平面几何基本定理

1、1. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）（1）锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另 一边在这边上的射影乘积的两倍.（2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上 的射影乘积的两倍.2 .射影定理（欧几里得定理）3.中线定理（巴布斯定理）设厶 ABC的边BC的中点为P,则有 AB2 AC2 =2（AP2 BP2）;论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根轴如果不 互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”.三 个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时，三条公 共弦（就是两两的根轴）所在直线交于一点.15 .托勒密（P

2、tolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC BD=AB CD+AD BC，（逆命题成立）.（广义托勒密定理） AB CD+AD BC > AC BD16 .蝴蝶定理：AB是。O的弦，M是其中点，弦 CD、EF经过点 M，CF、DE 交 AB 于 P、Q，求证：MP=QM.中线长:ma2b2 - 2c2-a17 .费马点：定理1等边三角形外接圆上一点， 到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外bcsin A =csin B =bsinC4.垂线定理：AB _CD：二 AC2 AD2 =BC2 BD2 高线长2 = 吋'p(p -

3、a)(p -b)(p -c) a接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距 离.定理2三角形每一内角都小于 120°时，在三角形内必 存在一点，它对三条边所张的角都是120 °，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点5.角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.如厶ABC中,AD平分/ BAC，则BD _AB ；（外角平分线DC =AC定理）角平分线长:ta2 2bc A /七.出i. bcp(pa)cos(其中 b cb c 2p为周长一半）正弦定理:bs

4、in Bsin A形外接圆半径)2 2 2c a b -2abcosC余弦定理:张角定理:10 .c2R，（其中R为三角si nCsin ./BAC _sin /BADsin /DAC-ACABAD（Stewart）定理：设已知 ABC及其底边上 B、C斯特瓦尔特两点间的一点 D，则有 AB2 DC+AC2 BD - AD2 BCBC DC BD圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一 半.（圆外角如何转化？）11.弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12 .圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定 理）:切线长定理：）18 .拿破仑三角形：在任意厶 ABC的外侧，分别作

5、等边 ABD、 BCE、 CAF，_则 AE、AB、CD 三线共点，并且 AE = BF=CD，这个命题称为拿破仑定理.以厶ABC的三条边分别向外作等边 ABD、 BCE、 CAF，它们的外接圆。C1、O A1、Q B1的圆心构成的外拿破仑的三角形，O C1、O A1、O B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形； ABC的三条边分别向厶 ABC的内侧作等边 ABD、 BCE、 CAF，它们的外接圆O C2、O A2、O B2的圆心构成的内拿破仑三角形，O C2、O A2、O B2三圆共点，内拿 破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具 有相同的中心19 .九点圆（Nine po

6、int round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂 心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具 有许多有趣的性质，例如：（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半（2）九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中 占八、（3） 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切 费尔巴哈定理20 .欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上.13 .布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形 ABCD 中，AC丄BD，自对角线的交点 P向一边作垂线，其延长线 必平

7、分对边21 .欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r，外心与内心的距离为 d,则d2=R2-2Rr.14 .点到圆的幂：设 P为O O所在平面上任意一点，PO=d，O O的半径为r，贝U d2- r2就是点P对于O O的幂过P任作 一直线与O O交于点A、B，UU PA-PB= |d2- r2|.“到两圆等 幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此边距离的和.23 .重心：三角形的三条中线交于一点,成2: 1的两部分;G(XaXbXc并且各中线被这个点分yA yB yo)22 .锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各重心性质：(1)设G为厶AB

8、C的重心，连结 AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，贝U AG:GD=2:1;(2 ) 设 G 为 ABC 的重心，则1S ABG = S BCG = S ACGS abc3(4) 设 I 为 ABC 的内心，BC = a, AC = b, AB = c,.A平分线交BC于。，交厶ABC外接圆于点K，则AI AK IK be"ID 茴(5) 设 I ABC 的内心，BC=a,AC =b,AB=：e, I26 .外心：三角形的三条中垂线的交点一一外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；(3)设GABC的重心，过G作DE / BC交AB于D，交AC于E，过G作PF / AC交AB于

