第六章空间力系

1、第六章第六章 空间力系空间力系郑州大学化工学院郑州大学化工学院过程装备与控制工程系过程装备与控制工程系 空间汇交力系空间汇交力系 空间力偶系空间力偶系 力对点的矩与力对轴的矩的关系力对点的矩与力对轴的矩的关系 空间一般力系向一点的简化空间一般力系向一点的简化 空间一般力系简化结果的分析空间一般力系简化结果的分析 空间一般力系的平衡条件和平衡方程空间一般力系的平衡条件和平衡方程 平面力系平面力系力系力系 空间力系空间力系各力的作用线不在同一平面内的力系，各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。称为空间力系。空间汇交力系空间汇交力系空间汇交力系的概念空间汇交力系的概念v各力的作用线汇交于一

2、点的空间力系，称为各力的作用线汇交于一点的空间力系，称为空间空间汇交力系汇交力系。v空间汇交力系合成的空间汇交力系合成的结果是一个合力结果是一个合力，合力的作，合力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系中力系中各力的矢量和各力的矢量和。inrfffff.21v空间汇交力系的合力投影定理空间汇交力系的合力投影定理：空间汇交力系的空间汇交力系的合力，在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投合力，在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。影的代数和。rxixxfffryiyyfffrzizzfff合力的大小合力的大小222()()()rxyzf

3、fff（4141）cos(, )xrrffif方向余弦方向余弦ryrffjf),cos(rzrffkf),cos(空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系的平衡条件v空间汇交力系平衡的空间汇交力系平衡的充分必要条件充分必要条件是：该力系的是：该力系的合力等于零，即合力等于零，即v投影到各坐标轴，得投影到各坐标轴，得v亦即：亦即：空间汇交力系平衡的充要的解析条件是空间汇交力系平衡的充要的解析条件是，力系的各力在各坐标轴上的投影的代数和均为零。力系的各力在各坐标轴上的投影的代数和均为零。0ffr0 xf 0yf 0zf 以上三式称为空间汇交力系的平衡方程。以上三式称为空间汇交力系的平衡方程。已知：已知：

4、nf、求：力求：力 在三个坐标轴上的投影。在三个坐标轴上的投影。nfsinnzffcosnxyffsincossinnxyxfffcoscoscosnxyyfff例题例题6-1空间力偶系空间力偶系v力偶可以移动到与其作用面平行的任一平面内，力偶可以移动到与其作用面平行的任一平面内，而不改变它对物体的效应；而不改变它对物体的效应；v空间力偶的等效条件空间力偶的等效条件：两个平行平面内的两力偶，：两个平行平面内的两力偶，如果其力偶矩的大小相等，力偶的转动方向相同，如果其力偶矩的大小相等，力偶的转动方向相同，则两个力偶等效；则两个力偶等效；该力偶矩的大小力偶矩的大小力偶作用面的方位力偶作用面的方位力

5、偶的转向力偶的转向力偶矩的矢量表示力偶矩的矢量表示力偶矩的大小：矢量的模力偶矩的大小：矢量的模力偶的转向：右手螺旋规则力偶的转向：右手螺旋规则力偶的方位：力偶作用面的法线力偶的方位：力偶作用面的法线只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。用效果不变。211fff332fff=力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。定位矢量定位矢量力偶矩矢相等的力偶等效；力偶矩矢相等的力偶等效；力偶矩矢是自由矢量；力偶矩矢是自由矢量；自由矢量

6、（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量滑移矢量空间力偶系的合成与平衡空间力偶系的合成与平衡=空间力偶系可以合成一个合力偶空间力偶系可以合成一个合力偶, ,合力偶矩矢等于合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。各分力偶矩矢的矢量和。imm,xixyiyzizmmmmmm222()()()xixiyizmmmm合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦称为称为空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程。有有0m 空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 mmixcosmmiycosmmizcos0ixm0

7、iym0izm 图示的三角柱刚体是正方体的图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（一个力偶。已知力偶（f1 ，f 1）的矩的矩m1=20 nm；力偶（力偶（f2， f 2 ）的矩的矩m2=20 nm；力偶（力偶（f3 ，f 3）的矩的矩m3=20 nm。求合力偶矩矢。求合力偶矩矢m。又问使这个刚体平衡，还需要施加又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。怎样一个力偶。f1f2f31f3f2f例题例题6-40321xxxxmmmmmn 2 .11321yyyymmmmmn 2 .41321zzzzmmmm1.画出各力偶矩矢。画出

8、各力偶矩矢。2.合力偶矩矢合力偶矩矢m 的投影。的投影。解：解：m1m2m3f1f2f31f3f2f3.合力偶矩矢合力偶矩矢m 的大小和方向。的大小和方向。mn 7 .42222zyxmmmm90, , 0,cosimimmmx8 .74, , 262. 0,cos jmjmmmy2 .15, , 965. 0,coskmkmmmz4. 为使这个刚体平衡，为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为需加一力偶，其力偶矩矢为 m4= m 。力对点的矩与力对轴的矩的关系力对点的矩与力对轴的矩的关系力对点的矩的矢量表示力对点的矩的矢量表示v对于平面力系对于平面力系，力对该平面内一点的矩有大小和，力对该

