第八章空间几何与向量代数

1、第八章第八章 向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 第一节空间直角坐标系与向量的概念第一节空间直角坐标系与向量的概念 第二节第二节 向量的点积和叉积向量的点积和叉积 第三节第三节 平面与直线平面与直线第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线 向量（矢量）：向量（矢量）： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .有有向向线线段段. 1m2m a21mm模长为模长为1 1的向量。的向量。零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量0|a21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或黑黑体体（印印刷刷体体） 或或 字字

2、母母上上面面添添加加箭箭头头 （手手写写体体） 向量的记法：向量的记法：（方向任意）（方向任意）。向量的表示：向量的表示：3/26就是线段就是线段的距离的距离自由向量：自由向量： 不考虑起点位置的向量（不考虑起点位置的向量（默认默认）. .相等的相等的向量：向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负负向量：向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a aba a平行的平行的向量：向量：ba/同向ba与与。或或反向）（共共线线4/261 加法：加法：cba abc（1）平行四边形法则）平行四边形法则特殊地：若特殊地：若ababcbac（2）三角形法则）三角形

3、法则二、向量的线性运算二、向量的线性运算abc5/26考虑物理意义考虑物理意义向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 减法减法)( baba abb b ba ba ba ab可用向径表示：可用向径表示：abababoabob oa易知，易知，|ba |a|b 6/26向向量量a与与实实数数 的的乘乘积积a 规规定定为为 ；）（ | 1aa 3向量与数的乘法向量与数的乘法:的的方方向向）（ a 2 时，时， 0 同同向向；与与 a时，时， 0 时，时，

4、0 。为为 0 反反向向；与与a 7/26数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(8/26例例1 1 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 9/26本例题利用了向量数乘的结合律和分配率x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 若三个坐标轴的正方若三个坐标轴的正方向符合向符合右手规则右手规则右手右手系系最常用（默认）最常用（默认）.三、空间点的直角坐标三、空间点的直角坐标 另一种空间

5、直角坐另一种空间直角坐标系标系左手系左手系.11/26xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有三个坐标面、三个坐标面、八个卦限八个卦限12/26向径向径om有序数组有序数组),(zyx 11),(zyxm xyzo称为称为(x, y, z)向径向径om的坐标的坐标,点点m 11点点m的坐标的坐标。xyzxyzo向量向量ab的坐标的坐标 =向径向径om的坐标的坐标a(x1,y1,z1)b(x2,y2,z2)m(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)=ab的终点坐标的终点坐标(x2,y2,z2)- -起点坐标起点坐标(x1,y1,z1)=(x2 -

6、x1, y2 - y1, z2 - z1)13/26),(zyxm xyzoijk以以kji,分分 别别 表表 示示沿沿 x、y、z 轴轴正正向向的的单单位位向向量量（标标准准基基向向量量） ), 0 , 0(zd)0 , 0 ,(xa)0 ,(yxb)0 , 0(yc，、对对 ),(),(22221111zyxmzyxm ommm21kzzjyyixx)()()(121212 按基本单位向量的按基本单位向量的分解式分解式.),(1111zyxm),(2222zyxm bmaboakzj yi x odocoa14/26五、五、 向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影1. 1. 向量的模

7、与两点间距离公式向量的模与两点间距离公式设设),(1111zyxm、),(2222zyxm为为空空间间两两点点 xyzo 1mpnqr 2m?21 mmd222212nmpnpmd 212212212 zzyyxx .2122122122121zzyyxxmmmm 两两点点间间距距离离公公式式向量的模的坐标表达式。向量的模的坐标表达式。17/26* *例例 4 4 求求证证: 以以)1 , 3 , 4(1m、)2 , 1 , 7(2m、)3 , 2 , 5(3m三三点点为为顶顶点点的的三三角角形形是是一一个个等等腰腰三三角角形形. 解解 221mm,14)12()31()47(222 232m

8、m, 6)23()12()75(222 213mm, 6)31()23()54(222 32mm,13mm 原结论成立原结论成立.18/26* *例例 5 5 设设p在在x轴轴上上，它它到到)3 , 2, 0(1p的的距距离离为为到到点点)1, 1 , 0(2 p的的距距离离的的两两倍倍，求求点点p的的坐坐标标. 解解设设p点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为p在在x轴上，轴上， 1pp 22232 x,112 x 2pp 22211 x, 22 x 1pp,22pp112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 19/262. 2.

