高二上期末复习2必修五数列1

1、期末综合复习期末综合复习-必修五数列必修五数列知识结构知识结构数列数列数数列列的的应应用用数列求和数列求和等比数列等比数列前前n项和公式项和公式性质性质定义定义等差数列等差数列通项公式通项公式递推公式递推公式数列的概念数列的概念通项公式通项公式前前n项和公式项和公式性质性质定义定义通项公式通项公式知识归纳知识归纳1.数列的概念数列的概念:(1)按一定次序排成的列数称为按一定次序排成的列数称为数列数列(2)表示方法主要有：表示方法主要有：通项公式通项公式法，法，递推公式递推公式法，前法，前n项和法项和法,和和图像图像法等法等(图像是自变量取正整数的一些孤立的点图像是自变量取正整数的一些孤立的点)

2、2.等差数列等差数列:(1)定义：定义：an+1-an=常数常数(2)通项公式：通项公式：an=a1+(n-1)d 推广：推广： an=am+(n-m)d (3)前前n项和公式项和公式:(4)性质：若性质：若m+n=p+q,则则am+an=ap+aq若数列若数列an是等差数列，则是等差数列，则 也是等差数列也是等差数列 等差数列等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列11()(1)22nnn aan nsnad 23243,kkkkkkksssssss3.等比数列等比数列:(1)定义：定义：an+1/an=常数常数(2)通项公式：通项公式：an=

3、a1qn-1 推广：推广： an=amqn-m(3)前前n项和公式项和公式:(4)性质：若性质：若m+n=p+q,则则aman=apaq若数列若数列an是等比数列，则是等比数列，则 也是等比数列也是等比数列 等比数列等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列4. 数列求和数列求和:常用求和方法常用求和方法:裂项求和裂项求和、分组求和分组求和、错位相减错位相减、倒序相加倒序相加23243,kkkkkkksssssss11(1)(1)1(1)nnaqqsqna q 例例1 根据数列的前几项根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项写出下列数列的一个通项公

4、式：公式：1 3 7 15 31(1),2 4 8 16 32(2)3,33,333,3333,1537,2 11 7 17, 3 3(3)(3) 5 511111111(4)-(4)- 1 2 2 33 4 4 51 2 2 33 4 4 5求通项求通项21(1)21(2)(101)32(3)32( 1)(4)(1)nnnnnnnnaananan n 12126751120041,(1)2,5,_;( 1)4(2)1(2),_;711(3),1(2),_.2nnnnnnnnnaaaaaaaanaaaaanaa 例例2 在2 在数数列列中中且且则则且且则则则则5223 1151122111(1

5、),( 1)2(2),;3(2)1,;1(3),1,0,_.nnnnnnnnnnnnnaaaana anaaaanaaanaaa 例例3 在3 在数数列列中中已已知知求求求求此此数数列列的的通通项项公公式式已已知知数数列列满满足足且且则则累差法或累积法求解累差法或累积法求解152162(1),331(2)2(3)2nnnaaannn 例例4 (1)设数列设数列 前前n项的和项的和 na2231,nsnn求求 的通项公式的通项公式. na设设 数列数列 的前的前 项和，项和， nanns即即 1112nnnsnassn123nnsaaaa则则6,141,2nnann 为为首首项项的的等等比比数数

6、列列以以为为公公比比是是以以2,32)2(3)2(11 aaaannn24223311 tttaatatannnn，解解得得令令得得：）（设设：233321 nnnnaa得：得： 11134 (2)nnnnaaaannna (2)在(2)在中中，求求换元法换元法性质的应用性质的应用已知等差数列中的任意两项，可以求已知等差数列中的任意两项，可以求出其他的元素这里应用的是方程组的思出其他的元素这里应用的是方程组的思想想_;,20, 8)3(_,33,39)2(_;,30,50)1(,756015963852741753 aaaaaaaaaaaaaaaan则则若若则则若若则则若若中中在等差数列在等差

