Shapley公式在党派决策中的运用

1、shapley公式在党派决策中的运用作者：*泉*云*珠摘要本文创造性的运用shapley公式分析研究了不同党派在决策小的权重问题。模型基于假 设同一个党派中的议员观点相同。对于问题一，直接运用shapley公式即可，对于两道证明 题，没有给出各个党派准确的席位数，但是基于证明题白身的特点，市特殊到一般的方法, 运用c语言工具给出满足题h数值耍求的几个例子,z后运用字母替代运用shapley公式证 明命题成立的普遍性。在研究过程屮，随着党派数目的改变，党派席位的改变，决策成立条 件的改变使问题的本质逐步凸显，对于问题的研究也逐步深化。关键字决策 shapley公式权力指数关键加入者（一）问题重述

2、在这个问题中，不同的党派占冇不同的席位，根据决策成立的条件运用shapley公式计 算各个党派在决策中的权重。本题通过给出不同的党派数目，各自不同的席位，以及不同的 决策成立条件來逐步深入对问题木质的理解。a b c d四个党派分别拥有40、30、20、10个席位，给定的决策成立条件是至少需要 2/3多数赞成，在这种要求下运用shapley公式计算不同党派的权重，并合理的假定同党派 议员投票一致。当议会由三个党派组成，法律规定赞成栗达到半数时提案即被通过的条件。在这种条 件下要求证明（1）貝要有一个党派的席位达到总席位的一半，则其余两个党派在议会屮事 实上根本不起作用。（2）若三个党派所拥冇的

3、席位数均未达到一半，则三个党派在议会中所 起的作用完全相同，无论它拥有多少席位。我们的目标就是根据题口所给的党派席位的条件，以及决策成立的婆求运用shapley 公式來计算出各个党派在决策屮的权重。（二）假设及符号规定21模型假设：（1）同党派议员投票一致。（2）参与投票的党派议员是理性的，在群体博弈屮，一般是考虑理性 人的，而且它也符合arrow的两个公理和五个合理性条件。22符号定义：1. n=ai , a2, a3, a4 an表示n个参与者的集合2. rn个参为者的排列3.s为r中的一个排列4. 片（$）为包括参与者i及他z前的参与者集合组成联盟的支付值5. 岭7（可为在他z前的参与者

4、（不包括i）集合的联盟的支付值6. （/2,v）参与者i的边际贡献（三）模型的建立与求解31shapley公式，是博弈论里一个重要内容，从其捉出到现在己得到广泛的运用，涉及多 个领域。很多分配，决策等问题都可以用shapley值公式加以解释。3.2针对提出的笫一个问题，参与者集合为：n=a,b,c,d由各党派所占席位数可以先求席位数比率，以方便后续计算：a = = 0.4 , b = = q.3 , c = = 0.2 , £> = = 0.1100 100 100 100若集合5g ab .abc ,abd 9acd 9abcd （i大i为必须超过%的席位才 能通过，%也不能

5、通过），贝i组成联盟支付值vy（5）=l若集合 5ga,bcbcbdadac,cd,bcd,0,shapley具体公式为：小尺（认）-叽"）0 （ s ）二.n可以列出如下表格表（1）各种可能排列及边际贡献值表（附：行abcd对应列a代表表达式v(a)-v(0)的值,其余以此类推）可能排列abcdabcd0100abdc0100acbd0100acdb0001adbc0100adcb0001badc1000bacd1000bcda1000bcad1000bdac1000bdca1000dabc0100dacb0010dbca1000dbac1000dcab1000dcba1000ca

6、bd0100cadb0001cdab1000cdba1000cbad1000cbda1000边际贡献14622权重7/121/41/121/12所有排列的顺序是等可能的，在每一个排列下,每个参与人对这个排列有一个边际贡献, 若参与人使提案得以通过，他的边际贡献为1,若参与人不能使提案得到通过，他的边际贡 献为0, 个党派在很多情况下都作为关键加入者出现，表明他在很多情况下对提案通过的 贡献大，自然他的权力就大，反z就小。根据这种方法计算出來的数值能够反映决策群体中 各个党派的权力大小。3.3对于证明题我们先可以从特殊例子说明下是否合理。 随机性的验证可以通过编程实现（代码见附录）。mc: do

