随机过程的谱分析PPT课件

1、3.1 随机过程的谱分析3.2 平稳随机过程功率谱密度的性质3.3 功率谱密度与自相关函数之间的 关系3.4 离散时间随机过程的功率谱密度3.5 联合平稳随机过程的互谱密度3.6 白噪声第1页/共52页本章要解决的问题本章要解决的问题 v随机信号是否也可以应用频域分析方法随机信号是否也可以应用频域分析方法? v傅里叶变换能否应用于随机信号？傅里叶变换能否应用于随机信号？ v相关函数与功率谱的关系相关函数与功率谱的关系 v功率谱的应用功率谱的应用 v采样定理采样定理 v白噪声的定义白噪声的定义 第2页/共52页3.1 随机过程的谱分析3.1.1 简单回顾3.1.2 随机过程的功率谱密度3.1.3

2、 功率谱密度与复频率面第3页/共52页3.1.1 3.1.1 简单回顾简单回顾1 付氏变换付氏变换设非随机信号设非随机信号x(t)是时间是时间t的非周期实函数，且的非周期实函数，且x(t) 满足满足 在在 范围内满足狄利赫利条件范围内满足狄利赫利条件 )(tx),( 绝对可积，即绝对可积，即 )(txdttx)(信号信号 的总能量有限，即的总能量有限，即 )(txdttx2)(有限个极值有限个极值有限个断点有限个断点断点为有限值断点为有限值 （3.1.1）（3.1.2）第4页/共52页则则 的傅里叶变换存在，即的傅里叶变换存在，即 )(txdtetxXtjX)()( 称为称为 的的反变换，即反

3、变换，即 deXtxtjX)(21)(称称 为为 的频谱密度，也简称为频谱。的频谱密度，也简称为频谱。)(XX包含：振幅谱 相位谱)(tx)(tx)(XX（3.1.3）（3.1.4）第5页/共52页2 帕塞瓦尔等式帕塞瓦尔等式dtdeXtxdttxtjX)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21dXdttxX22)(21)(即即能量谱密度能量谱密度（3.1.5）第6页/共52页)(tx 随机过程由于持续期为无限长，所以它的傅里叶变换不存在。但是，样本 的功率却是有限的，即有TTTdttxTQ2)(21lim3.1.2 随机过程的功率谱密度随机过程

4、的功率谱密度 因此，研究随机过程的功率谱是有意义的。（3.1.6）第7页/共52页截取函数截取函数 TtTttxtxT0)()(（3.1.7）图3.1 及其截取函数)(tx第8页/共52页当当T为有限值时，为有限值时， 的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在 )(txTdtetxTXtjTX)(),(TTtjdtetx)(（3.1.8）deTXtxtjXT),(21)(（3.1.9）第9页/共52页dTXdttxXTT22),(21)(也应满足帕赛瓦等式，即)(tx用2T除上式等号的两端，可以得到dTXTdttxTXTT22),(41)(21对上式两端取集合平均，可得dTXTEdttxTEXTT22

5、),(41)(21（3.1.10）（3.1.11）第10页/共52页令令 ，取极限，交换求数学期望和积分的次序，可得，取极限，交换求数学期望和积分的次序，可得 T dTTXEdttXETXTTTT2),(lim21)(21lim22 功率功率Q )( XS非负存在 dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2（3.1.12）（3.1.13）第11页/共52页两个结论：两个结论： )(2tXEAQ1 .21lim.TAT表示时间平均表示时间平均 若过程为广义平稳平稳若过程为广义平稳平稳)0()()(22XRtXEtXEAQ dSQX)(212式中式中（3.1.14）（3.1.15）第12

6、页/共52页注意：注意：（1）Q为确定性值，不是随机变为确定性值，不是随机变量量)( XS（2） 为确定性实函数。为确定性实函数。对于平稳随机过程，则有dStXEX)(21)(2（3.1.16）第13页/共52页功率谱密度：功率谱密度： 描述了随机过程描述了随机过程X(t)的的 功率在各个不同频率上的分布功率在各个不同频率上的分布 称为称为随机过程随机过程X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。 )( XS)( XS对对 在在X(t)的整个频率范围内积的整个频率范围内积分，便可得到分，便可得到X(t)的功率。的功率。 )( XS第14页/共52页例：设随机过程例：设随机过程 ，其中，其中 皆是实常

7、数，皆是实常数， 是服从是服从 上均匀分布的随上均匀分布的随机变量，求随机过程机变量，求随机过程 的平均功率。的平均功率。 )cos()(0tatX0和a），（20)(tX)(cos)(0222taEtXE)22cos(1 202taEdtaa)22cos(2220202220022)22sin(22taa解：解：taa0222sin2不是宽平稳的不是宽平稳的)(tX（3.1.17）第15页/共52页)(2tXEAQ2)2sin2(212022limadttaaTTTT（3.1.18）第16页/共52页 在系统分析的某些应用中，用复频率往往更为在系统分析的某些应用中，用复频率往往更为方便。一般

