刚体的基本运动

1、第三章刚体力学§3.1刚体运动的分析§ 3.2角速度矢量§3.3刚体运动微分方程§ 3.4刚体平稳方程§3.5§3.7转动惯量刚体的平面平行运动§ 3.6刚体的平动与定轴转动§3.1刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1. 刚体是特别质点组dr ij =0, 留意 : 它是一种抱负模型, 形变大小可忽视时可视为刚体；2. 描述刚体位置的独立变数描述一个质点需x,y,z,对刚体是否用3n 个变量？否 , 由于任意质点之间的距离不变, 如确定不在同始终线上的三点, 即可确定刚体的位置, 需 9 个变量 ，由于两点间

2、的距离保持不 变，所以共需9-3=6 个变量即可；刚体的任意运动=质心的平动 +绕质心的转动， 描述质心可用x,y,z,描述转轴可由, ；二、刚体的运动分类1. 平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表. 需要三个独立变量, 可以看成质点力学问题. 留意 : 平动未必是直线运动2. 定轴转动 :刚体上有两点不动, 刚体绕过这两点的直线转动, 该直线为转轴.需要 一个 独立变量3. 平面平行运动:刚体上各点均平行于某一固定平面运动；可以用平行于固定平面的截面代表刚体；需要 三个 独立变量；4. 定点运动 :刚体中一点不动, 刚体绕过固定点的瞬转

3、转动；需三个 独立的欧拉角；5. 一般运动 :平动 +转动§3.2角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示, 右手法确定其方向. 有向线段不肯定是矢量, 必需满足平行四边形法就, 对定点转动时, 不能直接推广 , 因不存在固定轴.limndn刚体在 dt 时间内转过的角位移为dn ，就角速度定义为t0tdt角速度反映刚体转动的快慢；线速度与角速度的关系：qdrdnr ,vdr r dt§3.3刚体运动微分方程一、 基础学问1. 力系：作用于刚体上里的集合；平稳系 ：使静止刚体不产生任何运动的力系；等效系 ：二力系对刚体产生的运动成效相同；力系的简化 ： 用一简洁力系等效地代

4、替一复杂力系称为力系的简化或合成；二、公理： 1）二力平稳原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作用下必呈平稳；2）加减平稳力学原理：任意力系加减平稳体系, 不转变原力系的运动效应；3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，并不转变其作用成效，f 与 f 等效；三、力偶力偶矩1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系；力偶所在平面叫力偶面；2. 力偶矩 :力 f 对任意一点o的位置矢量为r , 就力偶矩为mrf ，其大小为m=fd ,d 为力偶臂；上式说明:1) 力偶矩与矩心无关, 故 m可画在过力偶面任意点且与力偶面垂直的直线上, 它是一自由矢量;2) m 的唯独成效是引起转动效应;3) 力偶

5、不能与一力等效. 由于如等效 , 就可取其作用线上任意一点为矩心, 就有 m=0, 发生冲突 .3. 等效力偶 :(1) 力偶可在力偶面内任意般动, m 不变时等效；(2) 可使 m不变 , 转变 f,d,与原力偶等效；四、力的平移定理如将作用于刚体上的力f 平移至同一刚体上不在力f 的作用线上的其它点o ，就必需相应增加一个附加力偶，其力偶矩 m 等于原力 f 对平移点 o 的矩， 才能保证原力对刚体的作用成效； 这一结论称为力的平移定理；明显 m 垂直于由点 o 与原力 f 的作用线所作出的平面；上述定理的逆定理也成立，即当作用于刚体上某点o 的某个力f1与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶

6、矩m 垂直时，就该力和力偶可以合成为一个力f ，其力矢与原长f1 相同，平移的垂直方向为f1m 方向，平移和垂直距离为m / f 1 ；力的平移定理说明，一个力可以等效于一个力和一个力偶；而其逆定理就说明，可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效于一个力；力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础；五、空间任意力系的简化空间任意力系向任一点o （称为简化中心）简化后，一般可得一个力和一个力偶；其 中这个力的作用线过简化中心，其力矢与该力系主矢r 相同，这个力偶的力偶矩与该力系对简化中心的主矩m o 相同；上表说明，力系的主矢r 和主矩m o 完全确定了力系的最简简化结果，由此也就不难懂得力系的主

7、矢和主矩为什么是力系两个极其重要的特点量了；六、平行力系平行力系中心如平行力系存在合力，当平行力系的各力保持其大小和作用点不变，而将它们的作用线沿相同方向转过任意相同角度，所得到的全部平行力系的合力作用线始终通过的那个唯独确定的点c ，称为平行力系中心；取力的作用线的某一方向为正向，其单位矢量为 e ，就平行力系中各力可表示为f ifi e i1,2,., n，如它们的作用点相对于空间某一确定点 o 的矢径为r i1,2,., n ，就平行力系中心相对于点o的矢径公式为fi rircfi例沿图示长方体三个互不相交且互不平行的棱边分别作用着力f1 、f 2 和f3 ，它们的大小均等于 f ，当它

8、们能简化为一合力时，长方体的长、宽、高的尺寸a、b、c 之间的关系如何？解1建立图示直角坐标系oxyz2) f1f i , f2f j , f3f k于是力系的主矢为3rfii 1f ifjf k3) 取点 o 为简化中心，各力对点o 的矩为mo f1 0 ,mo f 2 fci,mo f3 fbifaj于是力系对点o 的主矩为3m omo fi i 1 fbfcifa j4) 明显 r0,m o0 ，因此，该力系要简化为一个合力，就必需r m o0 ，即f fbfc f fa 0于是有abc七、刚体运动微分方程取刚体的质心为简化中心，把质点组的质心运动定理和对质心的动量矩定理应用到刚体上，就

