7 有限长单位冲激响应fir滤波器的方法

1、第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法1第第7 7章章 有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应firfir滤波器滤波器的设计方法的设计方法7.1 7.1 引言引言7.2 7.2 线性相位线性相位firfir滤波器的特点滤波器的特点 7.3 7.3 用窗函数法设计用窗函数法设计firfir滤波器滤波器 7.4 7.4 用频率采样法设计用频率采样法设计firfir滤波器滤波器 7.5 7.5 firfir滤波器和滤波器和iiriir滤波器的比较滤波器的比较第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法210( )()niiy nbx ni7.1 7.1 引言引言 10( )niiih z

2、b z 10)()()(niinxihny10( )( )( )iniibh ih zh i z对应的系统函数对应的系统函数: : 因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示 比较、得：比较、得：firfir数字滤波器的差分方程描述数字滤波器的差分方程描述: :10( )( )nnnh zh n z第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法3 firfir数字滤波器的单位抽样响应数字滤波器的单位抽样响应h(n)h(n)是有限长的。任何是有限长的。任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时

3、，转变为因果序列，所以因果性总是满足；转变为因果序列，所以因果性总是满足； 极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题； 无反馈运算，运算误差小，结构一般是非递归的。无反馈运算，运算误差小，结构一般是非递归的。 很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；理、数据传输等系统中非常重要；fir数字滤波器的特点：数字滤波器的特点：第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法47.2 7.

4、2 线性线性相位相位firfir滤波器的特点滤波器的特点 如果如果firfir数字滤波器的单位抽样响应数字滤波器的单位抽样响应h(n)h(n)是实数序列，是实数序列， 而而且满足偶对称或奇对称的条件，即且满足偶对称或奇对称的条件，即( )(1)h nh nn 则滤波器就具有严格的线性相位特点。则滤波器就具有严格的线性相位特点。第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法5一、线性相位特性一、线性相位特性 (1) h(n)(1) h(n)偶对称的情况偶对称的情况: : h(n)=h(n-1-n) 0nn-1 其系统函数为：其系统函数为： 1010)1()()(nnnnnnznnhznhzh

5、将将m=n-1-n代入代入 1010)1()1()()()(nmmnmnmnzmhzzmhzh第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法6即即 )()(1)1(zhzzhn上式进一步写成：上式进一步写成： (1)11(1)0111221201( )( )()21( )2( )2nnnnnnnnnnnnnh zh zzh zh n zzzzzzh n第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法7滤波器的频率响应为滤波器的频率响应为 1120()( )|1( )cos2jjz ennjnh eh zneh nn可以看到，上式的可以看到，上式的以内全部是标量，如果将频率响应用以内全部是标量

6、，如果将频率响应用相位函数相位函数( () )及幅度函数及幅度函数h h( () )表示表示 )()()(jjeheh第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法8那么有：那么有： 101( )( )cos21( )2nnnhh nnn 幅度函数幅度函数h h( () )是标量函数，可以包括正值、负值和零，是标量函数，可以包括正值、负值和零， 而且是而且是的偶对称函数和周期函数的偶对称函数和周期函数; ; 而而| |h h(e(ejj)|)|取值大于等于零取值大于等于零, , 两者两者在某些在某些值上相位相差值上相位相差。相位函数相位函数( () )具有严格的线性相位，如图具有严格的线性相

7、位，如图7-37-3所示。所示。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法9图图7-3. 7-3. h(n)h(n)偶对称时的线性相位特性偶对称时的线性相位特性 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法10数字滤波器的群延迟数字滤波器的群延迟( () )定义为定义为 )()()(ddehgrdj式中，式中，grd(groupgrd(groupdelay)delay)为群延迟函数。由上式可知，当为群延迟函数。由上式可知，当h(n)h(n)满足偶对称时，满足偶对称时，firfir数字滤波器具有数字滤波器具有(n-1)/2(n-1)/2个采样的延时，个采样的延时， 它它等于单位抽样响

8、应等于单位抽样响应h(n)h(n)长度的一半。也就是说，长度的一半。也就是说，firfir数字滤波器数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时了的输出响应整体相对于输入延时了(n-1)/2(n-1)/2个采样周期。个采样周期。第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法11其系统函数为其系统函数为 11001(1)01(1)0( )( )(1)( )( )nnnnnnnnmmnnmmh zh n zh nn zh m zzh m z 因此因此 h(z)=-z-(n-1)h(z-1) h(n)=-h(n-1-n) 0nn-1 h(n)h(n)奇对称的情况奇对称的情况: : 第7章 有限长单位冲激

9、响应fir滤波器的设计方法12同样可以改写成 (1)1n-1(1)n 0111221201( )( )()21( )2( )2nnnnnnnnnnnh zh zzh zh nzzzzzzh n第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法13其频率响应为其频率响应为 112011/220()( )|1( )sin21( )sin2jjz ennjnnnjjnh eh znjeh nnneh nn所以有所以有: : 101( )( )sin21( )22nnnhh nnn 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法14 幅度函数幅度函数h()h()可以包括正值、负值和零，而且是可以包括正

