平面向量知识归纳和题型总结

1、平面向量章节分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有代数形式和几何 形式的“双重身份”，能融数形于一体，是沟通代数与几何的天然桥梁， 能与中学数学容的许多主干知识相结合，形成知识交汇点向量是沟通 代数、几何和三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学 和物理学科中有重要应用向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，向量概念引 入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系，例如平行、 垂直、夹角、距离等对本章的学习要立足基础，强化运算,重视运用，能根据向量的概念、 定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何 中的一些证明和计算问题.平面向量的概念、几

2、何运算和基本定理1.向量的相关概念密王a腔目弋屮空肖肯H1苗尝用(*. J, c惑用荀向越段的起点与圾点 肝大写亭母未示.in 7S *磁丸零證向盘记沟弘芳向主忏訓棒向至和 任何链平床千行曲工总向車方向惘丽或相用的1F琴向車幵何1:1讦向至经订匚称 斤忌可U術陌Y直搖-相等向蚩献度叩等三左向用司刖口重相等剤 韋理迈平移后总可匹音"记r.対 d J *J相藏向奉导甸重；氏度相寻.右向相蔗的间逼， 3膻；的相屋向童"iB作-Q向重的模卢商壘的知卜即商璽的模帐卧记刁叭刁万严2向量的线性运算i曉莫1+和聽运直二订尿算乩*JL 何 肓1.2SW)-2平齐四幌注则*豐踊三甫搭底刖伺起

3、点洼冬歪应臺终点，芳 向扌前制向軒1損关麹力冃秫；|4】方黄系抵*n十狂Z+鉀Jn +)+t? - a +=向董加减生互滋运算fr-+-»:-占= d+(-方卜讪说;=0咖审 皿+禺=说+活屮 (k+丄仪二也+貼模 的l.ahb且辰向,|j+J|=|(? 4|i * 応"辺反向：| 7+张|刁-间卜3.前不平&| n +F忖d |+ 0 |总护3向量的共线定理 T非零向量a与向量b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使buuu ujut延伸结论：代B,C三点共线AB/ AC4平当且仅当有唯一uuuR,使 ABUULTAC的基本定理个平面两个不共线向量 ，那么对这平面的任

4、一向量jtur uu2色，其中不共线的向量 e,e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底UT UTTUUTTU练习：（1）已知©,：是平面向量的一组基底，ay1e2,b x2eiTTTT若ab当且仅当x1x2且y1y2.若a0,则x1x20.UUU UUUUULT_UUU UUU（2）如图OA,OB为单位向量，|OC| 2、_3,其中OA,OB的夹角为120o，OA,OC的夹 uuuruuu角为30o。若OC OB如果e, e是TIT使:a1e1a,有且只有对实数入1, XurE ,uuu uuuruuuOA，求,的值。uuuu uuu uuur5.个常用结论： ABC中，M为边J B

5、*的中T点T则有：2 AM AB AC .练习：设 ABC的重心为点G，设AB a, AC b.试用a,b表示AG .典型例题分析：知识点一：基本概念例1.ur uu1. 如果e,e2是平面 两个不共线向量，那么下列各说法错误的有（）UT ' uu ee2 （ , R ）可以表示平面的所有向量；平面的所有向量都可以表示成UT UU6e2（ , R）。rituu 对于平面中的任一向量a使ae1e2的，有无数多对；- 一ITUTITUTUTUUUTUT 若向量心 洱2与202e2共线，则有且只有一个k R, 2©2e2k（ 1©代）ur ur r 若实数，使$e2 0,

6、则0.A. B. C. D.练习：1）判断下列命题的真假（1）向量AB与向量CD为共线向量，则四点共线.若AB rCDT则四边形fBCD为平行四边形.若向量a / b ,b Pc则a Pc.T rr ruuuuuuuuuuuuUULTuuurUUUUUUUUULTUUUUUU(1)ABBCCA;(2) (ABMB)BOOM ;(3) OAOCBOCO；uuuuuurUUlUUUlUUULTUULTUULTuuurUULTUULT(4) ABACBDCD ；(5) OAODAD ;(6) ABADDC ;UULTuuuuuuuUULTNQQPMNMP.例1.化简:UULTUUUUUULTa, b

7、是两个向量，则|a b | |a | |b |当且仅当a,b不共线时成立 知识点二：向量的线性运算例2.如图，四边形ABCD , E ,F分别为AD , BC的中点，求证：AB DC 2EF .UUIT UULT UULT UULT 练习：（1）已知 ABC三个顶点 A, B,C及平面一点P,若PA PB PC AB ,则（）A.P在 ABC部 B.P在 ABC外部 C P在AB边所在直线上D P在线段BC上UUU UUU UULT UULT 设M是平行四边形 ABCD的对角线的交点，0为任意一点，则OA OB OC OD = uuuuuuuuuuuuuuuuAOMB.2OMC.3OM D.4

