新教材数学探究活动的教学实践与思考

1、    新教材“数学探究”活动的教学实践与思考    【关键词】数学探究;教学策略;核心素养g633.6  【文献标志码】a  1005-6009（2021）54-0131-03【作者简介】周洁，江苏省常州高級中学（江苏常州，213000）教师，高级教师。普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）指出：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。数学探究活动是一项综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容之一，其一般步骤是：发现并提出有探究价值的数学问题;对有可能的数学结论进行合理的猜测

2、;提出解决问题的思路或具体方案;运用所学的数学知识，通过自主探索或合作研究等方式，对提出的数学结论加以论证。研读新课标和新教材，可以理出三条线索“数学文化”“数学探究”“数学建模”，它们既是贯通新教材的三条“暗线”，又是学生活动的三条“明线”。在新苏教版教材中，正文部分的“探究”，习题部分的“探究·拓展”，章节末的“问题与探究”，为学生提供了丰富的探究素材。在新人教a版教材中，同样在正文部分穿插了“探究”，在习题部分安排了“拓广探索”，部分章节后设置了“探究与发现”栏目，引导学生独立思考、自主探究、合作交流。笔者在一次活动中以“用向量法研究三角形的性质”为题进行了数学探究专题课的教学

3、实践，这里试作记述，以供参考。一、学情与教材分析听讲本课的学生来自一所普通高中新课程新教材实施国家级示范校，学生有扎实的学业基础和较强的学习能力，具备数学探究的积极性和主动性。本节课所用教材为新人教a版必修第二册第六章“平面向量及其应用”，教材在章末以专题形式设置了3课时的“数学探究”专题活动，本课例为其中的第1课时。三角形是最重要最基本的几何图形之一，三角形的性质非常丰富，是联系各种几何图形的纽带，也是培养逻辑推理能力、发展理性思维的最佳载体之一。初中阶段，学生研究过三角形的一些基本性质，但还不够深入。本章所学的向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义，因此以三角形为研究对象，用

4、向量法对它的性质进行再研究，可以使学生在已有知识的基础上，更系统地掌握三角形的性质，同时加深理解向量法在研究几何问题中的作用，并且在这个过程中，使学生对“数学探究”活动形成较为完整的体验。二、教学目标发展学生的数学核心素养是高中数学教学的导向，本节课教学目标的设置正是基于这一理念。通过创设合适的教学情境来启发学生思考，引导学生从特殊到一般，归纳方法，把握本质。具体可分为以下三点：通过用向量法证明平面几何中已学的三角形的性质，体验向量法在证明几何图形性质中的作用;通过用向量法研究三角形性质的过程，归纳出用向量法研究几何问题的一般步骤，体会数形结合的数学思想;通过用向量法对三角形其他性质的探究，体

5、会探究活动的价值、合作交流的意义，进一步培养学生的逻辑表达能力，提升直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学核心素养。三、主要教学环节课间播放3分钟自制小视频“勾股定理的证明”。1.小试牛刀。课前播放的小视频中，我们欣赏了古今中外证明勾股定理的各种方法，结合本节课的课题“用向量法研究三角形的性质”，你会用向量法证明勾股定理吗？（学生口答）【设计意图】三角形是平面几何中最常见的图形之一，其中最特殊的要数直角三角形，从学生熟悉的话题出发，营造轻松的探究范围。用向量法证明勾股定理，只用到了向量的加法运算和数量积运算，学生可以初步体会到教材上的一句话“有了运算，向量的力量无限”的含义。直角三角形中

6、还有一些常用性质，例如：射影定理，斜边中线定理等，你能用向量法证明吗？学生自主完成后，请代表上台对照实物投影讲解。还记得用初中平面几何的方法怎样证明这两个定理吗？相比而言，你觉得向量法有没有优越性？【设计意图】聚焦直角三角形，用向量法证明直角三角形中常用性质，对比初中证法，向量法无需添加辅助线，不需要太多定理的支撑，只要通过计算，就能得到结论，体会向量法在证明几何图形性质中的作用，激发学生探究的兴趣。2.温故知新。这样的例子其实我们接触了不少呢，请大家快速浏览教材第7-46页的例题和习题，找一找哪些例子也能体现用向量法研究三角形性质的优越性。请你结合课本的例题、习题，谈一谈向量法在证明几何图形

7、性质中的作用。【设计意图】向量是数形结合的完美载体，我们所学的各种向量运算都有相应的几何意义。例如：向量的加、减法运算遵循平行四边形法则、三角形法则，可以和平行四边形、三角形建立联系;数乘向量运算可以与直线的平行、线段的比例、图形的相似建立联系;向量的数量积运算可以与两点间距离、夹角等建立密切的联系。用“找一找”“议一议”的方式，引导学生思考在证明三角形性质的过程中用到了向量的哪些运算，各种运算的主要作用是什么。学生具有更多的选择权、自主权是探究活动区别于接受式学习的重要特点，学生从被动到主动，从跟着老师的思路走向自主选择、自主思考、自主探究，并在此基础上进行合作与交流，获得能力的提升。思考：