10、值、负值和零，而且是的奇对称函数和周期函数。相位函数既是线性相位，又的奇对称函数和周期函数。相位函数既是线性相位，又包括包括/2/2的相移，如图的相移，如图7-47-4所示。可以看出，所示。可以看出，当当h(n)h(n)为奇为奇对称时，对称时，firfir滤波器不仅有滤波器不仅有(n-1)/2 (n-1)/2 个采样的延时，个采样的延时， 还还产生一个产生一个9090的相移。的相移。这种使所有频率的相移皆为这种使所有频率的相移皆为9090的网络，称为的网络，称为移相器，或称正交变换网络。它和移相器，或称正交变换网络。它和理想低通滤波器、理想微分器一样，有着极重要的理论理想低通滤波器、理想微分器

11、一样，有着极重要的理论和实际意义。和实际意义。 当当h(n)h(n)为奇对称时，为奇对称时，firfir滤波器将是一个具有准确滤波器将是一个具有准确的线性相位的正交变换网络。的线性相位的正交变换网络。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法15图图7-47-4 h(n)h(n)奇对称时的奇对称时的9090o o线性相位特性线性相位特性 2o()223 n第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法16二、二、 幅度响应特性幅度响应特性 1. 第一种类型：第一种类型： h(n)为偶对称，为偶对称，n为奇数为奇数 h(n)偶对称的幅度函数式为：偶对称的幅度函数式为： 101( )(

12、)cos2nnnhh nn可以看出，不但可以看出，不但h(n)对于对于(n-1)/2 呈偶对称，而且呈偶对称，而且 也对也对(n-1)/2 呈偶对称，即呈偶对称，即: 1cos2nnnnnnnnnnnhnh21cos21cos)1(21cos)1()(第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法17将将内两两相等的项合并，幅度函数就可以表示为内两两相等的项合并，幅度函数就可以表示为 2/ )3(021cos)(221)(nnnnnhnhh令令 ，则上式可改写为：，则上式可改写为： mnn212/ )1(1)cos(21221)(nmmmnhnhh可表示为可表示为 2/ )1(0)cos()

13、()(nnnnah第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法18式中式中: : 21)0(nhannhna212)(n=1,2,3,(n-1)/2 由于由于cos(n)项对于项对于=0,2皆为偶对称，因此幅度函数皆为偶对称，因此幅度函数h()对于对于=0, ，2也呈偶对称。也呈偶对称。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法19 2. 第二种类型：第二种类型：h(n)为偶对称，为偶对称，n为偶数为偶数 nnnhhnn21cos)(2)(12/0令令，代入上式可得，代入上式可得 mnn221cos22)(2/1mmnhhnm101( )( )cos2nnnhh nn由于由于n为偶

14、数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法20式中式中: nnhnb22)(n=1,2, 3, , n/2 因此因此 21cos)()(2/1nnbhnn第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法21如果数字滤波器在如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。器，则不能用这类数字滤波器来设计。 当当=时，时， ，余弦项对，余弦项对=呈奇对称，呈奇对称，因此因此h()=0，即，即h(z)在在z=ej=-1 处必然有一个零点，而

15、且处必然有一个零点，而且h()对对=呈奇对称。呈奇对称。 当当=0或或2时，时， 或或-1，余弦项对，余弦项对=0, 2为偶对称，为偶对称，幅度函数幅度函数h()对于对于=0, 2也呈偶对称。也呈偶对称。 121cosn021cosn第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法223. 第三种类型：第三种类型： h(n)为奇对称，为奇对称，n为奇数为奇数 h(n)奇对称的幅度函数式如下：奇对称的幅度函数式如下： 1021sin)()(nnnnnhh 由于由于h(n)对于对于(n-1)/2 呈奇对称，即呈奇对称，即h(n)=-h(n-1-n)，当，当n=(n-1)/2时，时， 2121121

16、nhnnhnh因此，因此，, 即即h(n)奇对称时，中间项一定为零。此外，奇对称时，中间项一定为零。此外，式中，式中， 也对也对(n-1)/2 呈奇对称。呈奇对称。 021nhnn21sin第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法23nnnnnnn21sin21sin)1(21sin因此，在因此，在中第中第n项和第项和第(n-1-n)项是相等的，将这两两相等的项项是相等的，将这两两相等的项合并，即合并，即 nnnhhnn21sin)(2)(2/ )3(0第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法24令令 ， 则上式可改写为则上式可改写为 mnn21)sin(21)(2)(2/ )

