(x1)2Z，(x1)2y2J(x1)2y4 联立、可得，y(x 1)2 y2 式x 1)2 y2 2,22 . x 0,yJ3,显然满足H点的轨迹方

22、程 -y- 1 ,43111故存在点h(0, ±73),使，1成等差数列。|HP| |PQ|HQ|类型5求相关量的取值范围2例5给定抛物线C: y2 4x , F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且FB AF, 4,9 ,求l在y轴上截距的变化范围。思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出 l在y轴上的截距，利用 函数的单调性求其变化范围。解：设 A(x1,y1), B(x2,y2),由 FB AF 得，d 1,y2)(1 x1，y1)，即x2 1(1 Xi)22 2令由得，y2y1 .y2Vi2,2,2V14X1 , y24X2 , X2X1

23、 o 、付) X2 o而 0, B( ,21)，或B( , 21).当直线l垂直于x轴时， 1,不符合题意。因此直线l的方程为(1)y 2< (x 1)或(1)y2.(x 1).直线l在y轴上的截距为 4或 2.由 " -3 一一知，2J在 4,9上递减的, 111.1,11. 324423所以一 -,- -.413314于是直线I在y轴上截距的变化范围是22存在、向量例6、双曲线C：、与 1a 0,b 0的右顶点为A, x轴上存在一点Q 2a,0，若c上 a b2存在一点P使APPQ,求离心率的取值范围23c解:PA PQ P点的轨迹 方程为 x 3ay22即y222 ,x

24、3ax 2a (x a且x 2a)。由22b x2y222, 2a y a b22x 3ax 2a,2 2b x222a x 3ax 2a2,2 a b2,22342, 20即 ab x 3ax 2a a b 022_ 22x a a b x a 2a b0, x a, x 绰出口 a 1 a bce22P在双曲线二1T 1的右支上，x a, a W 1 a bea,解得1e定值问题 例7: A ,B是抛物线y2 2 Px （ p0）上的两点，满足 OA OB （O为坐标原点），求证：（1）A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线AB经过一定点。2分析：(1)设 A(x1, y

25、1), B(x2, y2),则 y1-22,22px1，y2 2Px2 (yy2)4p xx2uuu uuuunn uuu又由 OA OB OA OB 0 x1x2 y1y2 0,2,2xx24p , yy24p22 yy2 2Pgx2)K AByy22Pyy2直线 AB 的方程为 y y12P (x x1) y 2P x2Pxiy1y y2y y2y y22一x YPx一'yy -L(x 2p),故直线过定点(2p,0)。y1 y2y1 y2y1 y2招式五：面积问题2 X例题1、已知椭圆C: J a2 y b21 （a>b>0）的离心率为 色6,短轴一个端点到右焦点的距

26、离为 J3。（I）求椭圆C的方程;（n）设直线1与椭圆C交于a、 3B两点，坐标原点 O到直线1的距离为3-,求 AOB面积的最大值。解：（I）设椭圆的半焦距为 c,依题意c 坐，b 1,a 3a - 3,2所求椭圆方程为上y2 1。3(n)设 A(x1, y1), B(x2, y2)。(1)当 AB，x轴时,AB J3。（2）当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为ykx m。由已知|m| 理，得m2.1-k2-23(k2 1)。4把y kx m代入椭圆方程，整理得 （3k2 1）x226kmx 3m 3 0,x1 x2¥，.3k2 12 3k2 1222AB (1 k )(x2

27、x)(1 k2) 36k m 2 12m1(3k2 1)23k2 112(k2 1)(3k2 1 m2)(3k2 1)23(k2 1)(9k2 1)。12k2(3k2 1)23 9k4 6k2 1120)< 3122 3 621当且仅当9k22 ,即kk2电时等号成立。当k 0时,3ABV3,综上所述人町耿2。 , _ 一 _1当AB最大时，4AOB面积取最大值S 一2ABmax2 .一 x2、已知椭圆C: a23 =1（a>b>0）的离心率为一，短轴一个端点到右焦点的距离为 37r3 .（I ）求椭圆C的3方程；（n ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距

