高等代数中的反例分析

1、几何画板在数学中的指导作用The Guidance Function of the Geometers Sketchpad in Mathematics 姓 名： 熊 玲 玲 单 位：青山湖区湖坊镇李巷小学邮 编： 330029 IV几何画板在数学中的指导作用 熊 玲 玲【内容提要】相对于传统的数学教学，运用几何画板辅助教学，无论是教学模式或是教学效果，都具有很好的指导作用。本文通过对几何画板辅助教学优势的介绍，阐述几何画板在数学教学中的应用，同时也提出几何画板在数学教学中存在的问题及其解决方法，这样使得几何画板能够更好地发挥其指导作用。【关键词】几何画板 教学模式 指导作用the Guida

2、nce Function of the Geometers Sketchpad in Mathematics Xiong Lingling【informative abstract synopsis】 Compared with the traditional mathematics teaching, using the geometer's sketchpad auxiliary teaching，whether teaching mode or teaching effect, it has very good guidance function. In this paper，t

3、he author discusses the geometer's sketchpad auxiliary teaching advantages，and also introduces the geometer's sketchpad application of mathematics teaching. In this paper，the author suggests the problems of the geometer's sketchpad mathematics teaching and how to solved them. At last, th

4、e author hopes the geometer's sketchpad can exert its guiding function.【Key words】the geometer's sketchpad teaching mode guidance function目录1 引言12 几何画板的产生背景13 几何画板教学与传统教学的区别2 3.1 现代数学课堂教育的情况2 3.2几何画板教学在数学课堂教学的情况34 几何画板与现代数学课堂教学相结合45 几何画板教学的优势55.1几何画板方便灵活性55.2 运用几何画板解决常见数学问题76 几何画板教学在数学教学的问题及

5、解决方法87结束语10参考文献 111 引言 教育软件几何画板以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作数学课件的主要创作平台之一。几何画板它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画和跟踪轨迹等方式，能显示或构造出较为复杂的图形。正是因为几何画板的这些特性，相对于其他的几何教学模式，几何画板充分发挥了将抽象的问题划具体的优势。运用几何画板进行辅助教学，无论是对学生或者是教师，都产生了极大的影响。对学生而言，在传统的几何教学中，只凭教师口头的说教和黑板上呆板的板书是很难体现出情境创设中的悬疑和疑虑效

6、果，也就是说不可能产生强烈的轰动效果和视觉反差，不能给学生留下难忘印象而引起学生的注意 1 。几何画板这个软件则正好给我们提供了这样的一个平台，它不仅可以准确地绘制出任意的几何图形，而且还可以根据数据的改变，让学生可以有一个动态的美的过程，这样的教学及其容易激发学生的求知欲望 2 。对教师来说，借助几何画板进行教学，不仅仅可以提高教师教学效率，增加课堂教学容量，还可以促使教师以清楚简便的形式进行教学，大大提高课堂教学效果。所以说使用几何画板进行数学教学，教师可以将抽象的问题具体化，以感性的信息呈现，使学生留下更为深刻的印象，这样既能激发学生的求知欲望又培养了学生的兴趣，大大的提高了课堂效率。2

7、几何画板的产生背景随着现代科学技术的发展，计算机已进入我国的教育领域，并逐渐走进课堂 3 。在此过程中教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动的方式都恰当而有用的使用信息技术，这样，不仅提高教育教学质量，提高课堂教学效果，提高学生学习兴趣和参与意识，还激发学生创新思维 4 。对于数学学科来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实; 但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的 ，并在数学研究和教学中都起着重要的作用 5 。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。所以教师

8、们选用了几何画板进行数学教学，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感的去把握它。 应用几何画板辅助教学，既可以感知知识的形成过程，又能激发学生的学习兴趣 6 。当然，这要从学生的现实教学水平出发，使学生在直观与抽象的结合过程中，像数学家那样猜测和想象，然后借助教育技术的力量再进行检验和证实。这相对于传统的教具的应用，借助教育技术可以使整个教学“活”起来，可以更好的向学生提供直观、多彩、生动的形象，可以使学生多种感官同时受到刺激，激发学生学习的积极性。3几何画板教学与传统教学的区别31传统数学课堂教育的情况在传统的数学课堂教