9、平面内一点的矩有大小和转向两个要素，所以转向两个要素，所以可用代数量表示可用代数量表示；v对于空间力系对于空间力系，不仅要考虑力矩的大小、转向，不仅要考虑力矩的大小、转向，还要注意力与矩心所组成的平面的方位还要注意力与矩心所组成的平面的方位。方位不。方位不同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。该力矩的大小力矩的大小力矩作用面的方位力矩作用面的方位力矩的转向力矩的转向这三个要素可以用一个矢量来表示这三个要素可以用一个矢量来表示: v矢量的模矢量的模等于力的大小与矩心到力作用线的垂直等于力的大小与矩心到力作用线的垂直距离距离 h(力臂力臂)的乘积的乘积

10、; v矢量的方位矢量的方位和该力与矩心组成的和该力与矩心组成的平面的法线的方位相同平面的法线的方位相同; v矢量的指向矢量的指向可由右手螺旋规则来可由右手螺旋规则来确定。确定。 力力 对点对点 o的矩以矢量表示，则的矩以矢量表示，则 力对点的矩的矢积表达式，即力对点的矩的矢积表达式，即 : :力对点的矩矢等于力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。 由于力矩矢量的大小和方向都与矩由于力矩矢量的大小和方向都与矩心心 o的位置有关，故力矩矢的始端必须的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心，不可任意挪动，这种矢量称为在矩心，不可任意挪动，这种矢量称为

11、定位矢量定位矢量。 力对轴的矩力对轴的矩空间空间力对轴的矩力对轴的矩是个代是个代数量数量, ,它等于这个力在它等于这个力在垂直于该轴的平面内的垂直于该轴的平面内的投影对于这平面与该轴投影对于这平面与该轴交点的矩。交点的矩。xyzofababxyfd( )()zoxyxym fm ff hcosxyff已知：已知：, alf求：求：fmfmfmzyx,cosalffmxcosflfmysinlffmz解：解：把力把力 分解如图分解如图f例题例题6-5力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系即：即：)(cos)(fmfmzo)()(fmfmzzo面积由于aobf

12、mo2)(2)()(boafmfmxyzz通过通过o点作任一轴点作任一轴z，则：，则：cosboaoab由几何关系：由几何关系：2cos2boaoab所以：所以：力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力对该轴的矩。)()(fmfmzzo力对点的矩矢与对通过该点的某轴的矩，有不力对点的矩矢与对通过该点的某轴的矩，有不同又有联系。同又有联系。 空间一般力系向一点的简化空间一般力系向一点的简化 平面力系平面力系力系力系 空间力系空间力系各力的作用线任意分布的空间力系，称为各力的作用线任意分布的空间力系，称为空间一般力系。空间一般力系。主矢和主矩

13、主矢和主矩一空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系。一空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系。riixiyixfff if jf k 称为空间力偶系的称为空间力偶系的主矩。主矩。()oioimmmf称为力系的称为力系的主矢。主矢。2 2、空间力偶系的合力偶矩、空间力偶系的合力偶矩1 1、空间汇交力系的合力、空间汇交力系的合力有效推进力有效推进力rxf飞机向前飞行飞机向前飞行ryf有效升力有效升力飞机上升飞机上升rzf侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移oxm滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转oym偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯ozm俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头空间一般

14、力系简化结果的分析空间一般力系简化结果的分析主矢和主矩均等于零主矢和主矩均等于零 0,0orm 此时力系处于平衡状态此时力系处于平衡状态主矢等于零而主矩不等于零主矢等于零而主矩不等于零 0,0orm 此时力系等效于一个合力偶的作用此时力系等效于一个合力偶的作用主矢不等于零而主矩等于零主矢不等于零而主矩等于零 0,0orm 此时力系等效于一个合力的作用此时力系等效于一个合力的作用主矢不等于零主矢不等于零,主矩也不等于零主矩也不等于零 0,0orm 此时力系可以进一步简化此时力系可以进一步简化0,0orm 此时力系可以进一步简化。此时力系可以进一步简化。orm 这种情况原力系既不能合成一个合这种情

15、况原力系既不能合成一个合力又不能合成一个力偶，这样的特力又不能合成一个力偶，这样的特殊力系称为殊力系称为力螺旋力螺旋。omrormdf最后结果为一合力。合最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为力作用线距简化中心为orm将主矩沿着互相垂直的方向分解，最终可合成为一个将主矩沿着互相垂直的方向分解，最终可合成为一个力螺旋，力螺旋中心轴距简化中心的距离为力螺旋，力螺旋中心轴距简化中心的距离为sinormdf空间一般力系的合力矩定理空间一般力系的合力矩定理v空间一般力系的空间一般力系的合力对某点的矩合力对某点的矩，等于力系中，等于力系中各分力对同一点的矩的矢量和。各分力对同一点的矩的矢量和。v空间一般力系的空间一般力系的合力对于任一轴的矩合力对于任一轴的矩，等于力，等于力系中各分力对同一轴的矩的代数和。系中各分力对同一轴的矩的代数和。()( )ororomdfmfmf)()(izrzfmfm空间一般力系的平衡条件和平衡方程空间一般力系的平衡条件和平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。主矩分别为零。1、空间任意力系的平衡方程、空间任意力系的平衡方程（各力在各轴的投影的代数和为零；（各力在各轴的投影的代数和为零； 各力对各轴的矩的代数和为零）各力对各轴的矩的代数和为零）00