平面向量中“三点共线定理”妙用

1、平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量a,b（b O）,ab的充要条件是：存在唯一的实数，使a b由该定理可以得到平面内三点共线定理：点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点uuvIV UJV的0,存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB且x y特别地有：当点P在线段AB上时，x 0,y 0当点P在线段AB之外时，xy 0笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两 个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两 个推

2、广形式的妙用，供同行交流。例1 （ 06年江西高考题理科第7题）已知等差数列an的前n项和为Sn，若uuj uuriuuOB a,OA a200 OC，且A、B、C三点共线，（设直线不过点 0）,则S200=（）A. 100B . 101C. 200D . 201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1, S200 200 如0） 100,故选A2点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经 典的咼考题14例2已知P是 ABC的边BC上的任一点，且满足AP xAB yAC,x.y R，则 - x y的最小值是 解：Q点P落在VABC的边BC上 B，P,

3、C三点共线uuu Q APuuuujurxAB yAC且 x>0,y>014()(xx y4xQ x>0,y>0由基本不等式可知:4x4x4，取等号时y 4xx y4x22xQ x 0, y 0 y 2x Q x13，yI，符合1所以丄x4的最小值为y点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起,较综合考查了学生基本功.例3 （湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在ABC中,UULT 1 UULTuuuAN 3nc，点 P是BC上的一点，若APUUU 2 UULTmAB石AC，则实数m图2的值为（A. 211B. 511C. 31

4、1D.-11解：Q B, P,Nuuu三点共线，又Q APuuu 2 mAB2 UULT AC 11uuumAB2UULT4AN 11uuu 8 uuu" mAB AN 11m §111m -，故选C11例4 （07年江西高考题理科）如图3，在AABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点uuuM、N，若 AB =m AM , AC=n AN，贝U m + n的值为解：Q因为O是BC的中点，故连接AO,如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:UULTUUUUUULTQ AB= m AM ， ACUULT 1 uuu uuurAO (AB AC)

5、2UULTnAN图3uur AOUULTAO1 UUULTUULT(mAM n AN)2m UUUU n UULT AM -AN2 2又Q M ,O, N三点共线,由平面内三点共线定理可得：m 21 m n 2P、Q例5 （广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示:点G是AOAB的重心,设OPxOA，OQ yOB，证明：1 1疋疋值，x y证明：Q因为G是VOAB的重心,UULT21 UUU UUU1 UUUUULTOG(OA OB)(OA (3 23OB)UUTUUTUJU 1 UJUxOAOA OPUULTUUUUULTQOPQOQyOBOBxUULT1 UUU UUU11 UUU 1

6、(OA OB)( OP 33 xyUULTUUUT1 UUUOP 3xOGOQ)OG1 1又QPGQ三点共线，3X 3y11 1x y3-x分别是边OA、OB上的动点，且 P、G、Q三点共线.1 UUITOQ y1为定值y1 UULTOQ 3y图5例6 （汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,占八、）UUU T 记 AB a，UULTADT b，UULT则AG2 T 1T2t3t小3T1 T4T2tA.a bB.abC. abD. ab77777777UULT 1 ULUU UUUT 1 UULT在平行四边形ABCD 中, AE - AB , AF - AD ,CE与BF相交

7、于G 34图6分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解解：Q E,G,C三点共线,urnrAGuuuunrxAE (1 x)ACuuuAG1 r rx a (1 x)(a3uuu 1 uuu ,Q AE -AB 3 r 2x r b) (1 亍)a (11 r uuur r r a , AC a b3x)b又Q F,G,B三点共线,由平面内三点共线定理可得:存在唯一的一对实数使得unrAGuuuAB (1uuu)AFuuu 1 uuirQ AF AD4unrAGa (11 r)4b由两式可得:

8、2x36737luirAG点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上）,由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得利用平面内三点共线定理构造方程组求解， 避免了用的向量的加 法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂， 达到了简化解题过 程的效果。例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AM : AB=1 : 3,AN : AC=1 : 4,BN 与CM相交于点P,且AB a , AC b，试用a、b表示AP图7解：QN,P,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x,y使uuu uur unr得 AP xAB yAN,x y 1Q A