9、育中，存在着这样一些情况:（一）课堂是老师的，学生只是“听众” 在传统的数学教学课堂里教师的主角意识浓厚，表演欲望过于强烈。老师往往把教学过程看成是学生配合教师完成教案的过程，一定程度上忽视了学生作为学习主体的存在，忽视了学生是重要的课程资源，由于教师课前忽视了对学生情况的分析，所设定的教学起点，与实际的教学起点有时不相吻合。好多教师视教材为金科玉律，不敢越雷池一步，把毫无遗漏、毫不越位地传授教材内容视为课堂教学目的，使教材成为禁锢学生自由创造、大胆创新的枷锁 7 。 （二）老师课堂教学模式固定，一切跟着教案走  传统的课堂教学中教师的“教”是照本宣科，教师只把学生当作接受知识的容器

10、，由于受教学活动计划性、预设性的影响，学生和教师的活动总是受教案的束缚，教师不敢越出“教案”半步。教师的教和学生的学在课堂上最理想的进程是完成教案。教师总是希望学生能够按照自己课前设计好的教学方案去展开教学活动，当学生的思路与教案不吻合时，教师往往会千方百计地把学生的思路“拉”回来。教师期望的是学生按教案设想作出回答，努力引导学生得出事前预定的答案。在整个教学过程中看不到教师的随机应变，看不到对学生思维出现阻碍时的点拨。整个教学关系就是：我讲，你听；我问，你答；我写，你抄；我给，你收。学生的学习始终处于被动应付状态。学生缺少自主探索、合作交流、独立获取知识的机会，很少有机会表达自己的理解和意见

11、，致使课堂气氛沉闷、封闭。 （三）注重结果，缺乏探究精神传统的课堂教学是一种以知识为本位的教学，这种教学在强化知识的同时，为了完成认知目标，而抹杀学生的创造性，忽视学生的情感。 “重结果轻过程”是当今课堂教学中一个十分突出的问题，也是一个十分明显的教学弊端。所谓重结果就是教师在教学中只重视知识的结论、教学的结果，忽略知识的来龙去脉，有意无意压缩了学生对新知识学习的思维过程。教师在预设教学过程时考虑最多的就是应该如何将知识讲清楚、讲明白、讲透彻。多少年来，课堂教学所追求的是循着课前精心设计的教学程序，采用一连串的追问，牵着学生亦步亦趋地接受一个又一个结论。在问题的设计上，往往过细、过窄、缺乏思考

12、价值，当学生对问题的回答正是所期望得到的答案时，教师便会立即抓住，如获至宝地加以肯定或赞扬。于是，对某个问题的讨论也就此画上了句号。即便教师提出的问题具有一定的思维空间，但常常又不能给学生充足的思考时间，这无疑在客观上阻碍了学生思维独立性与创造性的培养与发展，致使学生在思考问题方面存在着比较严重的模仿性和依赖性。学生没有能够切身体会到学习知识的过程，没有从学习新的知识里得到乐趣。 32几何画板教学在数学课堂教学的情况（一）有利于设置良好的教学情境在教学中创设一个良好的教学情境是相当重要的，数学教学也是如此。运用几何画板进行教学，使学生由过去枯燥乏味的“听数学”转变为真正的“做数学”，从而实现由

13、“要我学”到“我要学”的过渡。借助于几何画板，我们不但可以把很多数学概念的形成过程充分地“暴露”出来，随时看到各种情形下的数量关系的变化，而且还可以把“形”和“数”的潜在关系及其变化动态的显现在屏幕上，甚至可以根据需要对这个过程进行控制，学生也通过观察的过程、制作的过程、比较的过程，产生他的经验体系，形成他的认知结构，从而更好地完成整个认知过程。（二）有利于体现数形结合的思想把数形结合的思想贯彻于数学学习过程的始终是学好数学的关键之一。几何画板能够简单快捷地画出各种几何图形，而且其中的测算功能迅速地测量出图形的长度、角度、面积等，并能进行各种复杂的计算。利用图形的运动和显示出来的数据，则能充分