8、 OM知识点三：平面向量基本定理和共线定理UT UTT UT UT T UT ITT T UT UU T T T例1.1）已知e,e2为不共线向量，a3e12e2,b2qe2,c 7e4q用a,b表示c.ur ur2)设©，仓是两个不共线的向量，已知A, B,D三点共线,求k的值.例2.证明:平面三点A,B,C共线uuu uuiunr使 OA mOB nOC,且 m n 1.练习：证明：平面三点A,B,C共线r0,且 I muuu uuu uuur 使 IOA mOB nOCuLurit urluiltituu uuir itur 卄AB2eke2,CB2e13e2, CD2&

9、;e2 若存在两个均不为0的实数m,n,存在三个均不为0的实数l, m, n , n 0.rrrrrrrr 2T2r rT23)(ab)ca (bc),4)(ab)2a2a bbrrrrr rrr5)abab6)0 a0,0a0rrr rrr一、基本知识回顾： r r若ac,则 a ca/b,b/c ,则 a/c.2)向量数量积及坐标运算向量几何表示或运算向量运算与关系向量坐标表示或运算r r平行四边形法则或三角形法则向量加减法a b (为X2,%y?)头数入与向量a的积是一个向量, 记作入a实数与向量的积r1a(X1,yJ (为，X2)r r-1 1 rrrra b a b cos a, b

10、r r数量积a br ra b X1X2y2rr存在唯一的实数，使abr r(b 0)rr向量a/ b r r( °)X1yx“2X2 y1X2y2rra b 0rr向量a bX1X2y20r尸r 2 r2a a( a a )向量的模ar / 2 2 a 7 X1y11 1r ra bc0S a，b碉向量夹角<a,b>r rX1X2 、门2cos a,b* 2 2 2 2 h % QX2y2AEJuuu3 / BCABBCA,B,C三点共线-uuuuuuuuuOA xOB yOC,且 x y 11、已知向量a,b,其中引入向量的坐标表示后a (xyjb (x2,y2)：向

11、量的坐标表示，实际是向量的代数表示在 ，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来练习：1、判断下列命题的真假1)若向量2、已知a(4, 2), b3、已知 A(4,1), B(7,4、已知点5、已知a(x,3)若 a/b,则 x ；若auuu3),则与AB同向的单位向量是 ruuu rA( 1,5)和向量a (2,3)，若 AB 3a,则点B的坐标为(5, 5T,b ( 6, 3)r，c r(1,8)，若 a(1,0),b(2,1),则 |a 3b| ,可以作为平面基底的是(uue (4,6), e2urure (2, 3), e26、已知a7)下列各组向量中A. e (0,0),

12、e,( 2,1) B.iturC.e (2, 5),e2( 6,4) D.b,则 x .uuu，与AB平行的单位向量是mb nc，数 m, n.)(6,9)1 3(，-)2 48）已知 a/ b , a二、典型例题讲解3,b4,则a在b方向上的投影为r r34, a与b的夹角为，求:4r r r rr r(1) a 在 b 方向上的投影 (2) (3a 2b) (a 2b) (3) a b2) 4、在直角uiQtABC中，CD是斜边uABu上的高，则下列等式不成立的是(A.| AC |2 AC AB b. | BC |2 BA BCuju 2 uuur umr iuur 2C.| AB| AC

13、 CDD.|CD |2例1:1）已知a3, b3）已知向量夹角为60 锐角，求t的围。r r练习:1）已知向量a,b满足eiuur uuu uur uuu(AC AB) (BA BC)|AB|21,a2, e22宀 7e2,b e te2若a与b的夹角为2)在 ABC中，已知AB2: 1)已知 A(2,3), B(4,b120o,求边AC的长度uuu3），点P在线段AB的延长线上，且| AP |1,b2, a b2,则a8,BC 7, ABC3 uun2|PB|,求点P的坐（若点P在直线AB 上）2）在 ABC中，点P在BC上，且BP 2PC，点Q是AC的中点 若PA 则BC(4,3), PQ