7、数列例5102724例例6 在等比数列在等比数列 中，中， na（1）若）若 则则485,6,aa210aa（2）若）若 则则5102,10,aa15a（4）若）若 则则1234324,36,aaaa56aa6a （3）已知）已知 求求3458,aaa23456aaaaa305032430例例7 已知数列已知数列an为等比数列为等比数列,a2=50,a5=6.25,设设 bn=log2an.(1)求证求证:数列数列bn为等差数列为等差数列;(2)求数列求数列bn的前的前n项和项和;(3)求数列求数列bn中的最大值中的最大值.解解数列数列bn为公差是为公差是-1的等差数列的等差数列3521221

8、1(1)21loglog12nnnnaa qqabba (2)bn为等差数列为等差数列22222222222loglog 6.252log 522log 52(2)( 1)2log 5(2log 512log 5)11(4log 51)222nnbabnnnnsnn (3)bn为递减的等差数列为递减的等差数列n=1时时, bn取得最大值取得最大值,最大值为最大值为log25nnsdaaaaaassn1421300211141154113 ，解解得得，由由，得得解解法法一一：由由nnsbabababasssabnansannn14141111213913132113112 ，解得解得，代入得，代

9、入得，由由设设是等差数列，是等差数列，解法二：解法二：数列的求和数列的求和例例8 等差数列等差数列an中中,a1=13,s3=s11,求求sn2222324(2 )1 33 5(21)(21)(2)11212312123(3)2222nnnnsnnsnn 例例9 求9 求(1)(1)1111:(1)11(21)(21)22121nannnn解解12)1(21211211211217151513131121 nnnnnnnnsn2222211212312(1)112()221(1)(24)(123)123212nnsnn nnnnn nnsnn (2)（(2)（）（）（）（）2323123111

10、123222211212222211111(1)222222111112221222212nnnnnnnnnnnnnnnsnnsnsnnss ( (3 3) )23123( )()nnf xa xa xa xa xnn12,na aa2(1)fn na1( )3f解解(1)f(1)=a1+a2+a3+an=n2 an=n2-(n-1)2=2n-1232312311111111(2) ( )13 ( )5 ( )(21) ( )33333111111( )1 ( )3 ( )(23) ( )(21) ( )3333332111111( )12 ( )2 ( )2 ( )(21) ( )33333

11、33212( )3311( )13( )133nnnnnnnfnfnnfnnfn 数列的应用数列的应用例例1 购买一件售价为购买一件售价为5000元的商品元的商品,采用分期付款的采用分期付款的办法办法,每期付款数相同每期付款数相同,购买后购买后1个月付款一次个月付款一次,过过1个个月再付款一次月再付款一次,如此下去如此下去,到第到第12次付款后全部付清次付款后全部付清.如果月利率为如果月利率为0.8%,每月利息按复利计算每月利息按复利计算(上月利息上月利息计入下月本金计入下月本金),那么每期应付款多少元那么每期应付款多少元?(精确到精确到1元元)解解:设每期应付款设每期应付款x元元,则则第一期

12、与到最后一期付款所生利息之和为第一期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008)11元元;第二期与到最后一期付款所生利息之和为第二期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008)10元元; 第十一期与到最后一期付款所生利息之和为第十一期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008) 元元;第十二期付款已没有利息问题第十二期付款已没有利息问题,即为即为x元元.所以各期付款连同利息之和为所以各期付款连同利息之和为又所购商品的售价及其利息之和为又所购商品的售价及其利息之和为50001.00812于是有于是有答答:每期应付款约每期应付款约439元元.122111.0081(11.0081

13、.0081.008 )1.0081xx 12121.00815000 1.008 ,439()1.0081xx 元元小结小结1.等差数列的基本公式在数列中占用重要的地位等差数列的基本公式在数列中占用重要的地位,应应用要从公式的正向用要从公式的正向、逆向逆向、变式等多角度去思考变式等多角度去思考.2.等比数列的前等比数列的前n项和公式要分两种情况项和公式要分两种情况,公比等于公比等于1和公比不等于和公比不等于1,而公比等于而公比等于1的情况最容易忽略的情况最容易忽略.3.等差数列和等比数列中等差数列和等比数列中,经常要根据条件列方程经常要根据条件列方程(组组)求解求解,注意用方程的思想注意用方程的思想