14、有效地把图形与数值结合起来，体现了几何画板在数形结合上的优势，这是以往其它任何教学方式所无法达到的境地。4 几何画板教学与现代数学课堂教学相结合（一）运用几何画板讲授抽象数学概念针对现如今的生的实际学习情况，课本的有些概念对生来说，可能是还不理解的，尤其是些抽象的概念，比如说“轴对称”概念。可能传统的教学模式是教师在黑板上画出两个全等的图形，在这两个全等的图形的正中央画一条直线，再告诉学生们，这样的图形，我们叫做轴对称图形。这样的讲解方式，让学生们很不好接受，甚至可能会弄错。但利用几何画板进行教学，可能会让学生更好接受这个概念。我们可以先画好一条直线，在直线的一侧任意的画出一个图形，利用几何画

15、板中的反射，就可以做出轴对称图形。甚至可以快速的改变形状，画出多个轴对称图形来（见图一）。这样的教学模式，学生们一点不觉得枯燥，他们在老师的指导和启发下，始终兴趣盎然地在认真观察、主动思考，并逐一找出了对称点与对称轴、对称线与对称轴之间的关系，并很自然地发现了轴对称的三个基础性质和理解了相应的定理8。（图一）（二）运用几何画板做“数学实验”几何画板可以为做“数学实验”提供理想环境。用画板几分钟就能实现动画效果，还能动态测量线段的长度和角的大小，通过拖动鼠标可轻而易举地改变图形的形状，因此完全可以利用画板让学生做“数学实验”。例如，为了让学生较深刻地理解两个直角三角形全等的条件，可以让学生利用几

16、何画板做一次这样的数学实验：在该试验中，学生可通过任意改变线段的长短和通过鼠标拖动端点来观察两个三角形的形态变化，让学生可以直观而自然地概括出直角三角形全等的判定公理（见图二）9。这样学生对该定理的理解与掌握要比传统教学深刻的多。(图二)5 几何画板教学的优势51几何画板的方便灵活性（一）简便快捷的画出所需的标准图形几何画板是以点、线、圆为基本元素，来构造图形，即提供了计算机上的尺规作图，因此能画任意一种几何图形，而且能够准确的表现几何对象。并且几何画板不仅仅是画出平面几何图形，空间立体几何也可以（见图三）。（图三）（二）图形变换功能几何画板提供了平移、旋转、缩放、反射等图形变换功能，这些功能

17、便于与我们学习一些抽象的概念及其有帮助，如轴对称的概念，全等的概念以及相似的概念等（见图四）。（图四）（三）准确迅速的计算出长度、弧长、角度、面积等几何画板有测量和计算功能，能够对所做出的对象进行度量，如线段的长度、弧长、角度、面积等（见图五），还能够对测量的值进行计算，包括四则运算、函数运算，并把结构动态的显示在屏幕上。当用鼠标拖动任意一个对象使其变动时，显示出这些几何对象大小的量也随之改变。（图五）（四）跟踪图像的痕迹我们可以运用动态控制含若干个参数的函数图像，随着参数值的变化，图像的形状也跟着变动，进而追踪图像上的一个点或者一条线画出相对应函数图像。并且，可以改变函数的表达式，得出一系列

18、有关痕迹的问题（见图六）。（图六）几何画板有强大的教学功能，能很好的和数学教学相结合。在利用几何画板探索数学奥秘的过程中，数形结合使人恍然大悟，发现规律让人欣喜莫名，数理综合更叫人耳目一新，师生们从内心的创造和体验中领悟到数学的真谛。52 运用几何画板解决常见数学问题（一）画图类问题如何在短时间内画出标准的图形，是几何教学的一个难点。以往，教师们通过粉笔和三角板来画相应的图形，为了画好图形，花费了不少课堂时间。但是运用几何画板就可以很好的解决这个问题。例如，画一个指数函数图像，我们只需要点点鼠标就可以了，并且通过拖动鼠标还可以改变其大小和位置关系（见图七）。（图七）（二）函数类问题对于整个，大

