课件函数单调性

1、一、函数单调性及判别法一、函数单调性及判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abab0)( xf0)( xf定理定理1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abba证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理, ,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在,

2、 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 例例 1讨论函数讨论函数1 xeyx的单调性的单调性. 1 xey又又).,( :d解解在在)0 ,(内，内，, 0 y函数单调减少；函数单调减少；在在), 0(内，内，, 0 y函数单调增加函数单调增加.注：注：函数的单调性是一个区间上的性质，函数的单调性是一个区间上的性质，完完数在这一区间上的符号来判定，数在这一区间上的符号来判定，的导数符号来判别一个区间上的单调性的导数符号来判别

3、一个区间上的单调性.要用导要用导而不能用一点处而不能用一点处单调区间求法问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间. .导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用

4、用方方程程xfxfxf 例例2 2解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(:d)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,( )., 0 32xy 注意注意 区间内个别点导数为零不影响区间的单调性区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，例如，,3xy , 00 xy但是但是),(上单调增加上单调增加.例例3 3解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 x

5、xxxf).,(:d12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在1 ,( 时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2例例 4试证明：试证明： 当当0 x时，时，.21)1ln(2xxx 证证作辅助函数作辅助函数,21)1ln()(2xxxxf 因为因为)(xf在在), 0 上连续，上连续，在在), 0(内可导，内可导，xxxf

6、111)(,12xx 当当0 x时，时，, 0)( xf又又. 0)0( f故当故当0 x时，时，, 0)0()( fxf所以所以.21)1ln(2xxx 完完且且二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点 如图，观察抛物线如图，观察抛物线 ，它们，它们在区间在区间0，1上都是单调增加的，但弯曲的方向上都是单调增加的，但弯曲的方向不一样。不一样。xyxy,2xoy11还需要考察曲线的弯曲方向及还需要考察曲线的弯曲方向及扭转弯曲方向的点。扭转弯曲方向的点。仅知道他们的单调性是不够的，仅知道他们的单调性是不够的， 这说明，在研究函数的图形时，这说明，在研究函数的图形时，定义定义1 如果在某区间内

7、，曲线弧位于其上任意一如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在此区间内是点的切线的下方，则称曲线在此区间内是凸凸的，此区的，此区间成为间成为凸区间凸区间；如果在某区间内，曲线弧位于其上任；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在此区间内是意一点的切线的上方，则称曲线在此区间内是凹凹的，的，此区间成为此区间成为凹区间凹区间。121m2mxyo从图可看出，凹的曲线从图可看出，凹的曲线)(xf的切线斜率的切线斜率tan随随x的增大而增大，的增大而增大，)(xf 单调增加，单调增加，此时此时 ；0)( xf从图可看出，凸的曲线从图可看出，凸的曲线 的切线斜率

8、的切线斜率 随随 x 的的 )(xftan增大而减小，增大而减小， 单调减小，单调减小，此时此时)(xf 0)( xf因此，可以利用因此，可以利用二阶导数的符号二阶导数的符号来判定曲线的凸凹来判定曲线的凸凹性。性。xyo12二、曲线的凹凸性与拐点问题问题: :如用数学语言描述曲线的弯如用数学语言描述曲线的弯曲方向曲方向? ?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方221xx 221xx 2)()(21xfxf 2)()(21xfxf )2(21xxf )2(21

9、xxf )(1xf)(1xf)(2xf)(2xf,2)()()2(2121xfxfxxf(1) (1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf的)(xf则称则称图形是凹的图形是凹的; ;(2) (2) 若恒有若恒有图形是凸的图形是凸的 .的)(xf则称则称定义定义 . . 设函数设函数)(xf在区间在区间 i i 上连续上连续 ,21ixx观察与思考观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系. .xyo)(xfy abab递增递增)(xf )(xfy xyoabba0 y递减递减)(xf 0 y 定理定理2 设函数设函数 在区间在区间a,

10、b内具有二阶导内具有二阶导数，数， )(xfy （1） 如果在区间如果在区间a, b内内 ，则曲线在，则曲线在区间区间a, b内是凹的；内是凹的； 0)( xf （2） 如果在区间如果在区间a, b内内 ，则曲线在，则曲线在区间区间a, b内是凸的；内是凸的； 0)( xf 定义定义2 2 连续曲线上凹弧和连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的凸弧的分界点称为曲线的拐点拐点。注意注意 （1）拐点是曲线上的点。）拐点是曲线上的点。abcxyo0)( xf)(xf )(xf （2）拐点既然是凹凸分界点，则在拐点左右）拐点既然是凹凸分界点，则在拐点左右邻近邻近 异号，因而在拐点处异号，因而在拐点处