17、1(1mmnnhhnm即即 )sin()()(2/ )1(1nnchnn式中式中: nnhnc212)(n=1, 2, 3, , (n-1)/2 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法25 由于由于sin(n)在在=0, , 2处都为零，并对这些点呈奇对称，处都为零，并对这些点呈奇对称，因此幅度函数因此幅度函数h()在在=0,2处为零，即处为零，即h(z)在在z=1上都有零上都有零点，且点，且h()对于对于=0,2也呈奇对称。也呈奇对称。 如果数字滤波器在如果数字滤波器在=0, , 2处不为零，例如低通滤波器、处不为零，例如低通滤波器、 高通高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤

18、波器来设计，滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计， 除非除非不考虑这些频率点上的值。不考虑这些频率点上的值。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法26 4. 第四种类型：第四种类型：h(n)为奇对称，为奇对称，n为偶数为偶数12/01021sin)(221sin)(2)(nnnnnnnhnnnhh令令， 则有则有 mnn221sin22)(2/1mmnhhnm由于由于n为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得1021sin)()(nnnnnhh第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法27因此因此 21sin)()(

19、2/1nndhnm式中式中: 2/, 3 , 2 , 122)(nnnnhnd当当=0, 2时，时， ，且对，且对=0, 2呈奇对称，呈奇对称，因此因此h()在在=0, 2处为零，即处为零，即h(z)在在z=1处有一个零点，且处有一个零点，且h()对对=0, 2也呈奇对称。也呈奇对称。 021sinn第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法28 当当=时，时， 或或1，则，则 对对=呈偶对称，幅度函数呈偶对称，幅度函数h()对于对于=也呈偶对称。也呈偶对称。 121sinn21sinn上述四种线性相位上述四种线性相位fir滤波器的特性示于滤波器的特性示于表表7-1中。中。如果数字滤波器

20、在如果数字滤波器在=0, 2处不为零，例如低通滤波器、处不为零，例如低通滤波器、 带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法29表表7-1 四种线性相位四种线性相位fir滤波器特性滤波器特性第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法30表表7-1 四种线性相位四种线性相位fir滤波器特性滤波器特性第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法31三、线性相位三、线性相位fir滤波器的零点位置滤波器的零点位置 线性相位线性相位fir滤波器的系统函数为：滤波器的系统函数为： h(z)=z-(n-1)h

21、(z-1) 因此，若因此，若z=zi是是h(z)的零点，即的零点，即h(zi)=0， 则则z=1/zi=zi-1也一定是也一定是h(z)的零点，的零点，(h(zi-1)=zi (n-1) h(zi)=0） 当当h(n)是实数时，是实数时，h(z)的零点必成共轭对出现，的零点必成共轭对出现， 所以所以 z=zi*及及z=(z*i)-1也一定是也一定是h(z)的零点，的零点， 因而因而 线性相位线性相位fir滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。这种互为倒数的共轭对有四种可能性：这种互为倒数的共轭对有四种可能性： 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法32图

22、图 7-5 线性相位线性相位fir滤波器的零点位置图滤波器的零点位置图 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法33 由幅度响应的讨论可知，由幅度响应的讨论可知，第二种类型的线性相位滤波器第二种类型的线性相位滤波器 h()=0， 因此必然有单根因此必然有单根 z= -1。第四种类型的线性相位滤波器第四种类型的线性相位滤波器 h(0)=0, 因此必然有单根因此必然有单根 z=1。第三种类型的线性相位滤波器第三种类型的线性相位滤波器 h(0)=h(）=0， 因此必然有两种单根因此必然有两种单根 z=1 。 了解了线性相位了解了线性相位fir滤波器的特点，便可根据实际需要滤波器的特点，便可根

23、据实际需要选择合适类型的选择合适类型的fir滤波器，同时设计时需遵循有关的约束滤波器，同时设计时需遵循有关的约束条件。下面讨论线性相位条件。下面讨论线性相位fir滤波器的设计方法时，都要用滤波器的设计方法时，都要用到这些特点。到这些特点。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法34去逼近去逼近 , 如果希望得到的滤波器的理想频率响应为如果希望得到的滤波器的理想频率响应为: 窗口设计法（时域逼近）窗口设计法（时域逼近） 频率采样法（频域逼近）频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近）最优化设计（等波纹逼近）那么那么 fir滤波器的设计就在于寻找一个传递函数滤波器的设计就在于寻找一

24、个传递函数逼近方法有三种：逼近方法有三种：10()( )njjnddnheh n e10( )njjnnh eh n e()jdhe第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法357.3 用窗函数法设计用窗函数法设计fir滤波器滤波器 一、设计方法一、设计方法 窗函数法是设计窗函数法是设计fir数字滤波器最简单的方法。这种方法一数字滤波器最简单的方法。这种方法一般是先给定所要求的理想滤波器的频率响应般是先给定所要求的理想滤波器的频率响应 ，要求设计一，要求设计一个个fir滤波器频率响应滤波器频率响应, 去逼近理想的频率响去逼近理想的频率响应应 。10)()(nnnjjenhehdeehnh