8、的方法是，用复变量方便。一般的方法是，用复变量 来代替原来的实变量来代替原来的实变量 。3.1.3 功率谱密度和复频率面功率谱密度和复频率面 第17页/共52页js0js js)(sSX)(XS9104)(242XS例：例：910)4()(242ssssSXjs)3)(3)(1)(1()2)(2(ssssss2-23-3-11j0；（3.1.19）（3.1.20）图图3.2 3.2 功率谱密度的零、极点图功率谱密度的零、极点图第18页/共52页3.2 平稳随机过程功率谱密度的性质平稳随机过程功率谱密度的性质 3.2.1 3.2.1 功率谱密度的性质功率谱密度的性质3.2.2 3.2.2 谱分解

9、定理谱分解定理第19页/共52页3.2.1 功率谱密度的性质功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负的功率谱密度为非负的,即即 0)(XS证明：证明：TTXESXTX2),(lim)(20),(2TXX0)(XS2. 功率谱密度是功率谱密度是 的实函数的实函数 （3.2.1）因为因为 是是 的实函数，故的实函数，故 亦必为亦必为 的实函数。的实函数。2),(TXX)(XS第20页/共52页3 对于实随机过程来说，功率谱密度是对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，的偶函数，即即)()(XXSS证明：证明：)( txT是是t的实函数时，其频谱满足的实函数时，其频谱满足*)(),(dtetxT

10、XtjTXdtetxtjT)(dtetxtjT)()(),(TXX),(),(),(*2TXTXTXXXX),(),(TXTXXX),(),(*TXTXXX2),(TXXTTXESXTX2),(lim)(2)()(XXSS又又（3.2.2）第21页/共52页4 功率谱密度可积，即功率谱密度可积，即 dSX)(证明：对于平稳随机过程，有：证明：对于平稳随机过程，有： dStXEX)(21)(2平稳随机过程的均方值有限平稳随机过程的均方值有限dSX)( 上式说明功率谱密度函数曲线下面的总面积上式说明功率谱密度函数曲线下面的总面积（即随机过程的全部功率）等于过程的均方值。（即随机过程的全部功率）等于

11、过程的均方值。（3.2.3）第22页/共52页3.2.2 谱分解定理谱分解定理 1. 谱分解谱分解 在平稳随机过程中有一大类过程，它在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为们的功率谱密度为 的有理函数。在实的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近用有理函数来逼近 。这时。这时 可可以表示为两个多项式之比，即以表示为两个多项式之比，即 )( XS)( XS第23页/共52页 其中其中M0， ，求过程的功率谱密度。，求过程的功率谱密度。 AeRX)(0 解：应将积

12、分按解：应将积分按 和和 分成两部分进行分成两部分进行 deAedeAeSjjX00)(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A第42页/共52页第43页/共52页例：设例：设 为随机相位随机过程为随机相位随机过程其中，其中， 为实常数为实常数 为随机相位，在为随机相位，在 均均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为过程，自相关函数为 求求 的功率谱密度的功率谱密度 。)(tX)cos()(0tAtX0,A)2 , 0()cos(2)(02ARX)(XS)(tX第44页/共52页解：注意此时解：注意此时 不是有限值，即不不是

13、有限值，即不可积，因此可积，因此 的付氏变换不存在，需要的付氏变换不存在，需要引入引入 函数。函数。 dRX )()( XRdeAdeRSiiXX)cos(2)()(02deeeAjjj22002)2)(cos(000jjeedeeeAjjj）（0042)()(2002A)(2(00je第45页/共52页 上式表示的功率集中在处，功率谱密度为上式表示的功率集中在处，功率谱密度为在处的函数。在处的函数。22A22AO00)(XS)(XS第46页/共52页)( XR由于实平稳过程x(t)的自相关函数 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。 （3.3.10）第47页/共52页第48页/共52页例：设随机过程例：设随机过程 ,其中其中 皆为皆为常数，常数， 为具有功率谱密度为具有功率谱密度 的平稳随机的平稳随机过程。求过程过程。求过程 的功率谱密度。的功率谱密度。 ttaXtY0sin)()(0,a)(tX)(XS)(tY解：解： )()(),(tYtYEttRY)(sin)(sin)(00ttaXttaXE)2cos()cos(20002ttRaXdettRASjYY),()(deRajX02cos)(2)()(4002XXSSa第49