8、向量方法的意义何在？从这些例子中，你能总结用向量法研究几何问题的步骤吗？在学生发言的基础上概括用向量方法研究几何问题的步骤：（1）转化，即用向量表示几何图形中的几何元素，如点、线段、夹角等，将平面几何问题转化为向量问题，建立“形”与“数”之间的联系;（2）运算，即通过向量运算，结合运算的几何意义，研究几何元素之间的关系;（3）翻译，即用向量运算的结果解释几何图形中的关系，得到相应几何问题的结论。【设计意图】由于向量能够运算，因而它可以把原本较为复杂的思辨过程转化为较为直接的运算过程，降低了思考问题的难度。通过用向量法研究三角形性质的过程，掌握用向量法研究几何问题的一般方法，体会数形结合的数学思

9、想。提升学生的数学素养，不是一句空洞的口号，而是要落实在具体的教学过程中。在数学探究活动中，学生需要充分调用已有的数学知识和方法，独立自主地建构知识体系，才能解决问题，对学生的直觉思维能力、理性思维能力的提升都有非常积极的作用。3.巩固提升。新人教a版第52页复习巩固第2题关注的是三角形外心、重心、垂心的向量表示。让我们聚焦三角形的“心”，我们知道垂心是三条高的交点，重心是三条中线的交点，外心是三条边的中垂线的交点，如果在同一个三角形中作出它的垂心、重心、外心，你有什么想法？三角形的外心、重心、垂心三点共线，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍。这一观点是1765年莱昂哈德·欧拉

10、在他的著作三角形的几何学中首次提出的，这条直线被后人称为三角形的欧拉线。嘗试证明：在三角形abc中，垂心h，重心g，外心o三点共线，且hg=2go。【设计意图】除了用向量方法对已证的结论进行证明，我们还可以用向量方法证明以往未加证明或自己新发现的结论。在进行数学研究时，站在新的高度或从新的角度重新审视研究对象，选择新的工具或新的方法再研究，往往可以加深对研究对象的认识，甚至可以有新的发现。在探究活动中，我们要鼓励学生克服惯性思维，乐于接受新的挑战，以持之以恒的探究精神，获得积极的情感体验，形成科学的思维方式。4.课后探究。布置探究作业：用向量法研究三角形的性质。方式：独立探究、小组合作。成果展

11、示：撰写研究报告，现场汇报答辩。具体要求参看课本第65-66页。【设计意图】鼓励学生利用课余时间开展数学探究活动，其过程包括提出数学问题、解决数学问题、得到相关结论、总结反思改进。课题研究能有效激发学生的创造潜力，对培养学生的探究意识和探究能力有着积极的作用。四、案例反思与启示数学家波利亚指出，学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。新教材为我们提供了丰富的开展数学探究活动的素材，如能用好这些素材，精心设计适合学生的数学探究活动，不仅能够激发学生的学习兴趣，还能培养学生的思维能力，而且对培养学生的创新意识，提升数学核心素养会起到积极有效

12、的作用。1.精选探究问题，引领探究活动。作为探究载体的问题来源可以有多种途径，既可以利用现有的资源，如教科书、教学参考书、专业网站等，由教师筛选、设计、提供，还可以是动态的生成性的问题，如学生在生活或学习中提出的问题，解决已有问题后提出的拓展性问题等。教师常常以问题串的形式引领学生的探究活动，问题串的设计要有一点的难度和梯度，要有思维含量。2.创造探究条件，指导探究方法。除了课堂上的探究，还可以适当利用“综合实践活动”的课时，或结合学生的研究性学习，鼓励学生利用课余时间开展数学探究活动。在学生开展探究活动时，教师要注意了解学生活动的进展，并在发现值得研究的数学问题、建构探究的思路、形成解题的方法等方面加强指导。课余指导学生调用不同的数学知识解决问题，通过对问题的拓展、推广等，发现更多的数学问题，获得更多的数学结论。对于初次进行数学探究课题研究的学生，教师应在选题、开题、做题、结题等各环节进行较为具体的指导。3.多元探究评价，巩固探究成果。对于学生的数学探究活动，无论是评价的主体还是评价的角度都应是多元的。首先，要引导学生自我评价，尤其是对探究过程的反思与评价。其次，可以引导同伴间相互评价，通过交流与分享，修正、改进、完善探究的成果。通过多元的探究评价，可以使学生积累探究活动的经验，学会如