7、cu>ent s and settingsad*inisrat or桌面debugcppl. exe*360 30 104 0 0355 40 54 0 0351 48 14 0 0fess any key to continue.图（1）第一行输入的是输入组数，第二行输入的是该组参与者数，第三行输入的为每个参与者的席位数，第四行则显示了各口的权利指数，可见只要有一个党派达到50%以上，那么其 他两个党派则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用。图(2)可见若三个党派所拥冇的席位数均未达到一半，则三个党派在议会中所起的作用完全相 同,(不论它拥有多少席位)。卜-面我们还是用shapley

8、公式验证该结论的正确性分别设三个党派为e, f, g,所占席位比率分别为a, b, y对于证明一不妨设q >50%若 s w e, ef , eg, efg则丹(s) = 1若swf,g,fg,0则 v,.(5)= 0表(2)各种可能排列及边际贡献值表可能排列efgefgl(v(e)-v(0)0(v(ef) -v(e)0(v(efg)-v (ef)egfl(v(e)-v(0)0 (v (egf)-v (eg)0 (v (eg) -v(e)fge1(v(fge)-v(fg)o(v(f)-v(0)0 (v (eg) -v (f)feg1 (v (fe) -v (f)o(v(f)-v(0)0(

9、v(feg)-v (fe)gfel(v(gfe)-v (gf)0(v(gf)-v (g)o(v(g)-v(0)gef1(v(ge)-v(g)0 (v (gef)-v (ge)o(v(g)-v(0)边际贡献600权重100验证了结论的普遍性a <0.5对于证明二条件有<0vo.5 ,/<0.5若$wef,eg,fg,£fg，则 v,.(5)= 1若 $we,f,g,0,则岭($) = 0表（3）各种可能排列及边际贡献值表可能排列efgefgo(v(e)-v(0)1 (v (ef) -v (e)0(v(efg)-v (ef)egf0(v (e)-v(0)0 (v (eg

10、f)-v (eg)1 (v (eg) -v(e)fge0(v(fge)-v(fg)o(v(f)-v(0)1 (v (fg) -v(f)feg1 (v (fe) -v (f)o(v(f)-v(0)0 (v (feg) -v (fe)gee0 (v (gee)-v (gf)1 (v (gf)-v(g)0(v (g)-v(0)gef1(v(ge)-v (g)0 (v (gef)-v (ge)o(v(g)-v(0)边际贡献222权重1/31/31/3验证了结论的普遍性。（四）模型评价，改进及推广本文在理解文意的基础上，为党派在决策中权重的问题建立了 shapley数学模型，在已 知各个党派席位和决策成

11、立条件的情况下对各个党派的权重计算。在h常住活屮，我们会觉 得党派所占席位的多少代表着它的权重，但是这些只是表面上的我们看到的，不是问题的实 质。shapley模型为我们解决权重问题，更加清晰的看清问题的木质提供了方法。题冃对议会党派投票做了简单的处理，这就方便用简化了的模型去论证，可在实际生活 中对于席位数，党派数及其占冇席位数这些影响问题的关键要索存在着不确定性，如若放在 更为-般的情况下，随着席位数，党派数的增多及各口占有的席位比率的变化，运用shapley 模型进行普遍论证，存在一定难度。若结合计算机将shapley公式推广，效果会更好。这些研究过程中计算和证明的结果对于实际生活中党派

12、z间席位的分配以及决策成立 条件的改进提供了经验和借鉴。（五）参考文献1.潘天群，博弈生存:社会现象的博弈论解读凤凰出版社2010.6.1江文奇，群体决策中专家联盟的影响指数的研究运筹学学报.2006.10.4（六）附录模型随机性验证代码:#includc<iostrcam> using namespace std; int last21 j;int vist21;int al ()()()(); intb10000;int main()int t,sumj j,t,k,n,ii； scanf(” d“,&t); whilc(t)scanf(” d“,&n);sum=o;for(i=();i<n;i+)scanf("%du,&lasti); sum+=lasti;)memset(vist,0,sizeof(vist);for(ii=0;ii<n;ii+)for(i=0;i<=sum;i+)ai=o;bi=o;aloj=l;for(i=0;i<n;i+)if(i=ii) continue; for(j=0;j<=sum;j+) if(aul=o) continue;for(k=0,t=0;k+j<=su m&&tv=l