第四章换元积分法57485

1、换元积分法换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。换元积分法和分部积分法。 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的的方法。利用中间变量的代换，得到复

2、合函数的积分法积分法换元积分法。通常根据换元的先后，换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。把换元法分成第一类换元和第二类换元。问题问题 xdx2cos,2sincx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21ct sin21.2sin21cx 一、第一类换元法一、第一类换元法xcx2cos2sin21 设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的

3、关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1将上述作法总结成定理，使之合法化，可得将上述作法总结成定理，使之合法化，可得换元法积分公式换元法积分公式注注定理说明：若已知定理说明：若已知 cufduuf)()(则则cxfdxxxf )()()( 因此该定理的意义就在于把因此该定理的意义就在于把 cufduuf)()(中的中的u换成另一个换成另一个x的可微函数的可微函数)(x 后，式子仍成立后，式子仍成立又称为积分的形式不变性又称为积分的形式不变性这样一来，可使基本积分表中的积

4、分公式这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。的适用范围变得更加广泛。dx由定理可见，虽然由定理可见，虽然 dxxxf)()( 是一整体记号，但可把是一整体记号，但可把视为自变量微分视为自变量微分)()(xddxx 凑微分凑微分凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化表达式进行变形，主要考虑如何变化dxxf)(凑微分法的基本思路：凑微分法的基本思路： 与基本积分公式相比较，将不同的部分与基本积分公式相比较，将不同的部分中间变量中间变量和和积分变量积分变量变成相同变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；

5、回代原变量步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2cx 例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121cu ln21.)23ln(21cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地例例3 3 求求.)l

6、n21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121cu ln21.)ln21ln(21cx 例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111cxcx .)1(21112cxx 例例5 )0(122adxxa解解 dxaxadxxa222111)(112axdax cax arcsin例例6 6 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1caxa 例例7dxxa 2

7、21解解dxxa 221dxxaxa )(1 dxxaxaa1121cxaxaa |ln|ln21cxaxaa |ln21注意：注意：分子拆项分子拆项是常用的技巧是常用的技巧例例8 8 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31cx 例例9 9 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(cexx 例例1010 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxd

8、exx .1cexx 例例1111 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133cxx 例例1212 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotcxx 或或dxxdxx 2cos21cos112cx 2tan例例1313 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin

9、42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1414 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosbababa ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21cxx 解解例例1515 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2

10、ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212cuu .21)(2cxxxf 例例1616 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlncx 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公熟记一些函数的微分公式，并善于

11、根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。微分因子。问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并

12、且并且0)( t ，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式 cxfdxxf)()(,)(cx )()()()(xtdtttfdxxf 说明说明)(xf为为)(xf的原函数的原函数,例例1919 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecctt )tanln(sectax22ax .ln22caaxax 2,2tcxax )ln(22例例2020 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttco

13、s2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232cxx 例例2121 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecctt )tanln(sectax22ax .ln22caaxax caxx )ln(22说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式

14、是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。掌握着取单调区间即可。说明说明(2)(2) 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.例例2222 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）解解21xt 令令, 122 tx,t

15、dtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224cttt 353251.1)348(151242cxxx 例例2323 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111ctt 11ln .11ln2cxex ,1ln2 tx.1tx 说明说明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换例例2424 求求dxxx )2(17解解令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417c

16、xx 说明说明(4)(4) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例2626 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116ctt arctan 6.arctan 666cxx 基基本本积积分分表表;coslntan)16( cxxdx;sinlncot)17( cxxdx;)tanln(secsec)18( cxxxdx;)cotln(csccsc)19( cxxxdx;arctan11)20(22caxadxxa ;ln211)22(22cxaxaadxxa ;arcsi