25、njjdd)(21)(因此，必须首先由理想频率响应因此，必须首先由理想频率响应 的傅里叶反变换推导出的傅里叶反变换推导出对应的单位抽样响应对应的单位抽样响应: 窗函数法设计窗函数法设计fir数字滤波器是在时域进行的数字滤波器是在时域进行的, 从单位抽从单位抽样响应序列着手，使样响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位抽样响应序列逼近理想的单位抽样响应序列hd(n)。()jdhe()jdhe()jdhe（7-36）第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法36 由于许多理想化的系统均用分段恒定的或分段函数表示由于许多理想化的系统均用分段恒定的或分段函数表示的频率响应来定义，因此的频率响应来定

26、义，因此hd(n)一定是无限长的序列，且是一定是无限长的序列，且是非因果的。而我们要设计的是非因果的。而我们要设计的是fir滤波器，其滤波器，其h(n)必定是有必定是有限长的，所以要用有限长的限长的，所以要用有限长的h(n)来逼近无限长的来逼近无限长的hd(n)，最简，最简单且最有效的方法是截断单且最有效的方法是截断hd (n) 0)()(nhnhd0nn-1 其他其他 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法37式中如果采用简单截取，则窗函数为矩形窗。式中如果采用简单截取，则窗函数为矩形窗。 01)()(nrnwn0nn-1 其他 矩形窗矩形窗 通常，我们可以把通常，我们可以把h(n

27、)表示为所需单位抽样响应与一个有限长的表示为所需单位抽样响应与一个有限长的窗口函数序列窗口函数序列w(n)的乘积，即的乘积，即 h(n)=hd(n)w(n) 的波形如下图所示：的波形如下图所示：hd(n)rn(n)h(n)nnnooo(n1) / 2n1(n1) / 2n1(a)(b)(c)1第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法38相应的单位抽样响应为：相应的单位抽样响应为： 1( )2sin()()ccjj ndch neednnhd(n)是一个中心点在是一个中心点在的偶对称、无限长、非因果序列，的偶对称、无限长、非因果序列，为了构造一个长度为为了构造一个长度为n的线性相位滤波器

28、，只有将的线性相位滤波器，只有将hd(n)截截取一段，并保证截取的一段对取一段，并保证截取的一段对(n-1)/2 对称，故中心点对称，故中心点a必必须取须取a=(n-1)/2 。0)(jjdeeh|c c2/2/n n，h h(0)(0)实际上近似等于实际上近似等于w wr r( () )的全部积分（的全部积分（=-=-到到=+=+）面积。）面积。 dwhhrd)()(21)(第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法46（2）=c时的响应时的响应h(c)，hd()刚好与刚好与wr(-)的一半重叠，的一半重叠，如图如图(c) 。因此卷积值刚好是。因此卷积值刚好是h(0)的一半，即的一半，

29、即h(c)/h(0)=1/2，如图（如图（f）。）。第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法47 (4)当当 时，时， 主瓣全部在通带外都在主瓣全部在通带外都在hd()的的 通带（通带（|c）之外，而通带内的旁瓣负的面积大于正）之外，而通带内的旁瓣负的面积大于正 的面积，因而卷积结果达到最负值，频响出现负肩峰。的面积，因而卷积结果达到最负值，频响出现负肩峰。2 /cn(3)当当 时，时， 的主瓣全部在的主瓣全部在 的通带的通带内，这时应出现正的肩峰。内，这时应出现正的肩峰。 2cn()rw( )dh第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法48(6)当当 时，时， 的右边旁瓣将进

30、入的右边旁瓣将进入 的通的通带，右边旁瓣的起伏造成带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕值围绕 值而波动。值而波动。(5)当当 时，随时，随 增加，增加， 左边旁瓣的左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积起伏部分扫过通带，卷积 也随着也随着 的旁瓣在通的旁瓣在通带内的面积变化而变化，故带内的面积变化而变化，故 将围绕着零值而波动。将围绕着零值而波动。2cn()rw( )h( )h()rw2cn()rw( )dh( )h(0)h第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法49 综上所述，综上所述， 加窗函数处理后，加窗函数处理后， 对理想频率响应产生以下几对理想频率响应产生以下几点影响：点影响： （1）h

31、()将将hd()在截止频率处的间断点变成了连续曲线，在截止频率处的间断点变成了连续曲线， 使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡过渡带的宽度等于窗的频率响应带的宽度等于窗的频率响应wr()的主瓣宽度的主瓣宽度=4/n，即正，即正肩峰与负肩峰的间隔为肩峰与负肩峰的间隔为 4/n。窗函数的主瓣越宽，过渡带也越。窗函数的主瓣越宽，过渡带也越宽。宽。 （2）在截止频率在截止频率c的两边即的两边即=c(2/n)的地方的地方，h()出出现现最大的肩峰值最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决

