实际问题的函数建模

1、2 2 实际问题的函数建模实际问题的函数建模 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画。多联系可以用函数刻画。1.1.了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数关系了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数关系式的方法式的方法. .( (重点重点) )2. 2. 增强应用数学的意识以及分析问题、解决问题的增强应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力能力. .( (难点难点) )问题问题1 1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表中给出了实验的一组数据，这也有相应的变化，表中给出了实验

2、的一组数据，这些数据能说明什么？些数据能说明什么？环境温度环境温度/ /（o oC C）4 41010202030303838代谢率代谢率/4185J/4185J/（hmhm2 2） 60604444404040.540.55454解析：解析：在这个实际问题在这个实际问题中出现了两个变量：一个是中出现了两个变量：一个是环境温度；另一个是人体的代谢率。不难看出，对环境温度；另一个是人体的代谢率。不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系。实验数据已经给出了几这就决定了一个函数关系。实验数据已经给出了几个特殊环境温

3、度时的人体代谢率，为了使函数关系个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来。在医学中表示出来。在医学研究中，为了方便，研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来。常用折线把它们连接起来。/ /（）/41854185J/(hmJ/(hm2 2)38 4038 40 根据图像，可以看出下列性质：根据图像，可以看出下列性质： （1 1）代谢率曲线在小于）代谢率曲线在小于2020o oC C的范围内是下降的，在大的范围内是下降的，在大于于3030o oC C的范围内是上升的；的范围内是上升的； （2 2）

4、环境温度在）环境温度在2020o oC C 3030o oC C时，代谢率较低，并且较时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；稳定，即温度变化时，代谢率变化不大； （3 3）环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响）环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响. . 所以，临床上做所以，临床上做“基础代谢率基础代谢率”测定时，室温要保持在测定时，室温要保持在20 20 3030o oC C之间，这样可以使环境温度的影响最小之间，这样可以使环境温度的影响最小. .通过图像，更好通过图像，更好地把握环境温度地把握环境温度与人体代谢关系与人体代谢关系问题问题2 2 某厂生产一种畅销

5、的新型工艺品，为此更新某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了专用设备和制作模具花去了200000200000元，生产每件工艺元，生产每件工艺品的直接成本为品的直接成本为300300元，每件工艺品的售价为元，每件工艺品的售价为500500元，元，产量产量x x对总成本对总成本C C、单位成本、单位成本P P、销售收入、销售收入R R以及利润以及利润L L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？解：解：总成本总成本C C与产量与产量x x的关系的关系 C=200000+300 xC=200000+300 x；单位成本单位成

6、本P P与产量与产量x x的关系的关系 P=300+200000 /xP=300+200000 /x；销售收入销售收入R R与产量与产量x x的关系的关系 R=500 x R=500 x ； 利润利润L L与产量与产量x x的关系的关系 L=R-C=200 x-200000L=R-C=200 x-200000。以上各式建立的是函数关系。以上各式建立的是函数关系。 （1 1）从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产）从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量。量。 若若x1000,x1000 x1000 ，则可盈利，则可盈利. . (2)(2)从单位成本从单位成本P P与产量与产量x x的关系的

7、关系P=300+200000/xP=300+200000/x 可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益效益。 【提升总结】解决应用题的一般程序是：【提升总结】解决应用题的一般程序是：审题审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；系；建模：建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；识，建立相应的数学模型；解模：解模：求解数学模型，得出数学结论；求解数学模型，得出数学结论；还原：还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原到将用数学知识和方法得出的结论，还

8、原到实际问题实际问题数学建模过程：数学建模过程：实际问题实际问题抽象概括抽象概括数学模型数学模型推理演算推理演算数学模型的解数学模型的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解思考思考：（：（1 1）总费用由哪些部分组成？）总费用由哪些部分组成？（2 2）每一部分费用的表达式是什么？）每一部分费用的表达式是什么？例例1 1 某公司一年需要一种计算机元件某公司一年需要一种计算机元件80008000个个, ,每天需同样多的元件用于组装每天需同样多的元件用于组装整机整机. .该元件每年分该元件每年分n n次进货次进货, ,每次购买每次购买元件的数量均为元件的数量均为x,x,购一次货需手续费购一次货需

