函数的奇偶性

1、优秀教案欢迎下载函数的奇偶性一、学问回忆1.关于函数的奇偶性的定义定义说明 ：对于函数 f x 的定义域内任意一个x ： f xf xf x 是偶函数； f xf xf x 奇函数；留意： 函数的定义域关于原点对称的函数不肯定是奇（偶）函数，但是反过来肯定成立；2、关于奇偶函数的图像特点奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称；3、函数的奇偶性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必需成立；、可逆性：f xf xf x 是偶函数；f xf xf x 奇函数；、等价性：f xf xf xf x0f xf xf xf x0

2、、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；、可分性：依据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数；4、函数的奇偶性的判定判定函数的奇偶性大致有以下两种方法： 第一种方法 ：利用奇、偶函数的定义， 主要考查f x 是否与f x 、f x相等，判定步骤如下：、定义域是否关于原点对称；、数量关系 f xf x哪个成立；优秀教案欢迎下载f xf x判 断 fx 与偶函数函数定义域定义域关于原点对称f x 的关系f xf x奇函数定义域不关于原点对称举 反 例 非奇非偶函数定义域其次种方法： 利用一些已知函数的奇偶性及以下准就（前提条件为两个函数的定

3、义域交集不为空集） ：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数；5、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、 偶函数、 既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数；二典型例题考点 1：奇偶性的判定例 1：判定以下各函数是否具有奇偶性、 f xx32 x、 f x2x 43 x2、 f xx 3x 2x1、 fxx2x1,2、 f xx22x、 f xx211x 2解：为奇函数为偶函数为非奇非偶函数为非奇非偶函数为非奇非偶函数既是奇函数也是偶函数注：教材中

4、的解答过程中对定义域的判定忽视了；x 2 x0例 2：判定函数f xx2 x的奇偶性；0解 : f当x0020,即xf x0时, 有f xx 2x2f x当x0,即x0时, 有f xx 2x 2f x总有f xf x, 故f x为奇函数 .优秀教案欢迎下载练习：判定函数fx=x1-x x<0的单调性；x1+x x>0考点 2：关于函数奇偶性的简洁应用题型 1. 利用定义解题1例 3. 已知函数f x1a2x.，如 fx为奇函数，就 a 12 ；题型 2、利用奇偶性求函数值例 4：已知f xx5ax 3bx8 且 f 210 ，那么f 2-26.练习：已知g x42axbx6 且 g

5、 327 ，那么g 327题型 3、利用奇偶性比较大小例 5：已知偶函数f x 在,0 上为减函数，比较f 5 ，f 1 ，f 3的大小；解：f(x) 在,0 上为减函数且为偶函数f x 在 0,上为增函数；f 1<f3<f 5练习:已知 f x是定义在 ， 上的偶函数，且在 ，0 上是增函数，设 a f3 ， b f2 ， c f1 ， 就a ， b ， c的 大 小 关 系 是da. c<b<ab.b<c<ac.c>a>bd.a<b<c题型 4.利用奇偶性求解析式例 6：已知f x 为偶函数 当0x1时,f x1x,当1x0时 ，

6、求f x 的解析式？练习： 1.f x是定义在 , 上的偶函数，且 x0时，f xx3x2 ，就当 x0时， f x =.2.已知函数 f x 是定义在 ,+ 上的偶函数 .优秀教案欢迎下载当 x ,0 时， f x= x- x4，就 当 0.+ 时， f x=.题型 5、利用奇偶性争论函数的单调性例 7：如f x k2 x 2k3 x3 是偶函数，争论函数f x 的单调区间？练习：在 r 上定义的函数fx是偶函数，且 fxf2x， 如 fx在区间1,2 是减函数，就函数fx（）a. 在区间2,1上是增函数，区间3,4上是增函数b.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是减函数c.在区间2,1上

7、是减函数，区间3,4上是增函数d.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是减函数题型 6、利用奇偶性求参数的值例8 ： 定 义 在r上 的 偶 函 数f x在 ,0是 单 调 递 减 ， 如f 2 a 2a1f 3a 22a1 ，就 a 的取值范畴是如何？练习、已知奇函数f x 是定义在 2,2上的减函数，如f m1f 2 m10 ，求实数 m 的取值范畴；题型 7、利用图像解题例 9. 设奇函数 fx的定义域为 -5,5.如当 x0,5时,fx的 图 象 如 右 图 ,就 不 等 式fx 2,02,5练习：0 的 解 是如函数 f x 是定义在 r上的偶函数，在 x<0 的x的取值范畴是