28、离为 二,求 AOB面积的最大值.解：(I)设椭圆的半焦距为J3 b.3,2所求椭圆方程为y21.3(n)设 A(x, y1)，Bd,y2). (1)当 AB ± x轴时,AB代.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y kxmm .由已知 ， _1 k23(k2 1).4把y kxm代入椭圆方程,整理得(3 k21)x226kmx 3m6km23k2 1X1X23(m2 1)3k2 1AB(1k2)(x2222236k mx)2 (1 k2) 22(3k2 1)2212(m2 1)3k2 112(k21)(3k2 1-"22""(3k1)m2)3(k

29、2 1)(9k2Z22(3k1)1)_ 2c 12k23429k4 6k2 19k2二一(k 0)<3 证6122 3 6当且仅当9k21 r ,2，即 k k2时等号成立.30时,AB J3 ,综上所述ABmax2.当AB最大时,AOB面积取最大值SAB3-3max 222 x3、已知椭圆32y 1的左、右焦点分别为2E,F2 .过F1的直线交椭圆于 B, D两点，过F2的直线交x2椭圆于A, C两点，且 AC BD,垂足为P . (I)设P点的坐标为(x0, y0),证明：-03(n )求四边形 ABCD的面积的最小值.解：(I)椭圆的半焦距J32 1 ,由AC，BD知点P在以线段F

30、1F2为直径的圆上，故2 x。2y01,2所以，x232 x。22 y。211 . (n) (i)当BD的斜率k存在且k 0时，BD的万程为y 2k(x1)，2代入椭圆方程3并化简得(3k2 2)x2 6k2x 3k2 6 0.设 B(x1, y1), D(x2,y2)，x1x26k23k2 2'x1x23k2 63k2 2BD1 k2gx X2因为AC与BC相交于点四边形ABCD的面积S当k2 1时，上式取等号,(1 k2)g(X2 X2)2 4x1X2P ,且AC的斜率为 1 ,所以,k1-gBD| AC24(k2 1)2(3k2AC4. 34 . 3( k2 1) 3k22(k2

31、 1)24.3(k2 1)_ 2-2k2 396222)(2k3)(3k2 2) (2k2 3)25(ii)当BD的斜率k 0或斜率不存在时，四边形 ABCD的面积S 4.综上，四边形 ABCD的面积的最小值为9625招式六：弦或弦长为定值、最值问题_ uuir uuir1、已知 OFQ的面积为2拆,OF FQ m（1）设J6 m 4J6,求 OFQ正切值的取值范围;（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点 Q（如图），uur|OF | c,m.62 uuu( 1)c2当|OQ|取得最4小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设 OFQuuur uur|OF | |FQ|cos(ULLT|OF

32、 Iuujr|FQ |sintan(2)tan2设所求的双曲线方程为之 a2 y_ b21(a 0,buuir0),Q(X1,y1),则 FQ(x c,y1)OFQ1 uuur2|OF|4,6uur又. OFuuirFQuuur uuir OF FQ (c,0)(X1 c, y1)(X1 c) cJ6X1c,4uur-2|OQ| X22Vi96 3c2'丘.当且仅当c4时,uuu|OQ|最小，此时Q的坐标是（76，病或（府V6）62a2a6 b2b216b2 122 x,所求方程为一42幺1.12o 4 y24 yX22y2，从而土2也(2 y2) 1,得y°M .则点p的坐

33、标为(172).(n )由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k 0)，则BP的直线方程为:y , 2k(x 1).y由x2x2 k(x 1)2得(2 k2)x2 2kq 2 k)x(2 k)24 0,设 ByB),则1 Xb2k(k 2),Xb2k(k .2)yA yBk(XA 1)k(xB1)2,k 2.2k 21 2-，2 k-8kN.所以：AB2 k同理可得Xak2 2、. 2k 2)(出)AB的直线方程:J2x m.由(2 .2m)2 16(m2 4)则 S PAB1 |AB|d112 1m|2、(4 2m)33当且仅当2X3、已知椭圆一2的斜率kABy . 2x