9、手续费500500元元. .已购进而未使用的元件要付库已购进而未使用的元件要付库存费存费, ,可以认为平均库存量为可以认为平均库存量为 x x件件, , 每个元件的库存费每个元件的库存费是一年是一年2 2元元. .请核算一下请核算一下, ,每年进货几次花费最小每年进货几次花费最小? ?12分析：分析：1.1.每次进货量每次进货量x x与进货次数与进货次数n n的关系：的关系： 2.2.进货次数为：进货次数为：3.3.全年的手续费是：全年的手续费是：4.4.一年的总库存费为：一年的总库存费为：5.5.其他费用：其他费用：8000 xn8000nx8000500 x12x2C（C C为常数）为常数

10、）(n1,nz)(n1,nz)即即n=4n=4时时, ,总费用最少，故以每年进货总费用最少，故以每年进货4 4次为宜次为宜. .令总费用为令总费用为F F18000F2x500C2x8000500nCn16500nCn24500n4000Cn4000+C，4nn当且仅当当且仅当 ，例例2 2 电声器材厂在生产扬电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重声器的过程中，有一道重要的工序：使用要的工序：使用ABAB胶黏合胶黏合扬声器中的磁钢与夹板扬声器中的磁钢与夹板. . 长期以来长期以来, ,由于对由于对ABAB胶的用量没有一个确定的标准胶的用量没有一个确定的标准, ,经常出现用胶过多经常出现用胶过

11、多, ,胶水外溢胶水外溢; ;或用胶过少或用胶过少, ,产生脱胶产生脱胶, ,影响了产品质量影响了产品质量. .经过实验经过实验, ,已有一些恰当用胶量的已有一些恰当用胶量的具体数据如表具体数据如表. .序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010磁钢面积磁钢面积/cm/cm2 211.011.019.419.426.226.246.646.656.656.667.267.2125.2125.2189.0189.0247.1247.1443.4443.4用胶量用胶量/g/g0.1640.1640.3960.3960.4040.4040.6640.6640.8120.8

12、120.9720.9721.6881.6882.862.864.0764.0767.3327.332现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系积与用胶量的关系思考如下问题思考如下问题：（1 1）磁钢面积与用胶量之间是否具有函数关系？用什）磁钢面积与用胶量之间是否具有函数关系？用什么方法可以确定他们是什么函数关系？么方法可以确定他们是什么函数关系？（2 2）在确定函数类型后，如何求出具体的函数解析式？）在确定函数类型后，如何求出具体的函数解析式？解：解：以以磁钢面积磁钢面积x x为横坐标、用胶量为横坐标、用胶量y y为纵坐标为纵坐

13、标, ,建立直角坐标系建立直角坐标系. .根据上表数据描点根据上表数据描点. .01234567850 100150200250300350400450500 x/cm2y/gy/gy/g根据点的分布特根据点的分布特点点, ,用用y=ax+by=ax+b表表示其关系示其关系取点取点(56.6,0.812),(189.0,2.86)(56.6,0.812),(189.0,2.86)代入代入y=ax+by=ax+b, ,得得方程组方程组: :解得：解得： a=0.015 47, b=-0.06350a=0.015 47, b=-0.06350这条直线是这条直线是 y=0.015 47x-0.063

14、 50y=0.015 47x-0.063 50注：取不同的点代入会得到不同直线，要注意检验注：取不同的点代入会得到不同直线，要注意检验是否符合实际问题。是否符合实际问题。0.81256.6ab,2.86189.0ab.数据拟合数据拟合: : 通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求

15、出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合这种方法称为数据拟合. .实际数据实际数据画出散点图画出散点图选择函数模型选择函数模型求出函数模型求出函数模型检验检验用函数模型解答实际问题用函数模型解答实际问题不合乎实际不合乎实际合乎实际合乎实际【提升总结【提升总结】数据拟合过程：数据拟合过程：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高身高/cm606070708080909010010011

