随机数的生成及随机变量抽样PPT课件

1、随机数的生成 随机数的产生是实现MC计算的先决条件。而大多数概率分布的随机数的产生都是基于均匀分布U(0,1)的随机数。 首先，介绍服从均匀分布U(0,1)的随机数的产生方法。 其次，介绍服从其他各种分布的随机数的产生方法。以及服从正态分布的随机数的产生方法。 最后，关于随机数的几点注。第1页/共52页一、均匀分布U(0,1)的随机数的产生 产生均匀分布的标准算法在很多高级计算机语言的书都可以看到。算法简单，容易实现。使用者可以自己手动编程实现。Matlab 中也提供给我们用于产生均匀分布的各种函数。我们的重点是怎样通过均匀分布产生服从其他分布的随机数。因此，直接使用Matlab提供的可靠安全

2、的标准函数，当然不用费事了。 第2页/共52页IMSL库中的函数使用 RNSET: 种子的设定 CALL RNSET (ISEED) RNOPT: 产生器的类型的设定 CALL RNOPT (IOPT) RNUN/DRNUN: 产生均匀分布的随机数 CALL RNUN (NR, R) 第3页/共52页例例1 1生成生成1 1行行10001000列的列的1 11010上离散均匀分布的随机上离散均匀分布的随机数；数；生成生成1 1行行10001000列列21213030上离散均匀分布的随机数；上离散均匀分布的随机数；生成生成1 1行行10001000列列50150110001000上离散均匀分布的

3、随机上离散均匀分布的随机数数。 并画经验分布函数曲线。并画经验分布函数曲线。Randnum=unidrnd(10,1,10000)；cdfplot(Randnum)；pauseRandnum=unidrnd(10,1,10000)+10；cdfplot(Randnum)；pauseRandnum=unidrnd(500,1,10000)+500；cdfplot(Randnum)cdfplot(x)第4页/共52页第5页/共52页解:由密度函数知 例2设总体X的密度函数为为未知参数其它 , 0,1)()(xexfXx其中 0, 生成 1行10000列的随机数. X具有均值为 的指数分布 Rand

4、num=exprnd(2,1,10000)+55, 2并画经验分布函数曲线。并画经验分布函数曲线。cdfplot(Randnum)第6页/共52页第7页/共52页二、其他各种分布的随机数的产生 基本方法有如下三种： 逆变换法 合成法 筛选法 第8页/共52页逆变换法 设随机变量 的分布函数为 ，定义 定理 设随机变量 服从 上的均匀分布，则 的分布函数为 。 因此，要产生来自 的随机数，只要先产生来自 的随机数，然后计算 即可。 其步骤为 X xF 10 ,:inf1yyxFxyFU) 1 , 0( UFX1 xF xF1 , 0U uF1 uFxuU11 , 0计算，抽取由第9页/共52页的

5、随机数生成,min21nXXXY00, 01);(xxexfx0为常数例例3 设密度函数为并画经验分布函数曲线。并画经验分布函数曲线。0, 00,1)(0, 00,1)(yyeyFxxexFnyYxX，第10页/共52页的随机数生成,min21nXXXY例例4 设X分布函数为F(X)1 (1 (,)(11)(11nXYnXYUFRandyFyF，0, 001,)(xxxxFXnnXYnYUUFRandyyF111)1 (1)1 (1 (11)(生成生成n=20的的1行行10000列随机数，并画经验分布列随机数，并画经验分布函数曲线。函数曲线。第11页/共52页n=20Randnum=1-(1-

6、unifrnd(0,1,1,10000).(1/n);cdfplot(Randnum)第12页/共52页的随机数生成X1n为常数例例5 设密度函数为并画经验分布函数曲线。并画经验分布函数曲线。1,.,00, 0,)(1nixxxxcxfiiiX，其它第13页/共52页合成法 合成法的应用最早见于Butlter 的书中。 构思如下： 如果 的密度函数 难于抽样，而 关于 的条件密度函数 以及 的密度函数 均易于抽样，则 的随机数可如下产生： 可以证明由此得到 的服从 。X xpXYyxpY ygX xyxpyygY抽取由条件分布，抽取的分布由X xp第14页/共52页筛选抽样 假设我们要从 抽样