9、P，交BC于F，过G作HK / AB交AC于K，交BC于H，则DEFPKH2 DEFPKH/八、几;2 (4 )设BCCAAB3 BCCAABG ABC的重心，_则BC2 3GA2 =CA2 3GB2 =AB2 3GC2在BCAC,AB上的射影分别为 DEF，内切圆半径为1r ，令 p (a b c) S abc 二 pr ;AE = AF = p -a; BD = BF = p -b; CE = CD = p -c : abcr = p AI BI CI .GA2GB2 GC2PB2 PC21 2 2 2(AB2 BC2 CA2)32 2 2 2=GA GB GC 3PG ( Psin2Ax

10、A sin 2Bxb sin 2CxC sin 2AyA sin2ByB O( sin 2A sin2B sin2C，sin 2A sin 2BPA2 ABC内任意一点)； 到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，GA2 GB2 GC2 最小； 三角形内到三边距离之积最大的点是重心；上述条件之一，则 GABC的重心).角形的三条反之亦然(即满足外心性质：(1 )外心到三角形各顶点距离相等(2)设0ABC的外心，则 乙BOC =2EA或£BOC=360 2/A24 .线的交点；(3) R _ abc ; (4)锐角三角形的外心到三边的4 S A距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和ab

11、cXaXbXccos A cos B cos CH ("abc+cos A cos B cos CabyA cos Acos Bab+ cos A cos ByB27 .旁心：一内角平分线与两外角平分线交点一一旁切圆圆心；cos设ABC 的三边 BC =a, AC =b, AB =c,令 _c1)osCp(a b c)，分别与BC, AC, AB外侧相切的旁切圆圆心记为Ia, Ib,Ic，其半径分别记为r a, rB ,rc旁心性垂心性质：(1)三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到 对边的距离的2倍(2) 垂心H关于 ABC的三边的对称点，均在 ABC 的外接圆上；(3) ABC

12、的垂心为 H，_则厶ABC， ABH， BCH， ACH的外接圆是等圆；(4 )设O , H分别为 ABC的外心和垂心，ZBAO ZHACCBO ZABH BCO ZHCA25 .内心：三角形的三条角分线的交点一内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等质：(1)11.BIaC=90 A,. BIbC = BICC A,(对22于顶角B，C也有类似的式子)1 IaZc ( A C)2(3 )设AI A的连线交 ABC的外接圆于D，则I (axA +bxB +cxc ayA +byB +cyc)abc ， abc内心性质：(1)设1ABC的内心，贝UI到 ABC三边的距离相等，反之亦然(2 )设 1

13、为 ABC的内心，则DIa=DB=DC (对于BI b,CIc有同样的结论)(4) ABC是厶IaIbIc的垂足三角形，且厶IaIbIc的外接圆半 径R'等于 ABC的直径为2R.28 三角形面积公式111B l=C0 A, A l=C0 B, A 1=90 CSabc222(3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若 .A平分线交外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，11ahaabs inC222 ,2 2abc22R sin Asin Bsin C ABC的内心 ABC则I为4(cot A cotB cotC)二 pr 二 p(p

14、a)(pb)(p c)，其中ha表示BC边上的293031323334353637383940414243高,R为外接圆半径，r为内切圆半径，p=J（a b - c） 一2 于边BC、CA、AB的对称点和 ABC的垂心H同在一条（与 西摩松线平行的）直线上.这条直线被叫做点 P关于 ABC三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系的镜象线.ABCABC44.牛顿定理B1 :四边形两条对边的延长线的所连线段的中r =4Rs叱前尹门亍g =4Rsi门込込亍心=4Rc。点和两条对角线的中点,三点共线条直线叫做这个四边形的牛顿线.rarBC 'btan tan 221 4勺.牛顿定理2:圆外

15、切四边形的两条对角线的中点，及该圆的"tanAtanC2 2"tantan2 246 .笛沙格定理1:平面上有两个三角形 ABC、 DEF，设它这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点,梅涅劳斯（Menelaus）定理：设 ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为47 .笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形 ABC、 DEF，P、Q、R则有AR = 1 .（逆定理也成立）PC QA RB梅涅劳斯定理的应用定理 1 :设 ABC的/ A的外角平分线 交边CA于Q，Z C的平分线