9、方向角与方向余弦方向角与方向余弦, 0 a, 0 bab a与与b的的夹夹角角 ),(ba ),(ab 类似地，定义类似地，定义向量与轴向量与轴的夹角及的夹角及两轴两轴的夹角的夹角. 0() 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为向量的非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为向量的方向角方向角，,0 ,0 .0 xyzo 1m 2m 其余弦称为向量的其余弦称为向量的方向余弦方向余弦. .由由 cos|aax |cosaax 222zyxxaaaa 20/260222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦

10、的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式由)|,|,|()cos,cos,(cosaaaaaayyx ）（zyxaaaa,|1 a|a|1 ae 1coscoscos222 21/26解解 21mm例例7 7角角。的的模模、方方向向余余弦弦和和方方向向，求求和和已已知知两两点点2121)0 , 3 , 1()2, 2 , 2( mmmm)20 , 23 , 21( | 21mm 222)2(11)( ）（2 , 1 , 1 ;2 cos,21 cos,21;22cos ,32 ,3 .43 23/26六、小结六、小结1、向量的概念、向量的概念（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）2、向量的线性运

11、算、向量的线性运算3、空间点的坐标、向量的坐标、空间点的坐标、向量的坐标4、利用直角坐标作向量的线性运算、利用直角坐标作向量的线性运算5、向量的模、方向角、方向余弦、投影、向量的模、方向角、方向余弦、投影26/26第二节第二节 向量的点积和叉积向量的点积和叉积 一、向量的点积（数量积）一、向量的点积（数量积） 1 1引例引例 已知力 与 轴正向夹角为 ,其大小为 ，在力 的作用下，一质点 沿 轴由 点( )移动到 点( )(如图8-9），求力 所做的功？解解 力 在水平方向的分力大小为 ，所以，力 使质点 沿 轴方向(从 到 )所做的功为： (1)注意到 ， ，所以(1)式可写成: (2)fx

12、ffmxaaxbx fcosffxfxbcosfabwffababcosabfwfmab点积的定义点积的定义定义定义1 1 设向量 与 之间夹角为 （ ），则称实数 为 与 的点积点积（或数量积数量积），并用记号 表示，即 = 特别，零向量与任何向量的点积显然为0（即为数零）。注意，我们约定两向量 与 间的夹角的范围是 于是由定义1即可得：3 3点积满足的运算规律点积满足的运算规律由点积的定义容易验证点积满足下列运算规律： (1) （交换律）； ab0cosbaabbabacosbaab0babacosabba（2） （分配律）；（3） （结合律）。显然 ， 且可得到以下结论定理定理1 1 两

13、个非零向量 与 垂直（记为 ）的充分必要条件为 。证明证明（见书）。 由此定理可得到： , , ；另有 , , 。4点积的坐标表示式点积的坐标表示式 则 cabacba220cos),(cosaaaaaaaaabba0ba0 ji0kj0ik12iii1 jj1kkkzjyixa111kzjyixb222baba)()(222111kzjyixkzjyixbajjyyijxykizxjiyxiixx2121212121 由此可得上述两非零向量垂直的充分必要条件又可表为：另外，由 ,可得两向量，夹角的余弦公式：例例 试证向量 , 是互相垂直（即正交）的kkzzjkyzikxzkjzy212121

14、210212121zzyyxxba),(cosbababa222222212121212121),(coszyxzyxzzyyxxbababa3,2,1a3,3,3b 证明证明 因为 ，所以由定理1知与互相垂直。ba0)3(33231二、向量的叉积二、向量的叉积( (向量积向量积) )只做了解只做了解1 1引例引例设设 点为一杠杆的支点点为一杠杆的支点 ,力力 作用于杠杆上点 处，求力 对支点 的力矩 .解解 根据物理学知识，力 对点 的力矩是向量 ,其大小为 ，其中 为支点 到力 的作用线的距离, 为矢量 与 的夹角（如图8-10）力矩 的方向规定为：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先

15、指向 方向 ，然后让四指沿小于 的方向握拳转向力 的方向，这时拇指的方向就是力矩 的方向因此，力矩 是一个与向量 和向量 有关的向量，其大小为 ，其方向满足：fmofpofomsinopfdfmfsinopfdofopmopfmmopf（1） 同时垂直于向量 和 ；（2）向量 ， ， 依次符合右手螺旋法则2叉积的定义叉积的定义定义定义2 两个向量 和 的叉积（也称为向量积）是一个向量，记作 ，并规定如下： （1） ； （2） 的方向规定为： 既垂直于 又垂直于 ，并且按顺序 ， ， 符合右手螺旋法则（如图8-11）若把 ， 的起点放在一起，并以 ， 为邻边作一平行四边形，则向量 与 的叉积的模

16、 即为该平行四边形的面积（如图8-12） sinbabamopfopfmabba),(sinbababababaababbaabbaab第三节第三节 平面与直线平面与直线一、平面的方程一、平面的方程1.平面的点法式方程平面的点法式方程（1 1）. .法向量法向量如果一个非零向量垂直于一个平面，则称此向量为该平面的法（线）向量法（线）向量。（2 2）. .平面的点法式方程平面的点法式方程已知点 为平面 上一点，向量 为平面 的法向量，求平面 的方程。设点为 平面 上任意一点，连结 成向量 （见图8-13）。 ),(0000zyxmcban,),(zyxmmm0mm0由于平面 的法向量 垂直于 上