9、N : AC=1 : 4, ANAC丄buuuuuuyuuur yr 1 xrxab xab APxABAC44444又QC,P,M三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得unrAPuuuu AMuuuAC,1/AM : AB=1 : 3 AM1 - -AB 313a，unrrr1rrAPabab3313由两式可得：x3x118Q x y 1, yuuu 3 r AP a1 x2111111411J例6的变式二：如图8所示：直线I过YABCD的两条对角线AC与BD的交点0 ,与AD边交于点N,与AB的延长线uuu. uur一,交于点 M。又知 AB = m AM , AD

10、= n AN，贝U m + n= _解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点UULT 1 uuu uuruuuumrAO (AB AD)Q AB = m AM , AD = n AN2uur iuuiuruur m uuuu n uurAO (mAM nAN ) AM AN 又Q M ,0, N 三点共线，2 2 2由平面内三点共线的向量式定理可得：m - 1 m n 22 2定理的推广：x,y使彳图：iouuvOPuv uuvxOA yOB 且 x y 1。点O,P位于直线 AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数uuu i uuu uur例7已知点P为VABC所在平面内

11、一点，且 AP丄AB tAC （t 3若点P落在VABC的内部，如图11,则实数t的取值范围是（）A 3A -（。，4）1 3B.（越）C.（列D.(0,2)解：Q点P落在VABC的内部A,P两点在直线BC的同一侧,图111由推论2知：-t 132t 3，所以选D例8（ 06年湖南高考题文科）如图12 : OM /AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）且OP xOA yOB，则实数对（x,y）可以是（）图12A G4)B.( i，t) C. (4,3)D.(1，所以A,D两解：由题目的条件知：点O与点P在直线AB的同侧，所以x选项不符合。对于选项B、C,都有x

12、 y 1,但当x2时,如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知:如果点P在直线OM上,uuu uuuOM /AB可知：OP | AB，由平面向理共线定理可知:数 t,使uuu 得 OPuuu mu urnumr uuutAB t(OB OA)tOA tOB，Q OP xOA yOB t x,tt 3，y又因为点P在两平行直线AB、OM之间,1 1对选项C同理可知：当x 1时，1 y2所以235，故y45y -,故B选不符合。333符合，4所以选C例9 （06年湖南高考题理科）如图13,OM /AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边uuuuuu u

13、uu1界）运动，且OP xOA yOB ,当x ?时，y的取值范围解：当x2时,图13如果点3P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：y勺如果点P在直线0M上,uuu uuuOM /AB可知：OPPAB，由平面向理共线定理可知:uuu数 t,使得 OPuuutABuuut(OBuuuOA)tOAuur tOB ，Q OP xOAyOB t x,tt 2，y12，又因为点P在两平行直线AB、OM之间,所以所以实数13y的取值范围是：（厂L练习：uuuujuuju r uuu r则OP()“ 1r2r2r1rA. abB.ab33333. OAB，点 P 在边 AB 上, AB 3AP

14、，设 OA a, OB b， uuu1 r2r2 r1 rC. -abD.ab33331、平面直角坐标系中,ujiruuuO为坐标原点，已知两点A(3,1), B(-1,3),若点C(x, y)满足OC = aOA +卩uurOB，其中a氏R且a+ 3=1，则x, y所满足的关系式为（）A. 3x+2 y-11=0B. (x-1)2+(y-2)2=5C. 2x-y=0D. x+2 y-5=0一 一142、已知P是 ABC的边BC上的任一点，且满足 AP xAB yAC,x.y R，贝U - x y的最小值是3、在平行四边形ABCD中，0是对角线AC与BD的交点,E是BC边的中点,连接DE交AC

15、于点 F。已知 AB = a, AD = b，则 OF =（）A. -a+ -bb. -(a+ b)364C.丄(a+ b)6D . 6+ 丄 b64、（2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形 ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB、BC分别为a、b，则AH =（）24242424A. a_ bB. a + _ bC一a+_b D ._ a_ b555555555、 (2008年广东卷）在平行四边形ABCD 中,AC与BD交于点0, E是线段OD的中点，AEuuruuuruuu的延长线与CD交于点F .若ACa, BDb，则AF ()1 1 ,21,11 ,12,A.ab B.abC. abD. - ab42332433uuu6、在平行四边形 ABCD中，AE1 uuu uuur-AB,AF3小 uULT则AG=()21 u23UA.abB.ab77771嚣,CE与BF相交于点G,记AB a，嚣b，C 3a !bD 爲务7777ujun则0M(结果用a与b表示)uuuri uu