16、交边 AB于R，/ B的平分线交 边CA于0,_则P、Q、R三点共线梅涅劳斯定理的应用定理 2:过任意 ABC的三个顶点A、 B、C作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA、AB的延长线 交于点P、Q、只，_则P、Q、R三点共线塞瓦（Ceva）定理：设X、Y、Z分别为 ABC的边BC、CA、AB上的一点，则 AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条AZ BX CY件是 ZBXCCT1塞瓦定理的应用定理： 设平行于 ABC的边BC的直线与两 边AB、AC的交点分别是 D、E,又设BE和CD交于S,则 AS一定过边BC的中点M塞瓦定理的逆定理：（略）塞瓦定理的逆定理的应用定理 1:三角形的三条中线交

17、于一 点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于-一占八、塞瓦定理的逆定理的应用定理 2:设厶ABC的内切圆和边 BC、CA、AB分别相切于点 R、S、_则AR、BS、CT交于 -一占八、西摩松（Simson）定理：从 ABC的外接圆上任意一点 P 向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、 E、R,则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线 Simson line） 西摩松定理的逆定理：（略）关于西摩松线的定理 1: ABC的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上关于西摩松线的定理 2 （安宁定理）：在一个圆周上有4点， 以其中任三

18、点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西 摩松线，这些西摩松线交于一点史坦纳定理：设 ABC的垂心为H，其外接圆的任意点 P, 这时关于 ABC的点P的西摩松线通过线段 PH的中心.史坦纳定理的应用定理： ABC的外接圆上的一点 P的关 设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一 点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.48 .波朗杰、腾下定理：设 ABC的外接圆上的三点为 P、Q、R,则P、Q、R关于 ABC交于一点的充要条件是：弧 AP+ 弧 BQ+弧 CR=0（mod2 二）.49 .波朗杰、腾下定理推论 1:设P、Q、R ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关

19、于 ABC的西摩松线交于一点， 则A、B、C三点关于 PQR的的西摩松线交于与前相同的 -一占八、50 .波朗杰、腾下定理推论 2 :在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心 和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点.51 .波朗杰、腾下定理推论 3 :考查 ABC的外接圆上的一点 P的关于 ABC的西摩松线，如设 QR为垂直于这条西摩松线 该外接圆的弦，则三点 P、Q、R的关于 ABC的西摩松线 交于一占-4八、52 .波朗杰、腾下定理推论 4:从厶ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是 D、E、F，且设边BC、CA、AB 的中点分

20、别是 L、M、N,_M D、E、F、L、M、N六点在同 一个圆上，这时L、M、N点关于关于 ABC的西摩松线交 于一点53 .卡诺定理：通过 ABC的外接圆的一点 P,引与 ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线 PD、PE、PF ,与 三边的交点分别是 D、E、F，则D、E、F三点共线.54 .奥倍尔定理：通过 ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与 ABC的外接圆的交点分别是 L、M、N，在 ABC的外接圆上取一点 P,贝U PL、PM、PN与厶ABC的 三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是 D、E、F，则D、 E、F三点共线.55 .清宫定理：设 P、Q ABC

21、的外接圆的异于 A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是 U、V、 W,这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的 交点分别是 D、E、F，贝U D、E、F三点共线.56 .他拿定理：设P、Q为关于 ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是 U、V、W,这 时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交 点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线.(反点：P、Q 分别为圆0的半径0C和其延长线的两点，如果OC2=OQ XDP 则称P、Q两点关于圆0互为反点)朗古来定理：在同一圆周上有Ai、Bi、Ci、D1四点，以其中任三

22、点作三角形，在圆周取一点P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从 P向这4条西摩松线引垂线，则四 个垂足在同一条直线上.从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心一个圆周上有n个点，从其中任意 n 1个点的重心，向该 圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点康托尔定理1: 一个圆周上有n个点，从其中任意 n 2个 点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点.康托尔定理2: 一个圆周上有 A、B、C、D四点及M、N两 点，_则M和N点关于四个三角形 BCD、 CDA、 DAB、 ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上.这条直线叫

23、做M、N两点关于四边形 ABCD的康托尔线.康托尔定理3: 个圆周上有 A、B、C、D四点及M、N、 L三点，贝U M、N两点的关于四边形 ABCD的康托尔线、L、 N两点的关于四边形 ABCD的康托尔线、M、L两点的关于 四边形ABCD的康托尔线交于一点.这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点.康托尔定理4: 一个圆周上有 A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，_则 M、N、L三点关于四边形 BCDE、CDEA、 DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上.这条直线叫做M、N、L三点关于五边形 A、B、C、D、E的康托尔线. 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆

24、相切. 莫利定理：将三角形的三个内角三等分， 靠近某边的两条三 分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正 三角形这个三角形常被称作莫利正三角形.布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点.帕斯卡(Paskal)定理：圆内接六边形 ABCDEF相对的边 AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线.阿波罗尼斯(Apollonius )定理：到两定点A、B的距离之比 为定比m： n (值不为1)的点P，位于将线段AB分成m： n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.69 .库立奇*大上定理：(

25、圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同 一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边 形的九点圆.70 .密格尔(Miquel)点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是 ABF、 AED、 BCE、A DCF，则这四个三角形的外接圆共点， 这个点称为密格尔点.71 .葛尔刚(Gergonne)点： ABC的内切圆分别切边 AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为 葛尔刚点.72 .欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，

26、过M向三边作垂线，三个垂足形成的 三角形的面积，其公式：S QEF _ | R _| .2S -ABC4 R二集合1. 元素与集合的关系x A 二 x - Cu A , x CU A = x A .2. 德摩根公式Cu(aPIb)=Cu aUCuB；Cu(aU b)= Cu aPI CuB3. 包含关系A"B = Au AU B = B二 A-B= CuB-CuA二 aPICuB 儿=CuAU b 二 r4. 集合a1,a2,|l(, an的子集个数共有2n个；真子集有2n - 1个；非空子集有2n - 1个；非空的真子集有2n - 2个.5. 集合A中有M个元素，集合B中有N个元素

27、，则可以构造 M*N 个从集合A到集合B的映射；6. 容斥原理card (A UB)二 cardA cardB - card (AO B)card (A Bj C) = cardA cardB cardC -card (Ap B)5758596061626364656667681 4-card (A fB) card(B PlC) card (C 宀 A) card (Al 町 C)(3)零点式 f (x)二 a(x - xi)(x - x2)(a = 0).三.二次函数，二次方程二次函数的解析式的三种形式2(1) 一般式 f (x)二 ax bx c(a = 0);2(2) 顶点式 f(x)

28、=a(x-h) k(a=0);2 解连不等式N ： f(x) ： M常有以下转化形式二 |f(x)-M 卜： =f (x)- NM - f (x)N f(x) ： M f(x) - M f (x) - N ： 01 1. f(x) -N M -N3 方程f(x) =0在(kk2)上有且只有一个实根，与f(ki)f(k2) ：0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分 条件.特别地，方程ax2 bx c = 0(a = 0)有且只有一个 实根在(ki，k2)内,等价于 f(ki)f(k2)：0,或 f (ki) =0且ki ： -卫 勺阪,或 f仇)=0 且2a 2ki k22bk2.2a4闭区间

29、上的二次函数的最值!p,q 1上二次函数f (x) = ax2 - bx - c(a = 0)在闭区间(3)方程f (x)二0在区间(_：, n)内有根的充要条件为p2 -4q _ 0f(m)：0 或 p.mI 26 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1) 在给定区间(_：,：)的子区间L (形如L,-：/ 1,，:不同)上含参数的二次不等式f(x,t) _0 ( t为参数)恒成立的充要条件是 f (X,t)min 0(X ' L).(2) 在给定区间(_：,：)的子区间上含参数的二次不等式b的最值只能在X处及区间的两端点处取得，具体如下:2af (x) = ax4 bx2

30、c 0恒成立的充要条件是(i)当a>0 时，若bX =2aa _0a ： 02a '-p, q J， f (x)maxp,q二max ： f (p), f (qV，f(x)minFinf (p), f (q)La<0 时，若?bq2af( x)m “ pc，若沪烷)5】，则=max： f (p), f (q) 二minf (p), f(q)Lf ( X)maxf(x)min5一元二次方程的实根分布依据：若f (m) f ( n)< 0则方程f (x) = 0在区间(m,n )内至少有一个实根.设 f (x) = x2px q，贝寸(1) 方程f (x) = 0在区间(