17、任一直线，故有 ，从而得到 ，即有 ，于是得方程为： （1）显然平面 上任一点满足方程（1）；反之，若点 不在平面 上，则 不垂直 ，从而 ,即点 的坐标不满足方程（1），故方程（1）是平面 的方程。平面 是方程（1）的图形，我们称这种由平面 上一定点和其法向量所确定的平面方程为平面点法式方程平面点法式方程nnmm000nmm 0,000zzyyxxcba0)()()(000zzcyybxxa),(zyxmmm0n00nmmm2.2.平面的一般方程平面的一般方程由上面的讨论可以看出，任一平面方程都是三元一次方程。反之，任一三元一次方程 (2)的图形必为平面。 这是因为任取满足方程（2）的一组数

18、 ，有: （3）式（2）式（3），得 , 这是过点 且法向量 的平面方程，即任一三元一次方程的图形是一平面。我们称方程为平面的一般（式）方程平面的一般（式）方程，其中 。 下面研究几种特殊位置的平面方程：（1）若 ，则平面一般方程变为 ,由 于点满足方程，故它表示通过原点的平面。0dczbyax)0(222cba),(000zyx0000dczbyax0)()()(000zzcyybxxa),(0000zyxmcban,0dczbyax)0(222cba0czbyax0d)0,0,0(即 。在这里，我们规定两平面法向量间的夹角为两平面的夹角两平面的夹角。例例8 8 求两平面 与 的夹角 。解解

19、 已知 ， ，故于是得夹角 。二、直线的方程二、直线的方程1.1.直线的点向式方程及参数式方程直线的点向式方程及参数式方程（1 1）. .直线的方向向量直线的方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线，则称这个向量为该直01zyx062zyx042zyx2,1,11n1,1,22n216631122) 1(1212cos2222222121nnnn3线的方向向量方向向量。（2 2）. .直线的点向式方程（标准式方程）直线的点向式方程（标准式方程）已知向量 （ 不全为零）和一定点 ，求经过点 且与平行的直线方程。设 是所求直线上的任意一点，由条件 ，而 ， （如图8-15），由二非零向量平行的充

20、分必要条件得： (4) knjmi lsnml,),(0000zyxm0m),(zyxmmm0s0000,zzyyxxmmnmls,nzzmyylxx000方程组（4）称为直线的点向式方程直线的点向式方程（也称为直线的标准式方直线的标准式方程程）。注意注意 因为 ，所以 不全为零。若其中有一个为零，例如 时，（4）式应理解为 而当有两个为零时，例如 ,（4）式应理解为 例例9 9 求过两点 ， 的直线方程。解解 所求直线的方向向量为：0snml,0lnzzmyyxx00000 ml0000yyxx)1,2,1(a)0,1,0(bkjikjibas)01() 12()01 (由直线的点向式方程得

21、所求直线方程为（3 3）。直线的参数式方程）。直线的参数式方程设一一直线的点向式方程为： ， 于是有 ， ， ，即有（t为参数） (5)我们称方程组（5）为直线的参数式方程参数式方程。2 2。直线的一般式方程。直线的一般式方程空间直线也可看作两个平面的交线，所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线的方程，即： (6)方程组（6）称为直线的一般式方程一般式方程，也称为直线的面交式方面交式方程程 。注意注意 只有两个平面不平行时才会有交线。 111211zyxtnzzmyylxx000t lxx0tmyy0t nzz0ntzzmtyyltxx0000022221111dzcybxadzcybx

22、a于是得所求直线方程为 。4 4。两直线的夹角。两直线的夹角两直线方向向量间的夹角称为两直线的夹角。例例1313 求直线 和 间的夹角。解解 直线l1，l2的方向向量分别为 ， ，故两直线间的夹角 的余弦为： 所以 。123122zyx1102:1zyxlzyxl101:21,0,11s1,1,02s212211) 1(0) 1(011) 1() 1(001cos22222232第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 定义定义 如果曲面上每一点的坐标都满足方程 ，而不在曲面 上的点的坐标都不满足这个方程，则称方程方程 为曲面 的方程，而称曲面曲面 为此

23、方程的图为此方程的图形形。例例1 1 求与两定点 ， 等距离的点的轨迹方程。解解 设 为轨迹上的点，按题意有： ， = ，化简得： 0),(zyxf0),(zyxf),(1111zyxm),(2222zyxm21mmmm212121)()()(zzyyxx222222)()()(zzyyxx0)(21)()()(222222212121121212zyxzyxzzzyyyxxx),(zyxm因此在轨迹上的点的坐标满足上述方程，而不在轨迹上的点的坐标不满足该方程，所以它就是所求点的轨迹方程。该方程是 的一次方程，它表示一个平面。例例2 2 求球心在 ，半径为r的球面方程。解解 设定点 的坐标为