7、，如果可以将 表示成 ，其中 是一个密度函数且易于抽样，而 ， 是常数，则 的抽样可如下进行： 定理 设 的密度函数 ，且 ，其中 ， ， 是一个密度函数。令 和 分别服从 和 ，则在 的条件 下， 的条件密度为 xp xgxhcxp xph 10 xg1cX 。，回到如果，停止，则如果，抽取，由抽取由1321 , 01yguyxyguyyhuUX xp xgxhcxph 10 xg1cUY1 , 0U yh YgU xpYgUxpYY第15页/共52页三、生成标准正态分布的随机数 的随机数产生方法很多。简要介绍三种。 法1、 变换法（Box 和Muller 1958） 设 ， 是独立同分布的

8、 变量，令 则 与 独立，均服从标准正态分布。 法2、 结合合成法与筛选法。（略） 法3 3、 近似方法（利用中心极限定理） 即用 个 变量产生一个 变量。 其中 是抽自 的随机数， 可近似为一 个 变量。1 , 0N1U2U1 , 0U2122112sinln22cosln22121UUXUUX1X2Xn1 , 0U1 , 0N2112unxiu1 , 0Uniiunu111 , 0N第16页/共52页例例6生成单位圆上均匀分布的生成单位圆上均匀分布的1行行10000列随机数，列随机数，并画经验分布函数曲线。并画经验分布函数曲线。Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000)

9、;xRandnum=cos(Randnum)Y,II =sort(xRandnum)yRandnum=sin(Randnum)plot(xRandnum(II),yRandnum(II),.)第17页/共52页第18页/共52页例例7生成单位正方形上均匀分布的生成单位正方形上均匀分布的1行行10000列列随机数，并画散点图。随机数，并画散点图。mm=10000;Randnum=unifrnd(0,4,1,mm);xRandnum=zeros(1,mm);yRandnum=zeros(1,mm);for ii=1:mm if Randnum(1,ii)=1 xRandnum(1,ii)=0; y

10、Randnum(1,ii)=Randnum(1,ii); else if Randnum(1,ii)=2 xRandnum(1,ii)=Randnum(1,ii)-1; yRandnum(1,ii)=1; else if Randnum(1,ii)=3 xRandnum(1,ii)=1; yRandnum(1,ii)=1-(Randnum(1,ii)-2); else xRandnum(1,ii)=1-(Randnum(1,ii)-3); yRandnum(1,ii)=0; end end end end Y,JJ =sort(xRandnum);plot(xRandnum(JJ),yRand

11、num(JJ),.)第19页/共52页第20页/共52页离散型随机变量的生成离散型随机变量的生成离散型随机变量X,它的取值是非光滑连续的值，它只能间断地即离散地取值x1,x2,x3，xn，且规定x1x2x3xn。其概率密度函数为 p(xi)=pX= xi概率分布函数为xixiixpxXpXF)()(例例1010 对某车间每天需求某种零件的数量历史数据中统计获得表1的结果。生成1行1000列零件需求的随机数。并画经验分布函数曲线。并画经验分布函数曲线。 表1 某零件每天需求量 X第21页/共52页需求量x(件)概率P(x)累积概率F(x)可分配的随机数范围X1=10 0.10 F(X1)=0.1

12、0（ .00 - .10X2=20 0.20 F(X2)=0.30（ .10 - .30X3=30 0.40 F(X3)=0.70（ .30 - .70X4=40 0.25 F(X4)=0.95 （ .70 - .95X5=50 0.05 F(X5)=1.00（ .95 1)随机变量生成的算法为产生一个u(0，1)，并令i=0；令i=i+1；若uF(xi)，转回到第步，否则转至；输出得 Xxi。第22页/共52页mm=10000;Randnum=unifrnd(0,1,1,mm);xRandnum=zeros(1,mm);for ii=1:mm if Randnum(1,ii)=0.1 xRa

13、ndnum(1,ii)=10; else if Randnum(1,ii)=0.3 xRandnum(1,ii)=20; else if Randnum(1,ii)=0.7 xRandnum(1,ii)=30; else if Randnum(1,ii)=0.95 xRandnum(1,ii)=40; else xRandnum(1,ii)=50; end end end end end cdfplot(xRandnum)第23页/共52页第24页/共52页 三角分布(a,m,b)的随机变量其密度函数为 bx 1 a)-a)(b-a)/(m-2(x 0)(时当时当时或当mmxabxxaxf b