31、m,：【3)内有根的充要条件为p2 -4q 一0f (m) = 0 或p；mI 2(2) 方程f(x)=0在区间(m,n)内有根的充要条件为? (mp>0f(n)>0f(m)f (n) v0 或p24q0 或pm £ 上 < nL 2f(n )=0.af (m)0f (m) = 0af (n) 0b _0 或 2c 0 b"0i 真值表2常见结论的否定形式Pq非pp或qp且q真真假'真真真假假真假假真真真假假假假假四简易逻辑原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n1)个小于不小于

32、至多有n个至少有(n+1) 个对所有X，成立存在某X，不成立p或qp 且q对任何X，不成立存在某X，成立p且qp 或q3四种命题的相互关系f(x,t) _0 ( t为参数)恒成立的充要条件是 f (X,t)man 乞 0(X L).4 充要条件(1) 充分条件：若 p= q，则p是q充分条件.(2) 必要条件：若 q=. p，则p是q必要条件.(3) 充要条件：若 p = q，且q = p，贝U p是q充要 条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.五函数1函数的单调性设x-i x2 - a,b ,xi x2那么(% -x2) If (xj - f (x2) 0二f (Xl

33、) - f(X2)0= f (x)在 a,b 上是增函数；Xi - X2(为-x2) If (xj - f (x2) J : 0=f (xi) -f (x2)<o= f (x)在 la, b 】上是减函数.Xi - X2'(2) 设函数y = f (x)在某个区间内可导，如果f (x)0，则f (x)为增函数；如果f (x) : 0，则f (x)为减函数.2 如果函数f (X)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函 数f (x) g(x)也是减函数；如果函数y = f (u)和 U = g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数 y = fg(x)3奇偶函数的图象特征

34、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相同，欧函数相反；，如果一个函 数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数 的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数 的定义域包括0，则必有f(0)=0;4若函数y = f (x)是偶函数，则f (x a)二f (Xa)； 若函数y = f (x a)是偶函数，则f (x a)二f (-x a).5 对于函数 y = f (x)( x R), f (x a)二 f (b - x)恒a + b成立，则函数f (x)的对称轴是函数x;两个函数2y = f(x，a)与y = f(b -x)

35、的图象关于直线a +bx对称.26 若f (x) = - f ( -X a),则函数y = f (x)的图象关于点a(,0)对称；若f(x) - - f (X - a),则函数y = f (x)为周 2期为2a的周期函数.7多项式函数 P(x) =anXn +an4Xn)+川 a°的奇偶性多项式函数 P(x) 是奇函数P(x) 的偶次项(即奇数项) 的系数全为零.多项式函数 P(x)是偶函数 = P(x)的奇次项(即偶数项) 的系数全为零.8 函数y = f (x)的图象的对称性(1) 函数y = f (x)的图象关于直线x = a对称 =f ( a + X = f( a- )xf

36、(2a - x) = f (x).a + b(2) 函数y = f (x)的图象关于直线x对称2:二 f(a mX = f( b m)x f (a +b mx) = f (mx).9 两个函数图象的对称性(1) 函数y = f (x)与函数y = f(-x)的图象关于直线x = 0(即y轴)对称.(2) 函数y = f (mx _ a)与函数y = f (b _ mx)的图象a + b关于直线x对称.2m(3)函数y = f (X)和y = f J (x)的图象关于直线y=x对 称.10 若将函数y = f (x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y = f (x - a) b的图象；若将曲

37、线f (x, y) = 0的 图象右移a 、上移b个单位，得到曲线 f (x - a, y - b)二 0 的图象.11互为反函数的两个函数的关系1f (a) = b= f (b) = a.12若函数y = f(kxb)存在反函数，则其反函数为1勺、1、，y f (x) -b，并不是 y = f (kx b)，而函数 ki1y 二f (kx b)是 y f(x)b的反函数.k13几个常见的函数方程(1) 正比例函数f (x) =cx, f (x y) = f (x) f (y), f (1) = c.(2) 指数函数f (x) = ax, f (x y) = f (x) f (y), f (1