24、，则点 在以 为球心，以r为球半径的球面上的充要条件为 即 。 两边平方，得 显然，球面上的点的坐标满足方程，不在球面上的点的坐标不满足方程，所以方程就是以 球心，以r为球半径的球面方程。 时，则得球心在坐标原点的球面方程为： 二、母线平行于坐标轴的柱面二、母线平行于坐标轴的柱面1.1.定义定义 直线l沿定曲线c平行移动所形成的曲面称为柱面柱面；定曲线c称为柱面的准线准线，动直线l称为柱面的母线母线zyx,),000zyx（0m),000zyx（),(zyxm0mrmm0rzzyyxx202020)()()(2202020)()()rzzyyxx（0m),000zyx（0000zyx2222r

25、zyx（见图8-17）。2.2.柱面方程柱面方程本节我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面，先看一个具体问题。设一个圆柱面的母线平行于z轴，准线c是 平面上以原点为圆心，r为半径的圆，即准线c的方程为 ，试求。在圆柱面上任取一点 ，过点的母线与 平面的交点 一定在准线c上（见图8-18），所以不论点m 的坐标中的 z 取什么值，它的横坐标 x 和纵坐标 y 必定满足方程 ;反之，不在圆柱面上的点，它的坐标不满足这个方程，于是所求柱面方程为 。注意注意 在平面直角坐标系中，方程 表示一个圆，而在空间直角坐标系中，方程 表示一个母线平行于z轴的圆柱面。 yxo222ryx),(zyx

26、myxo0m)0,(yx222ryx222ryx222ryx222ryx一般来说，如果柱面的准线是 面上的曲线c，它在平面直角坐标系中的方程为 ，那么，以c为准线，母线平行于z轴的柱面方程就是 。相仿地，方程 表示母线平行于 x 轴的柱面；方程 表示母线平行于y轴的柱面。于是，我们有结论结论：在空间直角坐标系 下，二元方程必为柱面方程二元方程必为柱面方程，且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴。例如：方程 表示母线平行于轴的椭圆柱面，方程 表示母线平行于轴的双曲柱面，方程 表示母线平行于轴的抛物柱面，yxo0,yxf0,yxf0,zyg0,zxhxyzo12222byax1222

27、2byax022pyx以上三个方程都是二次的，因此称其为二次柱面二次柱面（见图8-19、8-20、8-21）。三、旋转曲面三、旋转曲面1.1.定义定义 一平面曲线c 绕同一平面上的一条定直线l 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面旋转曲面；其中曲线c 称为旋转曲面的母旋转曲面的母线线，直线l称为旋转曲面的轴旋转曲面的轴（或称旋转轴旋转轴）。.旋转曲面方程旋转曲面方程我们本节主要讨论母线在某个坐标面上，旋转轴是该坐标面上的一条坐标轴的旋转曲面。设在 平面上有一条已知曲线c，它方程是：求此曲线c 绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程（见图8-22）。 在旋转曲面上任取一点 ，设这点是由母线上点 绕轴旋转

28、一定角度而得到。由图8-22可知，点 与z 轴的距离等于点与z轴的距离，且有同一竖坐标，即 , ,又因为点 在母线c 上， 所以 ，于是有： 。旋转曲面上的点都满足方程 ，而不在旋转曲面上的点都不满足该方程，故此方程是母线为 c ，旋转轴为z 轴的旋转zyo00),(xzyf),(zyxm111,0zym1m22yx1y1zz 1m0,11zyf0,22zyxf0,22zyxf曲面的方程。可见，只要在 坐标面上曲线c 的方程中，将 y 换成 ，就得到曲线c 绕轴旋转的旋转曲面方程。同理，曲线c 绕y 轴旋转所成的的旋转曲面方程为对于其它坐标面上的曲线，绕该坐标面上任何一条坐标轴旋转所生成的旋转曲面，其方程可以用上述类似方法求得。例例3 3 求由 平面上的直线 绕z轴旋转所生成的旋转曲面方程。解解 在 中，把 y 换成 ，得所求方程为 ，即 ，此曲面为顶点在原点，对称轴为轴的圆锥面（见图8-23）。四、二次曲面四、二次曲面由上一节已知，在空间直角坐标系中，若方程 是一次方程，则它的图形必是一个平面。平面也称为一次曲面平面也称为一次曲面；若方程 是二次方程，则它的图形称为二次曲面二次曲面。 zyo0,zyf22yx 0,22zxyfzyo