32、于旁瓣的相对幅度，而于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法50 （3）改变改变n，只能改变窗谱函数的主瓣宽度，只能改变窗谱函数的主瓣宽度，改变，改变的坐标的坐标比例以及改变比例以及改变wr()的绝对值大小。例如，在矩形窗情况下，的绝对值大小。例如，在矩形窗情况下， xxnnnwrsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(式中，式中，x=n/2。 当截取长度当截取长度n增加时，只会减小过渡带宽度（增加时，只会减小过渡带宽度（4/n），但），但不不能改变主瓣与旁瓣幅值的相对比例能改变主瓣与旁

33、瓣幅值的相对比例; 同样，同样，也不会改变肩峰的相也不会改变肩峰的相对值对值。这个相对比例是由窗函数形状决定的，与。这个相对比例是由窗函数形状决定的，与n无关。换句话无关。换句话说，增加截取窗函数的长度说，增加截取窗函数的长度n只能相应的减少过渡带，而不能改只能相应的减少过渡带，而不能改变肩峰值。变肩峰值。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法51 由于由于肩峰值的大小直接影响通带特性和阻带衰减肩峰值的大小直接影响通带特性和阻带衰减，所以对所以对滤波器的性能影响较大。例如滤波器的性能影响较大。例如, 在矩形窗情况下，在矩形窗情况下，最大相对肩最大相对肩峰值为峰值为8.95%，n增加

34、时，增加时，2/n减小，起伏振荡变密，减小，起伏振荡变密， 最大相最大相对肩峰值则总是对肩峰值则总是8.95%，这种现象称为，这种现象称为吉布斯效应吉布斯效应。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法52二、二、 各种窗函数各种窗函数 矩形窗截断造成的肩峰值为矩形窗截断造成的肩峰值为8.95%，则阻带最小衰减为，则阻带最小衰减为20 lg(8.95%)=-21 db, 这个衰减量在工程上常常是不够大的。这个衰减量在工程上常常是不够大的。 为了为了加大阻带衰减，加大阻带衰减， 只能改变窗函数的形状。只能改变窗函数的形状。只有当窗谱逼近冲激函只有当窗谱逼近冲激函数时，也就是绝大部分能量集

35、中于频谱中点时，数时，也就是绝大部分能量集中于频谱中点时，h()才会逼近才会逼近hd()。这相当于窗的宽度为无限长，等于不加窗口截断，这没这相当于窗的宽度为无限长，等于不加窗口截断，这没有实际意义。有实际意义。 从以上讨论中看出，窗函数序列的形状及长度的选择很关键，从以上讨论中看出，窗函数序列的形状及长度的选择很关键， 一般希望窗函数满足两项要求：一般希望窗函数满足两项要求： 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法53 （1）窗谱主瓣尽可能地窄，以获取较陡的过渡带。）窗谱主瓣尽可能地窄，以获取较陡的过渡带。 （2）尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度。也就是能量尽量）尽量减少窗谱的最大旁

36、瓣的相对幅度。也就是能量尽量集中于主瓣，集中于主瓣， 这样使肩峰和波纹减小，就可增大阻带的衰减。这样使肩峰和波纹减小，就可增大阻带的衰减。 但是这两项要求是不能同时都满足的。当选用主瓣宽度较但是这两项要求是不能同时都满足的。当选用主瓣宽度较窄时，虽然得到较陡的过渡带，但通带和阻带的波动明显增加；窄时，虽然得到较陡的过渡带，但通带和阻带的波动明显增加； 当选用最小的旁瓣幅度时，虽能得到平坦的幅度响应和较小的阻当选用最小的旁瓣幅度时，虽能得到平坦的幅度响应和较小的阻带波纹，但过渡带加宽，也即主瓣会加宽。因此带波纹，但过渡带加宽，也即主瓣会加宽。因此, 实际所选用的实际所选用的窗函数往往是它们的折衷

37、。在保证主瓣宽度达到一定要求的前提窗函数往往是它们的折衷。在保证主瓣宽度达到一定要求的前提下，下，适当牺牲主瓣宽度以换取相对旁瓣的抑制适当牺牲主瓣宽度以换取相对旁瓣的抑制。 以上是从幅频特性的改善对窗函数提出的要求。以上是从幅频特性的改善对窗函数提出的要求。实际上设计实际上设计的的fir滤波器往往要求具有线性相位滤波器往往要求具有线性相位:第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法54 因此，除了要求因此，除了要求hd(n)满足线性相位条件外，对满足线性相位条件外，对w(n)也要求长也要求长度度n有限，且以有限，且以(n-1)/2为其对称中心，即为其对称中心，即综上所述，窗函数不仅起截断

38、作用，还能起平滑作用，在很多领综上所述，窗函数不仅起截断作用，还能起平滑作用，在很多领域都得到广泛应用。因此域都得到广泛应用。因此, 设计一个特性良好的窗函数有着重要设计一个特性良好的窗函数有着重要的实际意义。的实际意义。 设计设计fir滤波器常用的窗函数有：滤波器常用的窗函数有： ( )( ) ( )dh nh n w n( )(-1- )w nw nn第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法551. 矩形窗矩形窗 01)()(nrnwn0nn-1 其他其他 )2/sin()2/sin()()()(21nwewewrnjrjr第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法562.