16、0110体重体重/kg6.136.137.907.909.999.9912.1512.1515.0215.0217.5017.50身高身高/cm120120130130140140150150160160170170体重体重/kg20.9220.9226.8626.8631.1131.1138.8538.8547.2547.2555.0555.05(1)(1)根据表提供的数据根据表提供的数据, ,能否建立一个恰当的函数模型能否建立一个恰当的函数模型, ,使它能近似地反映这个地区未成年男性体重使它能近似地反映这个地区未成年男性体重y y 与身与身高高x x 的函数关系的函数关系? ?试写出这个函

17、数模型的关系式试写出这个函数模型的关系式. .【变式练习【变式练习】解：解：以身高为横坐标、体重为纵坐标以身高为横坐标、体重为纵坐标, ,画出散点图画出散点图根据图的分布特根据图的分布特点点, ,设设y=ay=ab bx x这一这一函数来近似刻画函数来近似刻画其关系其关系; ;y/kgx/cm取两点取两点(70,7.90),(160,47.25),(70,7.90),(160,47.25),代入代入y=ay=ab bx x 得：得：用计算器得：用计算器得：a a 2, b2, b 1.021.02这样就得到函数模型：这样就得到函数模型：y=2y=2 1.021.02x x. .701607.9

18、a b47.25a b.，(2)(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.21.2倍倍为偏胖为偏胖, ,低于低于0.80.8倍为偏瘦倍为偏瘦, ,那么这个地区一名身高为那么这个地区一名身高为175175, ,体重为体重为7878的在校男生的体重是否正常的在校男生的体重是否正常? ?解析解析: : 将将x=175x=175代入代入y=2y=2 1.021.02x x，得，得y=2y=2 1.021.02175175用计算器得：用计算器得：y y 63.98 63.98由于由于 7878 63.9863.98 1.221.2,1.221.2,所以这个男生偏胖

19、。所以这个男生偏胖。1.1.一家旅社有一家旅社有100100间相同的客房，经过一段时间的间相同的客房，经过一段时间的经营实践经营实践, ,旅社经理发现，每间客房每天的价格与旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：住房率之间有如下关系：每间每天房价每间每天房价住房率住房率2020元元1818元元1616元元1414元元6565757585859595要使每天收入达到最高，每间定价应为（要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）A.20A.20元元 B.18B.18元元 C.16C.16元元 D.14D.14元元C C2.2.将进货单价为将进货单价为8080元的商品按元的商品按909

20、0元一个售出时，能卖元一个售出时，能卖出出400400个，已知这种商品每个涨价个，已知这种商品每个涨价1 1元，其销售量就减元，其销售量就减少少2020个，为了取得最大利润，每个售价应定为个，为了取得最大利润，每个售价应定为( )( )A.95A.95元元 B.100B.100元元 C.105C.105元元 D.110D.110元元A A3.3.某厂一月份的产值为某厂一月份的产值为1515万元，第一季度的总产值是万元，第一季度的总产值是9595万元，设月平均增长率为万元，设月平均增长率为x x，则可列方程为（），则可列方程为（）A.95=15A.95=15（1+x1+x）2 2 B.15B.1

21、5（1+x1+x）3 3=95=95C.15C.15（1+x1+x）+15+15（1+x1+x）2 2=95=95D.15+15D.15+15（1+x1+x）+15+15（1+x1+x）2 2=95=95解析：解析：二月份的产值为：二月份的产值为：1515（1+x1+x），三月份的产值为：），三月份的产值为：1515（1+x1+x）（）（1+x1+x）=15=15（1+x1+x）2 2，故由第一季度总产值，故由第一季度总产值为为9595，得，得15+1515+15（1+x1+x）+15+15（1+x1+x）2 2=95=95D D4.4.某工厂今年某工厂今年1 1月、月、2 2月、月、3 3月生产某产