11、或或 不存在。不存在。例例 5判定判定)1ln(xxy 的凹凸性的凹凸性.解解因为因为,111xy 2)1(1xy , 0 所以，题设函数在其定义域所以，题设函数在其定义域), 1( 内是凹的内是凹的.完完例例 6判断曲线判断曲线3xy 的凹凸性的凹凸性.解解,32xy ,6xy 当当0 x时，时，, 0 y曲线在曲线在0 ,(为凸的；为凸的；当当0 x时，时，, 0 y曲线在曲线在), 0 为凹的；为凹的；注意到点注意到点)0 , 0(是曲线由凸变凹的分界点即拐点是曲线由凸变凹的分界点即拐点完完3xy0yx曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的

12、分界点称为曲线的拐点曲线的拐点. .拐点的求法拐点的求法:根据定义知根据定义知, ,如果如果)( xf在点在点0 x的左右两侧邻近的左右两侧邻近处异号处异号, ,则点则点)(,(00 xfx就是曲线的一个拐点就是曲线的一个拐点, ,如如果进一步要求函数果进一步要求函数)(xf在区间在区间),(ba内具有二阶内具有二阶连续导数连续导数, ,则在这样的点处必有则在这样的点处必有; 0)( xf此外此外, ,使函数使函数)(xf的二阶导数不存在的点的二阶导数不存在的点, ,也可也可能是使导数能是使导数)( xf符号发生变化的分界点符号发生变化的分界点. .综上所述综上所述, ,判定曲线的凹凸性与求曲

13、线的拐点的判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法综上所述综上所述, ,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的步骤步骤为为:(1)(2)并求出使并求出使)( xf不存在的点不存在的点;(3)检查其邻近左、检查其邻近左、右两侧二阶导数右两侧二阶导数)( xf的符号的符号, ,确定曲线的凹凸确定曲线的凹凸区间和拐点区间和拐点. .完完);( xf求函数的二阶导数求函数的二阶导数解出全部实根解出全部实根, , 0)( xf令令对步骤对步骤(2)中求出的每一个点中求出的每一个点,x)(xf )(xf)0 ,(0)1 , 0(1), 1( 0 0 凹

14、的凹的拐点拐点)1 , 0(凸的凸的拐点拐点)0 , 1 (凹的凹的例例7 求曲线求曲线1234 xxy的拐点及凹、凸的区间的拐点及凹、凸的区间.解解易见函数的定义域为易见函数的定义域为),(,6423xxy ).1(12121223 xxxxy令令, 0 y得得, 01 x. 12 x曲线的凹凸区间为曲线的凹凸区间为,0 ,()., 1 完完由由所以所以, ,凸区间为凸区间为,1 , 0拐点为拐点为).1 , 0()1 , 0(和和例例 8求曲线求曲线31)4(2 xy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解,)4(3132 xy,)4(9235 xy完完y 在在),(内恒不为零内恒不为零,

15、, 但但4 x时时, ,y 不存不存在在.)(xf在在4 x处连续处连续, , 且且, 2)4( f因此需要因此需要判断点判断点)2 , 4(是否为拐点是否为拐点. .x在在4左侧邻近处时左侧邻近处时, , 0 y在在4的右侧邻近处的右侧邻近处时时,. 0 y即即y 在在4 x两侧异号两侧异号, ,曲线的拐点曲线的拐点. . 实际上实际上, , 由曲线的图形可见由曲线的图形可见, ,确实是曲线的拐点确实是曲线的拐点, ,)2 , 4(只不过该点处的切线为沿垂只不过该点处的切线为沿垂方向的方向的, , 故一阶导数、二阶导数都不存在故一阶导数、二阶导数都不存在. .所以所以)2 , 4(是是例例

16、8求曲线求曲线31)4(2 xy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解,)4(3132 xy,)4(9235 xy完完y 在在),(内恒不为零内恒不为零, , 但但4 x时时, ,y 不存不存在在.)(xf在在4 x处连续处连续, , 且且, 2)4( f因此需要因此需要判断点判断点)2 , 4(是否为拐点是否为拐点. .x在在4左侧邻近处时左侧邻近处时, , 0 y在在4的右侧邻近处的右侧邻近处时时,. 0 y即即y 在在4 x两侧异号两侧异号, ,曲线的拐点曲线的拐点. . 实际上实际上, , 由曲线的图形可见由曲线的图形可见, ,确实是曲线的拐点确实是曲线的拐点, ,)2 , 4(只不过

17、该点处的切线为沿垂只不过该点处的切线为沿垂方向的方向的, , 故一阶导数、二阶导数都不存在故一阶导数、二阶导数都不存在. .所以所以)2 , 4(是是函数的极值函数的极值 设函数设函数f(x)在点在点x0的某邻域的某邻域u(x0)内有定义内有定义 如果对于任意如果对于任意x u(x0)有有f(x) f(x0) (或或f(x) f(x0) 则称则称f(x0)是函数是函数 f(x)的一个极大值的一个极大值(或极小值或极小值) x1x2x3x4x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数的极值, , 使函数使函数取得极值的点称为极值点取得极值的点称为极值点. . 三、函数