14、x 1bx )(/()(1 a)-a)(b-/(ma)-(x 0)(22时当时当时当时当mabmbxbmxaaxxF其分布函数为 第25页/共52页均值为(a+m+b+b)3; 方差为(a2 + b2 2 + m2 ab am - bm)18。 令 u=F(x)，可解得 )1ua)-a)/(b-(m( )()()/()(0 ( )(时当时当mbamuabmabamuuabamax第26页/共52页 在用Monte Carlo等方法解应用问题时,随机向量的抽样也是经常用到的. 若随机向量各分量相互独立,则它等价于多个一元随机变量的抽样。随机向量的抽样方法第27页/共52页例例8生成单位正方形内均

15、匀分布的生成单位正方形内均匀分布的1行行10000列随机列随机数，并画散点图。数，并画散点图。mm=10000 xRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);yRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);plot(xRandnum,yRandnum,.)第28页/共52页第29页/共52页第30页/共52页mm=100000 xRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);yRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);Y,JJ =sort(xRandnum)plot(xRandnum(JJ),yRandnum(JJ),.)第31页/共52页例例9生成单位圆内均匀分

16、布的生成单位圆内均匀分布的1行行10000列随机数，列随机数，并画散点图。画散点图。mm=10000；Randnum1=unifrnd(-1,1,1,2*mm);Randnum2=unifrnd(-1,1,1,2*mm);xRandnum=zeros(1,mm);yRandnum=zeros(1,mm);s=Randnum1.2+Randnum2.2；ii=1;jj=1;while iimm if s(1,jj)=1; xRandnum(1,ii)=Randnum1(1,jj); yRandnum(1,ii)=Randnum2(1,jj); ii=ii+1; end jj=jj+1;endpl

17、ot(xRandnum,yRandnum,.)第32页/共52页第33页/共52页关于随机数的几点注 注1 1 由于均匀分布的随机数的产生总是采用某个确定的模型进行的，从理论上讲，总会有周期现象出现的。初值确定后，所有随机数也随之确定，并不满足真正随机数的要求。因此通常把由数学方法产生的随机数成为伪随机数。 注2 2 应对所产生的伪随机数作各种统计检验，如独立性检验，分布检验，功率谱检验等等。 但其周期又相当长，在实际应用中几乎不可能出现。因此，这种由计算机产生的伪随机数可以当作真正的随机数来处理。第34页/共52页2.设设密度函数为密度函数为1.1.生成单位球内均匀分布的生成单位球内均匀分布

18、的1 1行行1000010000列随机数，列随机数，并画散点图。并画散点图。作业:00, 01);(xxexfx0为常数的随机数生成,max21nXXXY并画经验分布函数曲线。并画经验分布函数曲线。第35页/共52页3.3.生成三角分布生成三角分布(0,1,2)(0,1,2)的的1 1行行1000010000列随机数，并列随机数，并画散点图。画散点图。作业:并画经验分布函数曲线。并画经验分布函数曲线。第36页/共52页 5.2随机数与随机变量的生成随机数与随机变量的生成 5.2.1随机数的生成随机数的生成 在系统模拟中只要有随机变量，则在模拟运行的每一步中都要对随机变量确定一个具体的值。我们将

19、会遇到各种概率分布的随机变量，但其中最简单或最基本的随机变量是在(0， 1)区间上均匀分布的随机变量。服从某一分布的随机变量都可以通过对(0， 1)均匀分布的随机变量进行适当转换而得到。(0， 1)均匀分布的随机变量的取值也是在(0，1)区间上均匀分布的随机数ui序列(流)的独立采样，其密度函数是(5.1) 010 1)(其它时当xxf(5.2) 1 x 1 10 )(0)(时当时当xxdxxfxxFui的数学期望和方差分别为(5.3) 21022)(0)(2xdxxfxuE(5.4) 121)()(0)(2xEdxxfxxV第37页/共52页 因此，若能获得(0，1)均匀分布的随机数，也就能