34、22x y242yA yBXaXb手2为定值.m,得 4x2 2,2mx m2 4 01m 2V2 P 至U AB的距离为d 号，Xb4.2k2 ,2 k8 m2( m2 8)/22 c1 ,mm8、2 门-()<2。822亚,2夜 取等号三角形 PAB面积的最大值为 北。2 1的左焦点为F, O为坐标原点。(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与 X轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。解：(I) Q a2 2,b2 1, c1,F( 1,0),l:x2. Q圆过点-一、一八、1，O、F,圆心

35、M在直线x 上。21设M( 一 ,t),则圆半径23 一一.由 OM2，得 J(2)2 t23-,解得2t五.所求圆的方程为(x了(y 回2(II)设直线AB的方程为y k(x 1)(k 0),代入1,整理得(12_ 2_4kx 2k 2 0.Q直线AB过椭圆的左焦点 F, 方程有两个不等实根。记 A(X1,v),B(X2,y2),AB 中点 N'y。),则x1X24k22k2 1AB的垂直平分线NG的方程为y y01k(XXo)._ 222k )xxg令y 0,得Q kXo0,ky。1( 2,0).4、已知点A,B的坐标分别是2k22k2 1xG0,(0, 1)，求点M轨迹C的方程；

36、（2）若过点Dk22k2 1k22k2 12.2 4k 2 点G横坐标的取值范围为(0,1)，直线 AM , BM相交于点M,且它们的斜率之积为1.（1）22,0的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点 E、F （ E在D、F之间），试求 ODE与 ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）.解：（1）设点M的坐标为（x, y）, kAM1一.整理，得一1 (x 0),（2）如图，由题意知直线l的斜率存在,设l的方程为x sy2(sx22）将彳弋入一2整理,得(s2 2)y2 4sy 20,0,解得s2y1y2K,y1 ，F X2,y2yy24ss2 2 2s2 2.S OBES OBFz|OB

37、 |y1-|ob y2(%y2)2V1V28s2s2 22且s28s2u -s2 2(4,85解得3 2.23 2.2 且Q0故A OBE与 OBF面积之比的取值范围是2'2,3U I1 ，且0 y2163，1.22y xC -2 1(a b5、已知椭圆C1： a b°）的右顶点为A（1,0）,过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.（I）求椭圆C1的方程;（II）设点P在抛物线C2 : y2x h（h R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M,N .当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.b 1. b2.21解析：（I）由题意得a所求的椭圆方程为2y 2.x 1

38、4，xt 2t，直线t24t(t2 h)x (t2 h)2 40 ,因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有2(II)不妨设M(x1,y1), N(x2,y2), P3th),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y2222MN的方程为y 2tx t h,将上式代入椭圆C1的方程中，得4x(2tx t h) 4 0,即1 16 t4 2(h 2)t2 h2 40x3设线段MN的中点的横坐标是 x3,则xx22t(t2 h)，2、一2(1 t ) ,设线段PA的中点的横坐标是 x4,则t 1x4 222 ,由题意得x3x4,即有t (1 h)t X1Ly1 *4 x 0,其中的2 (1h)4ah

39、i或h3.422当h 3时有h20,4 h0,因此不等式1 16 t 2(h2)th 40不成立；因此2h 1,当h 1时代入方程t (1 h)t 1 0得t 1,将h 1*1代入不等式一 4 一 八一、 2. 2.一1 16t 2(h2)th40#1成立，因此h的最小值为1.招式七：直线问题22_例题1、设椭圆C:。与1(a b 0)过点M(J2,1),且着焦点为F" J2,0) a b(I)求椭圆C的方程；(n)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点 A, B时，在线段 AB上取点Q,满足uuuAPuur uuuAQgPB，证明：点Q总在某定直线上解由题意:c2 22

