第五节最大值与最小值,极值的应用问题

1、11/20/2021 5:39 am00lim( )()xxf xf x 微积分讲义微积分讲义设计制作设计制作王新心王新心11/20/2021 5:39 am4.5最大值与最小值，最大值与最小值，（一）最大值与最小值（一）最大值与最小值（二）（二）极值应用问题举例极值应用问题举例极值的应用问题极值的应用问题11/20/2021 5:39 am（一）最大值与最小值（一）最大值与最小值第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用函数在闭区间上连续，( )f x , a b该区间上必取得最大值与最小值。则函数在函数的最大（小）值与函数的极大（小）值是不同的概念。是区间上的最大（小）值，0(

2、)f x , a b是指是区间上所有函数值中最大（小）者0()f x , a b , a b而是区间上的极大（小）值，0()f x是指11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用者。 , a b可见最大（小）值是区间上的全局中的所有函数值中的最大（小）概念， 是包含在内的一个的邻域0()f x( , )a b0 x00(,)xx个邻域的局部概念。而极大（小）值则是区间内的一( , )a b0 x11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用大值与最小值的步骤：（1）求出函数的全部驻点和不可导的点；（2）计

3、算这些点的函数值及区间端点的（3）比较它们的大小，函数值；( ),( )f af b一般而言，其中最大（小）者 , a b即区间上的最大（小）值。求连续函数在区间上的最 , a b11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用内可导，而无极小值，则此极大值即最大值。特别的，若在上连续， , a b( )f x( , )a b在若在内有且仅有一个极大值( )f x( , )a b而无极大值，则此极小值即最小值。若在内有且仅有一个极小值，( )f x( , )a b11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用

4、233( )2f xxx例例1求在区间上的27 1,8 最大值与最小值。527( 1),()028ff 解解在4.4例2中已求出在驻点( )f x1x 处取到极小值，1(1)2f 在导数不存在的点0 x 处取得极大值。(0)0f 计算区间端点处的函数值11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用5127( 1),(0)0 ,(1),()0228ffff 比较这些值的大小：得在上处取得最小值27 1,8 1x ( )f x5( 1)2f 在及处取得最大值0 x 278x 27(0)0 ,()08ff11/20/2021 5:39 ama（二）（二）极

5、值应用问题举例极值应用问题举例 第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用四角各截去一个大小相同的小正方形， 然后将四边折起做成一个无盖方盒， 问截掉的小正方形边长为多大时， 所得方盒的容积最大？2(2 )vx ax例例2将边长为的一块正方形铁皮，ax2ax 方盒的容积为(0,)2ax 解解设小正方形的边长为，x11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用求得2(2 )(6 )vax ax 令0v 得12,62aaxx因为只有点在区间内，(0,)2a16ax 所以只需对进行检验。1x当时，(0,)6ax 0;v 当时，(,)6 2a a

6、x 0v 也是最大值所以函数在点处取得极大值，v6ax 即当截去的小正方形的边长等于所给正方形铁16皮边长的时， 所做成的方盒容积最大。11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用例例3要做一个容积为的圆柱形罐头筒，v怎样设计才能使所用材料最省？hr解解显然要材料最省，就是要罐头筒的总表面积最小。 设罐头筒的222srrh底面半径为，高为，rh总表面积为由体积公式有2,vhr 所以222vsrr (0,)r11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用得此时高为2vhr 也是最小值224vsrr 322(

7、2)rvr 令0s 32vr 3440vsr 又因此在点处为极小值，s32vr 23()2vv 3222vr 即当罐头筒的高和底直径相等时，用料最省。11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用例例4在1.5的例2中， 曾求得一年中库存费与生产准备费的和与每批产量的函数( )p xx关系为( )(0, )2abcp xxxaxb其中为年产量，为每批次的生产准备费，a为每台产品的库存费，c问在不考虑生产能力的条件下，每批生产多少台时，( )p x最小？11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用解解因为2

8、( )2abcp xx ( )p x取得极小值，也是最小值。（舍去）即要使库存费与生令( )0p x 有220cxab所以2abxc 2(0, )abxac 又因32( )0abpxx 因此当时2abxc 产准备费之和最小的最优批量应为。2abc11/20/2021 5:39 am内容小结内容小结连续函数的最值连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找作业作业p196 20-31第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用应用题可根据问题的实际意义判别 11/20/2021 5:39 am备用题备用题第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用1.设函数( )(1) ,nf

9、 xnxxnn，试求在上的最大值和( )f xlim( )nm n0,1( )m n( )fx 解解1(1)(1)nnnxnx nx 1(1)1(1) nnxnx ( )0fx 令(0,1)得内唯一的驻点11xn 22( )(1)(1)2 nfxnxnxn 11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用1e 11( )()()11nnm nfnn 11lim( )lim(1)1nnnm nn 最大值为131()1(1)nnnfnn 0 也是最大值点。故是极大值点，11xn 11/20/2021 5:39 am第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用( ),t a1,a 2.设(,) 在内的驻点为( )tf taat并求最小值。问为何值时，最小？a( )t a解解先求的驻点，( )f t令