38、) = a = 0 .(3) 对数函数f(x)=logaX,f (xy) = f (x)f(y), f(a) =1(a - 0,a =1).(4) 幂函数f(x)=x-, f (xy) = f(x)f(y), f'(1).(5) 余弦函数f ( x) = COS X,正弦函数 g(x)二 sin x，f (x-y)二 f(x)f (y) g(x)g(y)，g(x) f(0)=1,lm(1.X14几个函数方程的周期(约定a>0)(1) f(X)= f(X a)，则 f (X)的周期 T=a；f (x a)1f(x)(f(x) = 0)，f(x a)二f(x)(f(x) = 0)(2

39、) f (x)二 f (x a) = 01 f (x) - f 2(x) = f (x a),( f (x) ：= 10,1 ),则 f(X)的周期T=2a；1 f (x) =1(f (x) =0)，则 f (x)的周期f (x +a)T=3a；f (X1 X2)f(X1)f(X2)1 f(x1)f(x2)f (a) =1( f (论)f (x2) =1,0 ：| 捲-x21 ： 2a)，则 f (x) 的周期T=4a；(5) f (x) f(x a) f(x 2a) f(x 3a) f (x 4a)f (x) f(x a)f(x 2a) f (x 3a)f (x 4a),则 f (x)的 周

40、期T=5a；(6) f (x a)二 f (x) - f (x a),则 f (x)的周期 T=6a.(3) loga M n = nloga M (n R).27 设函数 f (x) = log m(ax bx c)( a 0)，记2.: = b -4ac.若 f (x)的定义域为 R,则 a 0，且二.；： 0； 若f (x)的值域为R,则a 0，且讥丄0.对于a = 0的情形， 需要单独检验.8对数换底不等式及其推广1若a 0 , b 0 , x 0 , x ,则函数ay = l Oa)gbx(11(1) 当 a b 时,在(0, )和(一，：)上 y = logax(bx)aa为增函数

41、.11(2)当 a . b时,在(0,)和(一，：)上 y = logax(bx)aa为减函数.六指数与对数1 分数指数幂m(1) a下推论：设n m 1， p 0，a 0，且a = 1，则1-( a 0,m, n N，且 n 1 ).n ma1(2) a n m ( a 0,m, n N，且 n 1).an2 根式的性质(1)(:a)n =a. (2)当 n为奇数时，n an =a ；当为偶数时，1孑北|= a,a° .、-a,a v03有理指数幂的运算性质(1)ar a ar s(a 0, r, s Q).(ar)s =ars(a 0,r,s Q).(ab)r =arbr(a 0

42、, b 0,r Q).若a > 0 ,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.(1) logm p(n p) ： log m n .(2)2 m n loga mlogan ： loga.9平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间x的总产值y，有y = N (1 p).39.数列的同项公式与前 n项的和的关系s,n =1an(数列an的前n项的和为Sn -Sn,n 一2Sn =印 a2 丨1( - an).七数列注：述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 4指数式与对数式的互化式loga N 二b= ab5对数的换底公式log mam =1,

43、N 0).=N (a 0,a =1,N0).(a 0 ,且 a=1, m 0刖n(a1 an)Sn :推论 log am J = Dloga b( a >0,且 a >1, m, n 一 m且 m = 1, n =1, N 0).6对数的四则运算法则若 a>0, a工 1, M>0, N>0,贝U(1) loga(MN Hloga M loga N；(2)Mloga loga M -loga N ； N2d 21n(a1d)n.2 22等比数列的通项公式 a其前n项的和公式为na1式n(n-1),d2a" qn)Sn 二1 - qn a1,q 13 等比

44、差数列'an二an 1 = qan d, 3二b(q = 0)的通项公式为,qa -anq丄 n , q = 1 二 1-qn aq =1b (n _1)d,q =1a* = bqn (d -b)qn-d,q右cosiq -1其前n项和公式为nb n（n -1）d,（q =1）snd 1-qn d!（b _ 一）+一n,（q 幻）1 -q q -11 -q4 分期付款（按揭贷款）每次还款x = ab（1 b）元（贷款a元，n次还清，每期利（1+b）n -1I (_ 1予 co <s , 十5畤(-1)2 si：n4 和角与差角公式(n为偶数) sin (飞二 l;,) = si