20、通过对其适当的转换而获得某一规定分布的随机变量的取值，这就是随机变量的生成。为此，首先要掌握(0，1)区间上均匀分布随机数的生成方法。 均匀分布随机数必须具备均匀性和独立性的要求；要生成符合上述要求的随机数流，现在多用数学算法来产生，一般是采用递推算法，确定一个初始值(种子数)以后，逐次递推算得随机数流。数学算法获得的随机数、常称之为伪随机数(Pseudo Random Number)序列。 数学方法计算产生的随机数流必须满足下列要求： (1)尽可能在(0，1)区间均匀分布； (2)具有统计上的独立性； (3)产生的随机数流能够重复出现，即给以相同的初值(种子数)能获得相同的随机数流； (4)

21、有足够长的周期，即在出现周期性重复之前，能生成足够多个的随机数； (5)算法占用计算机内存较少而计算生成速度较快。 目前广泛应用的算法是线性同余法( Linear congruential Method)，其中又分为： 1混合线性同余法。它是由Lehmer于1951年提出的，其算式为第38页/共52页xi+1=(axi+c) mod m ui+1=xi+1/m式中 a乘数(常数)； C增量(常数)； x0种子数； m模数。 a,c,m和x0的选取对随机数流的统计特性和周期长度有极大影响。 上述第一式的含义是(5.6) m )(1mcaxcaxxiii式中表示取整数， a，c，m皆为整常数。 2

22、、 乘法线性同余法。若混合线性同余法中c=0，则为乘法线性同余法，其算式为 x i+1=ax imod m u i+1=xi+1/m (5.7)第39页/共52页可参考选用的数据有：（1） a=16807, m=2147483647, x0=123457;（2） a=655393, m=33554432。 5.2.2随机数流的检验随机数流的检验 一、均匀分布性检验一、均匀分布性检验 1参数检验。检验ui的数字特征，如均值、方差的估计值和其理论值的差异是否显著。 设有u1, u2,，un随机数流，则它们的 (5.8) 1 1niiunu均值(5.9) )(11 22uuni方差若 ui序列在(0

23、，1)上均匀分布，可假设：u的期望和方差分别为 (5.10) 121)( 21)(nuVuE第40页/共52页2的期望和方差分别为则上列假设(810)与(811)应该成立。据此，可对n个ui计算下列统计量若取显著性水平a=005， (5.11) 1801) ( 121)(22nVE(5.12) )21(12)()(1unuVuEuV(5.13) )21 (180) () ( 22222nVEV 当|V1|196时。则可认为假设(810)式成立； 当|V2|196时，则可认为假设(811)式成立。因而可以接受此假设，检验通过;否则拒绝接受。 2均匀性检验。它是检验所生成的随机数落在(0， 1)各

24、子区间的频率的均匀程度，是否与理论上的均匀分布频率有显著性差异。此处介绍常用方法之一，x2检验方法如下： 将(0，1)区间划分为相等的k个子区间，假如落在第i个( il，2，3，k)子区间的随机数有ni个；而在理论上第i个子区间的随机数个数为mi = Nk，其中 N为随机数流总个数(拟检验的)。由此，可计算 x2统计量第41页/共52页(5.14) )()(21122KiiKiiiiKNnNKmmnx再按k-1为自由度、显著性水平取005，查得2(a)表值。当算得统计量x22(a)时，可认为在显著性水平a下能接受为均匀分布假设。 二、独立性检验二、独立性检验独立性检验是检验随机数流中前后各数之

25、间是否存在相关性。常用的方法是进行自相关检验。此外，还有Poker Test和Run检验，一般应用较少。 5.2.3随机变量的生成随机变量的生成 一、离散型随机变量的生成一、离散型随机变量的生成离散型随机变量 X,它的取值是非光滑连续的值，它只能间断地即离散地取值x1,x2,x3，xn，且规定x1x2x30.0025 1 0.172 0.076 P0.0025 2 0.423 0.032 P0.0025 3 0.819 0.026 P0.0025 4 0.255 0.0066 P0.0025 5 0.749 0.0049 P0.0025 6 0.225 0.0011 P0.0025,置 X=6 3近似计算法近似计算法。正态分布随机变量也是一种常见的随机变量