19、部分的学生都会觉得函数是个难点。对于以往的数学课堂教学，很难将抽象的函数问题给具体化，使得整个课堂枯燥无味，难以将学生的积极性给调动起来。运用几何画板，可以用让学生自己动手，亲自来发现函数中相关概念以及性质。例如，里的二次函数中的问题，对于(其中a0)，要掌握系数a，b，c与二次函数的关系，应用几何画板，只需要将a，b，c的系数进行更改，根据图像的变化，就可以总结出相应的规律（见图八）9。（图八）（三）空间几何类问题在空间几何问题中，常常需要我们求类似于异面直线平行或垂直、二面角等的问题，往往由于学生们无法想象，故而不好求解。借用几何画板就可以很好的将难于想象的二面角直接画出来。几何画板可以通

20、过旋转图像，使得所需求的二面角简单明了（见图九求二面角CEFC）。（图九）6 几何画板在数学教学的问题及解决方法通过几何画板辅助教学将计算机技术融合到数学教学中，成为教学的有机组成部分，这样要求教师不仅要熟练掌握技术手段，了解计算机进入数学教学的优势和局限性，更重要的是要深刻了解教育的本质，了解本学科教学的教学目的，了解教学中的重、难点所在，了解传统教学的优点和局限性，了解所授课班级的学生综合素质，结合技术所提供的能力选择最佳组合，更好地进行教学活动。 那么，在运用几何画板进行教学的时候，会存在怎样的问题呢10？（一）过分花哨的动画分散了学生的注意力在教学中，有的教师过多追求数学课件的趣味性、

21、新颖性，而忽略了教学本身的功能11。几何画板固然有强大信息处理功能，但学生的接受能力是有限的，尤其是数学课，需要学生进行思维活动，若同时呈现信息过多，会分散学生的注意力。运用几何画板进行辅助教学，可能会使课件制作得太过华丽，令人眼花缭乱：时而制作一些动画，时而演示运动轨迹，使数学课成了图形功能展览，这样不仅不能增强教学效果，反而干扰了课堂教学。因此数学教学部应该过分追求画面的美观和所谓的技术含量，而忽略了教学质量的提高。解决方法：教师在课堂上的主导地位仍是不可替代的。事实上，由于运用几何画板，使得了传统教学中一些机械工作，如一些画图的步骤省略了，使教师有更充分的时间和精力去做别的工作，投入到引

22、导学生的思维中去。在课件的创作中，教师要注意实用性与趣味性的结合，坚持教学效果优先的原则，重视教学质量的提高。（二）过多的演示削弱了学生动手操作的能力，剥夺了学生抽象思维的过程目前一些教师应用教育技术辅助教学就是在电脑前点点鼠标，甚至连板书也由电脑完全代替，这样脱离实际的教学是没有生命力的，还有些教师强调了教师传授为主导，片面追求课堂容量，仅仅利用了几何画板快速出题，快速解答，快速评价反馈的功能。更有甚者，教师替代学生解答，把本来应该学生自己亲自动手的练习内容，制成课件，用于演示播放。在提高效率的同时，减少了学生自主的活动，压抑了学生的解体灵感。解决方法：教师必须充分考虑学生的需要和接受能力，

23、作为教师，应该对课件的内容加以精选，在课件保持新颖性的同时有意加强学生抽象思维的训练。一般来说，教材中难以用言语表达的，学生缺少感性认识而难以领悟的，其他媒体无法呈现的，介入几何画板就能起到很好的作用。就高中数学教材来说，代数中的函数图像，三角函数，特别是正余弦函数的图像变换，复数运算的几何意义，立体几何问题，解析几何问题等等，这些内容都比较的抽象，对于生理解起来比方便，但运用几何画板就可以大大的解决这方面的问题，完全可以将这些抽象的知识具体化。（三）对于容量较大的课时，学生短时间接受的效果明显，然而形成书面的知识太少，不利于复习和巩固。这点在高阶段教学特别是在复习课中尤为明显，高阶段教学内容多，每节课的知识容量都很大，应用教育技术辅助教学效果在短时间内比较明显，学生接受情况良好，然而学生能形成的书面知识比较少，随着时间的流逝，很多原本掌握的知识也随之流失了。解决方法：利用教育技术辅助教学应遵循因材施教的原则，该用则用。数学例题的讲解，教师不可能知道所有学生的想法和做法，单靠多媒体显然是远远不够的，因此有些必要的分析和归纳过程和运算推理过程还应通过板书充分地暴露给学生。使计算机在课堂教学中真正体现辅助的作用，