39、三角形（三角形（bartlett）窗）窗 12112221012)(nnnnnnnnnnww(n)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 212212)2/sin()4/sin(2)2/sin(41sin12)(njnjjennennew 近似结果在近似结果在n1 时成立。时成立。 此时，此时，主瓣宽度为主瓣宽度为8/n, 比矩形窗比矩形窗主瓣宽度增加一倍主瓣宽度增加一倍， 但旁瓣却小很多。但旁瓣却小很多。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法573. 汉宁（汉宁（hanning）窗）窗汉宁窗又称升余弦窗。汉宁窗又称升余弦窗。 12( )1 cos( )21nnw nrnn利用傅里叶变换特性

40、，可得利用傅里叶变换特性，可得 2121)(121225. 0)(5 . 0)(njnjrrrjewenwnwwew第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法58nwnwwwrrr2225. 0)(5 . 0)(当当n1 时，时，n-1n, 所以窗函数的幅频函数为所以窗函数的幅频函数为 这三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，但这三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，但是代价是是代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍， 即为即为 8/n。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法594. 海明（海明（hamming）窗）窗海明

41、窗又称改进的升余弦窗。海明窗又称改进的升余弦窗。把升余弦窗加以改进，把升余弦窗加以改进， 可以得到旁瓣更小的效果，可以得到旁瓣更小的效果， 窗形式为窗形式为 )(12cos46. 054. 0)(nrnnnwnw(n)的频率响应的幅度特性为的频率响应的幅度特性为 nwnwwnwnwwwrrrrrr2223. 0)(54. 0121223. 0)(54. 0)( 与汉宁窗相比，主瓣宽度相同，为与汉宁窗相比，主瓣宽度相同，为 8/n，但旁瓣又被进一步但旁瓣又被进一步压低，压低， 结果可将结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内。的能量集中在窗谱的主瓣内。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波

42、器的设计方法60 5. 布拉克曼（布拉克曼（blackman）窗）窗 布拉克曼窗又称二阶升余弦窗。布拉克曼窗又称二阶升余弦窗。 为了进一步抑制旁瓣，对升余弦窗函数再加上一个二次谐为了进一步抑制旁瓣，对升余弦窗函数再加上一个二次谐波的余弦分量，波的余弦分量， 变成布拉克曼窗，故又称二阶升余弦窗。变成布拉克曼窗，故又称二阶升余弦窗。 )(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(nrnnnnnwnw(n)的频率响应的幅度特性为的频率响应的幅度特性为 22()0.42()0.2511440.0411rrrrrwwwwnnwwnn主瓣宽度是矩形窗的主瓣宽度的主瓣宽度是矩形窗的主瓣宽度的3

43、3倍（倍（1212/n/n）第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法61图图 7-10 五种常用的窗函数五种常用的窗函数 w(n)0.20矩形窗三角窗布拉克曼窗海宁窗海明窗(n1) / 2n1n第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法62图图 7-11 图图 7-10 的各种窗函数的傅里叶变换（的各种窗函数的傅里叶变换（n=51），），a=20 lg|w()/w(0)|(a) 矩形窗矩形窗; (b) 巴特利特窗（三角形窗）巴特利特窗（三角形窗）; (c) 汉宁窗汉宁窗; (d) 海明窗海明窗; (e) 布拉克曼窗布拉克曼窗 20 40 60 80 10000

44、a / db 40 80 200 40 80 120 160 2000 20 40 60 80 100 40 80 120 160 2000(d)(e)0 120 160a / dba / dba / dba / db(a)(b)(c)第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法63图图 7-12 理想低通滤波器加窗后的幅度响应（理想低通滤波器加窗后的幅度响应（n=51）, a=20lg|h()/h(0)|(a) 矩形窗矩形窗; (b) 巴特利特窗（三角形窗）巴特利特窗（三角形窗）; (c) 汉宁窗汉宁窗; (d) 海明窗海明窗; (e) 布拉克曼窗布拉克曼窗 0306090120150a

45、 / db(a)0306090120150a / db(b)0306090120150(c)0306090120130a / db(d )a / db(e)030609012013000a / dbccccc第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法646. 凯塞（凯塞（kaiser）窗）窗这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为 )()1/(21 1()(020inninw0nn-1 式中，式中，i0(x)是第一类变形零阶贝塞尔函数，是第一类变形零阶贝塞尔函数，是一个可自由选择是一个可自由选择的参数。的参数。 图图7-13 7-13 凯塞窗函