18、的极值及其求法 2)2)对常见函数对常见函数, , 极值可能出现极值可能出现在导数为在导数为 0 0 或不存在的点或不存在的点. .1)1) 函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质. . 极值点本质上就是单调区间的极值点本质上就是单调区间的转换点，从增区间过渡到减区间，转换点，从增区间过渡到减区间，形成极大值；反之，从减区间过渡形成极大值；反之，从减区间过渡到增区间，形成极大值。到增区间，形成极大值。几点说明几点说明 （1）函数的极值是局域性的概念，最值是全域性概念）函数的极值是局域性的概念，最值是全域性概念对整个定义域而言。对整个定义域而言。 （2）函数在一个区间上的极值可能不

19、唯一，且其中的极大值）函数在一个区间上的极值可能不唯一，且其中的极大值未必比极小值大。未必比极小值大。 （3）函数的极值只能在区间内部取到。）函数的极值只能在区间内部取到。 设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导, 且在且在x0处取得极值处取得极值,那么那么f (x0) 0. 驻点驻点 使导数使导数f (x)为零的点为零的点(方程方程f (x) 0的实根的实根)称为函数称为函数f(x)的驻点的驻点.定理定理3(3(必要条件必要条件) ) 思考思考: : 极值点是否一定是驻点？极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？驻点是否一定是极值点？ 极值点不一定是驻点极值点不一定是驻点. 如如

20、y=|x|,x=0是极值点是极值点,但不可导但不可导 驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点.如如y=x3,x=0是驻点是驻点,但不是极值但不是极值点点.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf即在可导的情况下：极值点即在可导的情况下：极值点 驻点驻点定理定理4 4 极值存在的第一充分条件（极值第一判别法）极值存在的第一充分条件（极值第一判别法）设函数设函数 在点在点 的某个邻域内可导（点的某个邻域内可导（点 可除外）可除外）( )yf x0 x0 x00,xxx00,xx x( )0fx则则 在点在点 处取得

21、处取得极大值极大值；( )yf x0 x( )0fx1（ ）( )0fx00,xxx( )0fx00,xx x则则 在点在点 处取得处取得极小值极小值；( )yf x0 x2（ ）00,xxx00,xx x( )fx同号则则 在点在点 处处无极值无极值；( )yf x0 x3（ ）0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy )( xf 左正右负左正右负 )( xf 左左负负右右正正函数极值的求法函数极值的求法综上所述综上所述, , 可将求函数极值的步骤总结如下可将求函数极值的步骤总结如下: :(2)(1)(3)确定极值确定极值点点; ;(4)完完);( xf ，并求导数

22、，并求导数)(xf 点点;kx及使及使不存在的不存在的求驻点求驻点,)(xf kx检查检查 在在 左右的正负号左右的正负号,求出函数极值求出函数极值.的定义域确定函数)(xf0)( xf解方程例例9 求出函数求出函数593)(23 xxxxf的极值的极值.解解)3)(1(3963)(2 xxxxxf令令, 0)( xf得驻点得驻点. 3, 121 xx列表讨论如下：列表讨论如下：所以所以, 极大值极大值,10)1( f极小值极小值.22)3( fx)(xf )(xf极小值极小值极大值极大值)1,( )3 , 1( 3), 3(1 完完 00593)(23 xxxxfmm图形如下图形如下例例10

23、 求函数求函数32)1()4()( xxxf的极值的极值.解解)1(函数函数 在在 内连续内连续,)(xf),(除除1 x外处处可导外处处可导 , 且且;13)1(5)(3 xxxf)2(令令, 0)( xf得驻点得驻点 ; 1 x不可导点不可导点;)3(列表讨论如下列表讨论如下:)(xf为为的的1 x例例2 求函数求函数32)1()4()( xxxf的极值的极值.解解)3(列表讨论如下列表讨论如下:)4(极大值为极大值为, 0)1( f极小值为极小值为. 43)1(3 fx)(xf )(xf极小值极小值极大值极大值)1,( )1 , 1( 1), 1( 1 0不存在不存在完完定理定理5 5 极值存在的第二充分条件（极值第二判别法）极值存在的第二充分条件（极值第二判别法）000()0),(0( ),fxfxyf xx 设函数在点 处具有二阶导数，且则001 ()0 () ( ) fxf xf x（）当时，为的极小值；002 ()0 () ( ) fxf xf x（ ）当时，为的极大值；0 x0 x0 xxy( )0fx( )0fx( )0fx0 ()0fx( )fx是增函数0 ()0fx0 x0 x0 xxy( )0fx( )0fx