45、nr cos L：二 cos 二 sin :;_(n为奇数)cos( 二 I ) = cost cos ： + sin ： sin :率为b）.八三角函数1 常见三角不等式（1）若 x (0,)，贝U sinx ： x tanx.2若 x (0,)，则 1 . sin x cosx _ 2 . 2| sin x| |cosx |_1.（3）2同角三角函数的基本关系式tan ： - tan -tan (鳥士 1；-“)1+ tana tan Psin(、；I：, )sin(:;l：,) = sin2 ：-sin2 ：(平方正弦公式);cos(很亠卩)cos(：-)二 cos2： - sin2 ：

46、a si nx 11 bcos： =、. a2b2 si ng : )(辅助角所在象限由点(a, b)的象限决定，tan=).asin 二,cot :1 cos：5 半角正余切公式：ta n2-2si not1 - cos：2 .2 . sin t1sin cos =1, tan v= cos日,tan v cob -1.3正弦、余弦的诱导公式(_1)2sin a,sin(厂2 21(1) 2 cosa,（n为偶数）6二倍角公式sin2： -sin : cos：小2.2cos2： = cos -sin :2ta na tan 2.1 - ta n «7最简单的三角不等式及其解集2 2

47、=2cos -1 二 1-2sin ：（n为奇数）sin x a(|a|_1)：= sin x : a(| a |_1)：= cosx a(|a|_1) = cosx : a(| a |_1) =tanx a(a R)x (2k'亠arcsin a,2 k二 * - arcsin a), k Zx (2 k二-二-arcs in a,2k 亠arcsi na), k Zx (2k-arccosa,2 k二 arccosa), k Zx (2k二 arccosa,2k二 2二-arccosa), k Z9 三角函数的周期公式函数 y 二 sin( x J , xe r及函数 y 二 co

48、s(，x J ,231x (k二 arctana,k), k Z（k：-一，k： arctana）, k Z22：_ （：- -） C' ：上）角的变形：2=（二 5'）（二.-）:-（、丄）- 1：,8 三倍角公式tan x : a(a R)=x R（A, 3，为常数，且 Az 0, 3> 0）的周期丁二二；函数COy 二 tan() , x = 二，k Z (A, 3 ,:为常数,sin 3 =3sin - -4sin3 二=4sin - sin()sin()33cos3 二=4cos3 二-3cosv =4coscos( )cos( )333tanan 八=tata

49、nF-)tanF 旳1 -3ta n 日33第页共20且心0, 3 > 0）的周期Tio 正弦定理11余弦定理2 ,2a b2 2;c a兀cobsin A sin Bc 2R. sin Cc22bc cos A; b2 二 c2 a22ca cos B2b2abcosC .12 面积定理|)2 -(OA OB)2 . S.OAB入 2e2 不共线的向量e“e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4向量平行的坐标表示设 a= (X1,y1),b=区小)，且 b =0，则a 匚 b(b =0)：二 xi y2-X2炉5 a与b的数量积(或内积)a b=| all b|cos 9 6 a

50、b的几何意义数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos9的乘积.7平面向量的坐标运算(1)设a=(X1,%),b=区皿)，则a+b=(X!X2,%.)y(2)设a=(X1,%),b=区小)，则任，yj,b=)，P(x, y)是线段RF2的分G(X1X2X33y< y2y3)3OP =OP PP111(1) S aha bhbchc ( ha、hb、hc 分别表222示a、b、c边上的高).111(2) S absinCbcsinAcasinB.222113 在三角形中有下列恒等式： sin( A B) =sin C tan A tanB tanC =tanAtan

51、B.tanC14 简单的三角方程的通解sin x = a u x = k，亠(1)k arcsin a(k Z ,| a 1). cosx =a：= x =2k二 _arccosa(k Z,|a|z1). tan x = a = x = k，亠 arctan a( k Z ,a R). 特别地，有si n：二 sin ： u :-二k 亠(_1)k：(k Z). cos： = cos ： ：= :- =2k二 l'(k Z). tan - tan - = : -； (k Z).15 三角形内角和定理在厶 abc中，有 A B C =二：二 C =二 -(A B)C 二 A B2C =2二-2(A B)2 2 2八向量1 实数与向量的积的运算律设入、卩为实数，那么(1) 结合律：入(g a)=(入卩)a;(2) 第一分配律：(入+g )a=入a+g a; (3)第二分配律： 入 (a+b)=入