导数及其应用(同步辅导教案)

1、 学好数学“三步曲”：概念-做题-反思 课 题导数及其应用重 点利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值与最值难 点利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值与最值一、 课前检测1.已知函数在处的导数为3,则的解析式可能为 ( ) A. B. C. D.解A 2.若曲线在点处的切线方程是,则（ A ）(A) (B) (C) (D) 【解析】A:本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 , ,在切线, 3.已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是（ D ）(A)0,) (B) (C) (D) 解析:选D.,即,4.设函数若则的值为( B )A. B. C.

2、D. 5.函数在区间上的最大值是A.B.C.D.解A 6.函数在区间(2,+)内是增函数,则实数的取值范围是（ D ）A. B. C. D. 二、知识梳理1函数的单调性与导数:在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；若，则函数在这个区间内单调递减2、求函数的极值的方法是：解方程当时：如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值3、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：求函数在内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4、导数在实际问题中的应用：最优化问题。三、范例分析例1.已知函数处的切线方程为(I)求c、d的值

3、;(II)求函数f(x)的单调区间解:(I) 而 (II)由 令 故 故函数的单调增区间,单调减区间(0,12) 例2.设函数.()当时,求函数的极大值和极小值;()若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.解:()当时, , 令,得,列表 -极大值极小值的极大值为,的极小值为 () 若,则,此函数在上单调递增,满足题意 若,则令,得,由已知,在区间上是增函数, 即当时,恒成立 若,则只须,即 若,则,当时,则在区间上不是增函数 综上所述,实数的取值范围是 例3.已知函数.( I )当时,求函数的单调区间;( II )若函数的图象与直线只有一个公共点,求实数的取值范围解:(I) 令,解得 令,

4、解得 所以的单调递增区间为, 的单调递减区间为 (II)因为函数的图象与直线只有一个公共点,所以方程只有一个解 , 即只有一个解 令,则其图象和轴只有一个交点, ,令,所以, 可列表:+0-0+极大值极小值 所以,在处取得极小值,在取得极大值, 要使的其图象和轴只有一个交点, 只要或, 解得 或 例4.已知为实数, (1)若,求在上最大值和最小值;(2)若在和上都是递增的,求的取值范围解:(1),由得 此时 令得 当变化时,的变化情况如下表:+0-0+0极大值极小值0 (2)的图象为开口向上且过点的抛物线 在和上都是递增的, 当或时,恒成立, 则 故的取值范围为 例5.已知函数 .()求函数的

5、单调区间与极值;()设,若对于任意,恒成立,求实数的取值范围.解: ()因为 所以. 令解得. 因为当或时,;当时,. 所以的单调增区间是和,的单调减区间是. 所以是的极大值,是的极小值 (). 由已知恒成立, 因为,所以恒成立, 即 恒成立. 因为,所以,(当且仅当时取“=”号), 所以的最小值为2. 由,得, 所以恒成立时,实数的取值范围是 四、反思1.当求出函数的单调区间有多个时，不能把这些区间取并集；2.可导函数在某点处的导数为0，是该函数在此点取得极值的必要条件，不是充分条件，即若是可导函数的极值点，则=0，但导数为0的点不定是极值点，如，在处导数，但不是它的极值点；3.极值点不一定

6、是最值点，最值点也不一定是极值点，但如果连续函数在开区间内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值；4.在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接与端点处的函数值进行比较即可，对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为0的点，导数不存在的点，端点;5.利用导数研究函数的单调性是一种非常重要的方法，但要注意（或）仅是在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立，且在区间的任意子区间内都不恒等于0。五、课外练习1. 函数在（ C ）(A)上是增函数 (B)上是减函数 (C)上是增函数 (D)上是

7、减函数 2.若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围为( C )A. B. C. D.3.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( C )A B C D 解C 当时,函数在上是增函数;当时,在上是减函数,故当时取得最小值,即有得4.设<b,函数的图像可能是（ C ）5.已知定义在R上的函数,其中a为常数.(1)若x=1是函数的一个极值点,求a的值;(2)若函数在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围.解:(I)的一个极值点,; (II)当a=0时,在区间(-1,0)上是增函数,符合题意;当;当a>0时,对任意符合题意;当a<0时,当符合题意; 综上所述, 6.设函数.（1）对于任意实数x，恒成立，求m的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围解：（1），因为，即恒成立，所以，得，即m的最大值为（2）因为当时，；当时，；当时，所以当时，取极大值，当时，取极小值，故当或时，方程仅有一个实根解得或7.已知函数的图像过点(-1,-6),且函数的图像的对称轴为轴(1)求函数的解析式及它单调递减区间;(2)若函数的极小值在区间内,求的取值范围解:(1)点(-6,-1)代入,得 得 得 故的单调递减区间是(0,2) (2)时,有极小值 ,且得 8.已知函数,若,且的图象在点处的切线方程为.()求实