46、数凯塞窗函数 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法65表表7-2 凯塞窗的性能凯塞窗的性能第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法66表表7-3 7-3 六种窗函数基本参数的比较六种窗函数基本参数的比较窗函数窗函数窗谱性能指标窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值旁瓣峰值/db/db主瓣宽度主瓣宽度/ 2/n/ 2/n过渡带宽过渡带宽/ 2/n/ 2/n阻带最小衰减阻带最小衰减/db/db矩形窗矩形窗巴特列特巴特列特汉宁窗汉宁窗海明窗海明窗布拉克曼窗布拉克曼窗凯泽窗凯泽窗（=7.865=7.865）-13-13-25-25-31-31-41-41-57

47、-572 24 44 44 46 5.55 5-21-21-25-25-44-44-53-53-74-74-80-80* *最小阻带衰减只由窗形状决定，不受窗宽最小阻带衰减只由窗形状决定，不受窗宽n n的影响；的影响；而过渡带的宽度既和窗形状有关，且随窗宽而过渡带的宽度既和窗形状有关，且随窗宽n n的增加而减小的增加而减小。第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法67下面将下面将窗函数法的设计步骤窗函数法的设计步骤归纳如下：归纳如下：（1） 给定希望逼近的频率响应函数给定希望逼近的频率响应函数hd(ej)。（2） 利用利用式（式（

48、7-36）求单位抽样响应求单位抽样响应hd(n)=idtfthd(ej) 。 deehnhnjjdd)(21)( 如果如果hd(ej)很复杂或不能直接计算积分，则必须用求和代替很复杂或不能直接计算积分，则必须用求和代替积分，以便在计算机上计算，也就是要计算离散傅里叶反变换，积分，以便在计算机上计算，也就是要计算离散傅里叶反变换， 一般都采用一般都采用fft来计算。将积分限分成来计算。将积分限分成m段，也就是令采样频率段，也就是令采样频率为为k=2k/m，k=0, 1, 2, , m-1，则有，则有 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法6822101( )()kknmjjmmmdkh

49、nheem频域的采样，造成时域序列的周期延拓，延拓周期是频域的采样，造成时域序列的周期延拓，延拓周期是m， 即即 rdmrmnhnh)()( 由于由于hd(n)有可能是无限长的序列，因此严格说，必须当有可能是无限长的序列，因此严格说，必须当m时，时，h(n)才能等于才能等于hd(n)而不产生混叠现象，即而不产生混叠现象，即 。实际上，由于。实际上，由于hd(n)随随n的增加衰减很的增加衰减很快，一般只要快，一般只要m足够大，即足够大，即mn，近似就足够了。，近似就足够了。 )(lim)(nhnhmmd第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法69 （3） 由阻带最小衰减及过渡带宽的要求，

50、可选定窗形状，由阻带最小衰减及过渡带宽的要求，可选定窗形状， 并并估计窗口长度估计窗口长度n。设待求滤波器的过渡带用设待求滤波器的过渡带用表示，它近似等于表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。因过渡带窗函数主瓣宽度。因过渡带近似与窗口长度成反比，近似与窗口长度成反比， na/，a决定于窗口形式。例如，矩形窗决定于窗口形式。例如，矩形窗a=4，海明窗，海明窗a=8等，等，a参数参数选择参考选择参考表表7-3。按照过渡带及阻带衰减情况，选择窗函数形式。按照过渡带及阻带衰减情况，选择窗函数形式。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下， 尽量选择主瓣窄的窗尽量选择主瓣窄的

51、窗函数。函数。 （4） 求得所设计的求得所设计的fir滤波器的单位抽样响应滤波器的单位抽样响应。 h(n)=hd(n)w(n) 0nn-1 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法70（5）由）由h(n)求求fir滤波器的系统函数滤波器的系统函数h(z) 或或h (ej)=dtfth(n) 检查是否满足设计要求。检查是否满足设计要求。 通常整个设计过程可利用计算机编程来实现，可多选择几通常整个设计过程可利用计算机编程来实现，可多选择几种窗函数来试探，从而设计出性能良好的种窗函数来试探，从而设计出性能良好的fir滤波器。滤波器。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法71【例例

52、7-1】根据下列技术指标，设计一个线性相位根据下列技术指标，设计一个线性相位fir低低 通滤波器。通滤波器。 抽样频率为抽样频率为 s=2*1.5*104(rad/sec) 通带截止频率为通带截止频率为 p=2*1.5*103(rad/sec) 阻带起始频率为阻带起始频率为st=2*3*103(rad/sec) 阻带衰减不小于阻带衰减不小于50db。解解: (1) 求对应的数字频率求对应的数字频率通带截止频率：通带截止频率：p=pt= p / fs=2p /s=0.2阻带截止频率：阻带截止频率：st=stt= st / fs=2st /s=0.4阻带最小衰减：阻带最小衰减：2 2=50db=5