40、1。.1 ，解得a2 4,b22,所求椭圆方程为a b222cab(2)方法一设点 Q、A、B 的坐标分别为(x, y),( Xi, yi),( X2, y2)。由题设知uuu. .uuu AP , PB ,uur,QB均不为零，记uiur又A, P, B, Q四点共线，从而AP于是XiX21，uuu AP uuu PBuuur AQ UUUF，则 QBuuu uuur uuuPB,AQ QBy11y2XiX21,vy2从而2X11X24x, L L (1)22 2y1 y22y , L L (2)1又点A、B在椭圆C上，即X12 2y24,L L x； 2y2 4,L L (4)(1) +

41、(2) X2 并结合(3), (4)得 4s 2y 4即点Q(X,y)总在定直线2x y 2 0上方法设点 Q(x, y), A(X1, v), B(X2, y2),由题设,uuuuPAuuuu uuur uuinPB , AQ , QB均不为零。uuu PBuuu- QBuur又P,A,Q,B四点共线，可设PAuur uur uuurAQ,PB BQ( 0, 1),于是(1)(2)由于A(X1,y1), B(X2,y2)在椭圆C上，将(1), (2)分别代入C的方程X22y24,整理得222(x x 23、设F1、F2分别是椭圆 y2 1的左、右焦点。 (I)若P是该椭圆上的一个动点，求 P

42、F1 PF2的最大值和最小值；(n)设过定点M (0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点 A、B,且/ AOB为锐角(其中O为坐标原点) 求直线l的斜率k的取值范围。解：(I)解法一：易知 a 2,b 1,c V3所以 F1 73,0 ,F2 瓜0，设 P x, y，则2y4) 24(2xy2)140(3)(x22y24) 24(2xy2)140(4)(4) (3) 得 8(2x y 2)00,：2x y 2 0即点Q(x, y)总在定直线2x y 2 0上2、已知曲线上任意一点P到两个定点Fi J3,0和F2、/3,0的距离之和为4.(1)求曲线 的方程;uuur uur(2)设过 0, 2的

43、直线l与曲线 交于C、D两点，且OC OD 0( O为坐标原点)，求直线l的方程.解：(1)根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，其中a2, cJ3,则bJ a2c21 .2所以动点M的轨迹方程为 人 y2 1 .4(2)当直线l的斜率不存在时，不满足题意.当直线 l的斜率存在时，设直线l的方程为y kx 2,设 uuur uuurC(x1, y1) ,D(x2, y2), / OC OD 0 , x,x2y1y20. /y1kx12 , y2kx22,2 x 2.,22V 11y1y2kx1x22k(x1x2)4，(1 k)x1x22k(x1x2)4 0,由万程组4 y 得y kx 2.1

44、4k2x216kx 120 .则 x1x216k 2 ,x1x22，代入，得1 4k21 4k21 k212 2 2k 16k 2 4 0.即 k2 4,解得，k 2或 k 2 .1 4k 1 4k所以，直线l的方程是y 2x 2或y 2x 2.uuurPFiuuuu - -PF2、.3 x, y , .3 x, y因为x 2,2 ,故当x 0,即点P为椭圆短轴端点时,uurPF1uuurPF2有最小值 22,即点uLurP为椭圆长轴端点时，PF1UULUPF2有最大值解法二：易知2,b1,c 3,所以 F1、,3,0、3,0设P x, y，则uuirPF1uuuuPF2uuirPF1uuurPF2cos F1PF2uuurPF1uuuuPF2uiur 2PF1uum 2PF2 luir2 PF1uuur 2F1F2uuuuPF2123 （以下同解法一）(D)显然直线0不满足题设条件,可设直线l :ykx 2, A 为，丫2 , B %,丫2，联立y2 x4kxxix24k4kk2消去x2整理得:4k2 3又00A0B900cosA0B又 yy2kx12 kx21