14、 (1,5),例3:已知向量m (a sin , 1), n严）.(I)当空且m n时，求sin2的值；2(n)当解: (I)0,且m / n时,求tan的值sin , *)（彳0,得sincos上式两边平方得sin 2因此,sin2(n)当 a 0时,m由 m / n 得 sin cossin , 1),1.即 sin 24sin2 丰1 tan22ta n 23 或 2. 3 .12分33xx例 4、已知向量 a (cosx,sin x),b(cos, sin ).且x 0,r r r r1)当ab时，求x的集合；2)求a b ； 3)求函数y a b 4 |a b |的最小值4) 求函数

15、y a b 2 | a b |的最小值35) 若fx a b 2 a b的最小值是二数 的值.r rr2 r r r r r练习：1 )设a,b是不共线的两非零向量，若| a | |b|,且a,b夹角为60°,求t为何值时a tb | 的值最小.r 33 r x x2)已知向量 a=(cos x,sin x), b = (cos, sin )且 x ,.22223 4(1) 求 a b 及| a + b |; 若f(x) = a b -| a + b |,求f (x)的最大值和最小值.向量与三角形平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系

16、以及边角关系均可以用向量表示，这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件，在这类问题中，往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的 共线、垂直、向量的模等性质，因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.三角形之心一、夕卜心.三角形外接圆的圆心，简称外心.是三角形三边中垂线的交点.(下左图)三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(上右图)三、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.(下左图)三角形切圆的圆心，简称为心.是三角形三角平分线的交点.三角形角平分线性质定理：三角形角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比 例.(

17、上右图)知识点一、三角形形状与向量1、已知向量 OR,OF2,OP3 满足条件 OR OF2 OF3 0,且 |OR | OP? | | OR | 1,求证P1P2P3是正三角形.2、则O是ABC所在平面上的一点，若(OB OC) (OB OC 2OA)ABC是三角形.uuvuuv uuiv uuu ab已知非零向量 AB, AC和BC满足(uuuuLUVAC0,UUU/ AC uuiv uuuuv) BC 0且 uuuv |AB| |AC|uuu/ BC -tutu/ |AC|BC|ABC 为4、若O为ABC所在平面一点，且满足OB OCOB OC 2OA,则ABC的形状为（ ）A.等腰直角

18、三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形AB5、已知非零向量 AB与AC满足（ABAC )BC 0 且 ABAC1AC'，则 ABC|AB|AC| AB | | AC |2为 （）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形思路分析：1.根据四个选择支的特点：本题可采用验证法来处理，不妨先验证等边三角形，刚好适合 题意,则可同时排除其他三个选择支，故选D.AB acab ac r2. 由于所在直线穿过 ABC的心,则由（）BC 0| AB | AC | AB | AC | *-ab ac 1知，AB AC （等腰三角形的三线合一定理）；又，所以 A

19、-,即厶ABC| AB | | AC |23为等边三角形，故选D.知识点二、三角形的“心”与向量重心在 ABC中，AD为BC边上的中线，根据向量加法的平行四边形法则，可得AB AC 2AD .这说明AB AC所在的直线过 BC的中点D，从而一定通过 ABC的重心.另外，G为 ABC的重心的充要条件是GA GB GC 0或1OG -（OA OB OC），（其中0为ABC所在平面任意一点），这也是两个常用的结3论.例1.已知代B，C是平面上不共线的三点，0是 ABC的外心，动点P满足1uuuuuu-(1)OA (1 )OB (1 2A.心B.垂心思路分析：取AB边的中点M,则OA3(1uiurOC

20、uuuOPuuu 由OPuuu30PMPuuuu2OM1 23uuu)OAuuur(OCMC）Oc）（ R），则P的轨迹一定通过 ABC的（ ）C.外心D.重心OB 2OM ，uuu)OB (1 2uuuu(1uuuuOM ) 3OM (1 2uur)OC)( R)可得uuuu)MC，所以R），即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线，故选D.垂心在ABC中，AB由向量的数量积公式，可得（-AC)BC 0，这说明 | AB | cosB | AC | cosCABAC所在直线是BC边上的高所在直线,从而它一定通过厶ABC的垂| AB | cosB | AC | cosC心.UUU例：若动点P满足OPUUUOAABC 的（例2.点O是 ABC所在平面的一点 的 （）A.三个角的角平分线的交点C.三条中线的交点UUU UUU思路分析：由OA OBOB AC .同理 OC外心JUJ/ AB(JUU| AB | cos BB、心UUU,满足OALUUAC 、-JUT),| AC | cosCC、垂心 -一 UUU UULTUUUOB OB OC三条边的垂直平分线的交点 三条高的交点0,则点P轨迹一定通过uuurOCD、重心UUUOA,则点0是ABCB.D.uuu uuurOB OC ,得 OB (OA OC) OB