53、0db 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法72(2) 求求hd(n)。设设hd(ejw)为理想线性相位低通滤波器为理想线性相位低通滤波器0)(jjdeeh|c c| 0.32spc- )11( )22ccjj njndh needed（理想低通滤波器通带截止频率为理想低通滤波器通带截止频率为 : 由由式（式（7-39）可知，理想低通滤波器的单位抽样响应为可知，理想低通滤波器的单位抽样响应为 )()(sin)(nnnhcd21n线性相位要求：线性相位要求： 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法73(3) 求窗函数。求窗函数。 由阻带最小衰减由阻带最小衰减2确定窗形状，由

54、过渡带确定窗形状，由过渡带宽度确定宽度确定n。2=50db海明窗海明窗stp6.6n过渡带宽度为：过渡带宽度为：由于海明窗过渡带宽度满足：由于海明窗过渡带宽度满足：所以所以6.66.6330.2n1162n第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法74(4) 求求h(n)。海明窗为海明窗为 )(12cos46. 054. 0)(nrnnnwn则所设计的滤波器的单位抽样响应为则所设计的滤波器的单位抽样响应为 ( )( ) ( )sin()20.540.46cos( )()1sin0.3 (16)0.540.46cos( )(16)16dcnnh nh n w nnnrnn

55、nnnrnnsin()( ) ()cdnh nn第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法75所设计的滤波器的频率响应为所设计的滤波器的频率响应为 10)()(nnnjjenheh 设计结果如设计结果如p345. 图图7-15 所示，满足要求所示，满足要求 。（5）由）由h(n)求求fir滤波器的滤波器的h (ej)=dtfth(n)。检查是检查是否满足设计要求。否满足设计要求。 如不满足要求，则要改变如不满足要求，则要改变n，或改变窗形状，或两者都，或改变窗形状，或两者都改变，然后重新计算改变，然后重新计算 。第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法76 窗口法设计的主要优点是

56、简单，使用方便。窗口函数大多窗口法设计的主要优点是简单，使用方便。窗口函数大多有封闭的公式可循，性能、参数都已有表格、资料可供参考，有封闭的公式可循，性能、参数都已有表格、资料可供参考， 计算程序简便，计算程序简便， 所以很实用。缺点是通带和阻带的截止频率不所以很实用。缺点是通带和阻带的截止频率不易控制。易控制。 第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法77 工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计更直接。更直接。基本思想基本思想 使所设计的使所设计的fir数字滤波器的频率特性在某些离散频率数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的

57、值准确地等于所需（理想）滤波器在这些频率点处的点上的值准确地等于所需（理想）滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则要有较好的逼近。值，在其它频率处的特性则要有较好的逼近。内插公式内插公式7.4 频率采样设计法频率采样设计法确定确定knkhehnkj2)()(102/ )1()2/sin()2/sin()(njenn内插函数内插函数:2( )( )( )dkjidftjjnddnnhnhehehkh nh e 频率取样点点不同于第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法78)(ejhn2h(k )(a )(b )oo)(ejdh)(ejh)(ejh图图 7-16 7-16 频率采样

58、的响应频率采样的响应 在各频率采样点上，滤波器的实际频率响应是严格地和理在各频率采样点上，滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等的。但是在采样点之间的频响则是由想频率响应数值相等的。但是在采样点之间的频响则是由各采样点的加权内插函数的延伸叠加而成的各采样点的加权内插函数的延伸叠加而成的, , 因而有一定因而有一定的逼近误差，的逼近误差， 误差大小取决于理想频率响应曲线形状。误差大小取决于理想频率响应曲线形状。第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法79一、一、 线性相位的约束线性相位的约束 设计线性相位的设计线性相位的fir滤波器，则其采样值滤波器，则其采样值h(k)的幅度

59、和的幅度和相位一定要满足前面所讨论的四类线性相位滤波器的约束相位一定要满足前面所讨论的四类线性相位滤波器的约束条件。条件。 （1） 对于第一类线性相位滤波器，对于第一类线性相位滤波器， 即即h(n)偶对称，偶对称， 长长度度n为奇数时，为奇数时， 12()( )njjh ehe（7-91）第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法80 第一类线性相位滤波器幅度函数第一类线性相位滤波器幅度函数h()关于关于=0, , 2为偶对为偶对称，即称，即 )2()( hh如果采样值如果采样值h(k)=h(ej2k/n)也用幅值也用幅值hk（纯标量）与相角（纯标量）与相角k表表示，示， 即即 kjkn

60、kjehehkh)()(/2并在并在=02之间等间隔采样之间等间隔采样n点点 knk2k=0, 1, 2, , n-1 （7-92）第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法81由由式（式（7-91）可知，必须有：可知，必须有： 21112knkknn 由式（由式（7-92）可知，）可知，hk满足偶对称要求：满足偶对称要求： kn khh第7章 有限长单位冲激响应fir滤波器的设计方法82 （2） 对于第二类线性相位对于第二类线性相位fir滤波器，即滤波器，即h(n)偶对称，偶对称，n为为偶数，偶数，则其则其h(ej)的表达式仍为的表达式仍为: 21)()()()(nehehjj 其幅度