8、 ,0上是减函数，且 f 2=0 ，就使得 f a.-,2b. 2,+c. -,-22,+d. -2,2三课后习题1下列说法中不正确的是（）a 图象关于原点成中心对称的函数肯定是奇函数b奇函数的图象肯定经过原点 c偶函数的图象如不经过原点，就它与x 轴的交点的个数肯定为偶数 d图象关于 y 轴成轴对称的函数肯定是偶函数优秀教案欢迎下载2函数 : 1 y2 x1 23; 2 yx2| x |4; 3 yx; 4 y| x | , x其中是非奇非偶函数的是a. 123b. 134c. 13d.13如f xax 2bxca0 是偶函数 ,就g xax3bx2cx 是a. 奇函数b.偶函数c.既是奇函

9、数又是偶函数d. 非奇非偶函数4. 假如奇函数f x在区间 3,7 上是增函数且最小值是5,就f x 在 -7,-3 上a. 是增函数 , 最小值是 -5b. 是增函数 ,最大值是 -5b. 是减函数 , 最小值是 -5c.是减函数 , 最大值是 -55. 如 y=f （ x）（ x r）是奇函数，就以下各点中，肯定在曲线y=f （ x）上的是（）a（a，f （ a）b（ sin a， f （ sin a）c（ lg a， f （lg1 ）d （ a， f （a）a6. 已知f xa2 xax2 是 r 上的奇函数，就 a =2127. 如 f x 为奇函数，且在 - ,0 上是减函数，又f

10、-2=0 ，就 xf x<0 的解集为 8.已知 y=f x 是偶函数，且在0, 上是减函数，就f 1 x 是增函数的区间是9.判定以下函数的奇偶性：（ 1） f x1x2x 21（2） f x1x1x1x（3） f x2 x110.设f x 是 r 上的奇函数， 且当 x,0时， f xx1x 3 ，求当 x0,时 f x 的解析式；11.已知函数f x 是定义在 r 上的奇函数 ,当 x0时，f x2x1,求 f x 在 r 上的解析式 .优秀教案欢迎下载12. fx 是定义在 2,2上的奇函数 ,且是单调递减函数 ,如f 2af 2a30 ,求实数 a 的取值范畴；13. 已 知

11、函 数f x ax 21bxcab ,c,n是 奇 函 数 ,f 12, f23, 且f x在1, 上是增函数 ,(1) 求a,b,c 的值;(2) 当x- 1,0 时, 争论函数的单调性.解1f x 是奇函数，就 222ax1ax1ax1c0 由f 12得 a12b ,bxcbxcbxc由 f 23a201a2a1又 an ,a0,1 .当 a0时,b1n , 舍去. 2x211当a=1时,b=1,f xxxx14. 定义在 r 上的单调函数 f x 满意 f 3= log 2 3 且对任意 x，yr都有f x+y= f x+ f y (1) 求证 f x 为奇函数；(2) 如 f k

12、83;3 x + f 3 x -9 x -2 0 对任意 xr 恒成立，求实数 k 的取值范畴 分析：欲证 f x 为奇函数即要证对任意x 都有 f - x=- f x 成立在式子f x+y= f x+ f y 中，令 y= x 可得 f 0= f x+ f - x 于是又提出新的问题，求f 0 的值令 x=y=0 可得 f 0= f 0+ f 0 即 f 0=0 ，f x 是奇函数得到证明(1) 证明：f x+y= f x+ f y x，yr ，令 x=y=0，代入式，得 f 0+0= f 0+ f 0 ，即 f 0=0 令 y=x，代入式，得f x-x = f x+ f - x ，又 f 0=0 ，就有0=f x+ f - x 即 f - x=- f x 对任意 xr成立，所以 f x 是奇函数(2) 解：f 3= log 2 3 0，即 f 3 f 0 ，又 f x 在 r 上是单调函数，所以f x 在 r 上是增函数，又由 1 f x 是奇函数f k·3 x - f 3 x -9 x -2=f -3 x +9x +2 ，优秀教案欢迎下载k· 3 x -3 x +9x +2，3 2x -1+ k ·