9、是刚体运动微分方程，即macf,dj dtm，在直角坐标系中为macxfxmacyfymacyf ydj 'xdtdj 'y'm xdtdj 'mz''ydtm z对保守力系，机械能守恒定律成立，即有t +v = e§3.4刚体平稳方程一、刚体的平稳刚体相对于惯性参考系处于静止或匀速直线平动状态， 称为物体的平稳； 物体在平稳力系的作用下不肯定处于平稳状态， 这一点将在动力学中看到， 但物体如平稳， 就作用于其上的力系必为平稳力系，即力系的平稳仅是物体的平稳的必要条件，而非充分条件；二、平面任意力系的平稳方程1）一矩式nfixi 1n0

10、,fiyi 1n0,ma fi 0i 1其中 x、y 轴不平行，可以是正交的，也可以是斜交的；2）二矩式nma fi i 1n0,mb fi i 1n0,f il0i 1其中 a、b两点的连线不与投影轴l 垂直，fil 表示fi 在 l 轴上的投影；3） 三矩式nma fi i 1n0,mb f i i 1n0,mc fi 0i 1其中 a、b、c 三点不共线；三、平面特别力系的平稳方程1） 平面汇交力系n(1) i 1fixn0,fiyi 10其中 x、y 轴不平行 n(2) i 1fixn0,ma fi i 10其中点 a 与汇交点的连线不与x 轴垂直 n(3) i 1ma fi n0,m

11、b fi i 10其中点 a、b 与汇交点不共线2） 平面力偶系nm i0i 1m i 为平面力偶系中第i 个力偶的力偶矩，它为一个代数量3） 平面平行力系n(1) i 1fixn0,ma fi i 10 其中 x 轴不与各力的作用线垂直n(2) i 1ma fi n0,mb fi i 10 其中 a、b 两点的连线不与各力的作用线平行四、空间任意力系的平稳方程的基本形式nfixi 1n0,fiyi 1n0,fizi 1n0,mx fi i 1n0,my fi i 1n0,mz fi 0i 1空间力系的平稳方程仍有其它形式的方程组及相应的附加条件，但争论起来比较麻烦，一般不作教学要求；

12、7;3.5转动惯量一、转动动能1 n1n22212 n2tmi ri gri mirisinimii2 i 12 i 12i 1nim212ii令i 1ti就转动动能为2二、转动惯量2nimii转动惯量运算公式为：对刚体可用积分形式i 12i zm rdm式中i 是质点mi dm 到 z 轴距离， dm 是微元体的质量；转动惯量反映物体转动时惯性的大小；物体的转动惯量，一方面打算于物体的外形，另一方面又打算于转动轴的位置；平行轴定理i zi cmd 2z 轴与zc 轴平行，两者之间的距离为d ， c 为刚体的质心；三、惯量张量刚体对坐标轴的轴转动惯量i xx y2z2 dm ,i yy z2x

13、2 dm,i zz x2y2 dm惯量积的定义为i xyi yxxydm ,i yzi zyyzdm ,i zxi zxzxdm如刚体绕任一转动轴转动，其相对于坐标轴的方向余弦为、，就刚体绕此转222动轴的转动惯量为ii xxi yyi zzxy2i yz2i zx2i3 个轴转动惯量和6 个惯量积作为统一的一个物理量，来代表刚体转动时惯性的量度，可以排成一个矩阵形式，我们把它叫惯量张量i xxi yxi zxi xy i yy i zyi xzi yzi zz刚体的转动惯量可表示为i = （）i xxi yxi zxi xy i yy i zyi xz i yz i zz四、惯量主轴挑选适当

14、的坐标轴， 可以使惯量积等于零；这样使惯量积等于零的坐标轴就叫惯量主轴；对均质刚体，其对称轴就是惯量主轴；对惯量主轴的转动惯量叫主转动惯量，用i 1 ，i 2， i 3表示；这时，刚体的转动惯量、动量矩和转动动能将简化为222i i1i 2i 322j i1xii 2y ji 3zk1t1 i22xi 2yi3z §3.6刚体的平动与定轴转动1刚体的平动刚体在运动过程中，如其上任始终线的方位相对于所选参考系始终保持不变，就称此刚体相对于该参考系作平动；依据刚体上各点的轨迹可能是直线或曲线，又将平动分为直线平动和曲线平动；当刚体作平动时，刚体内各点的轨迹具有相同的外形；在每一瞬时， 各

15、点具有相同的速度和加速度；对平动刚体的争论可以归结为质点的运动的争论；2刚体的定轴转动刚体运动时，假如相对于某一参考系而言，刚体内（或其延拓部分）有一条直线保持不动，就称此刚体相对于该空间作定轴转动；（ 1）刚体的运动方程、角速度和角加速度定轴转动刚体时，具有一个自由度，可以用广义坐标，即转角来确定任一瞬刚体时在空间的位置；运动变化规律可由运动方程描述，即t上述方程描述了转角的变化规律，也称为刚体的转动方程；随时间的变化情形可进一步用其对时间的一阶、二阶导数刻画；这些量反映了刚体转动快慢和转动方向，它们是角速度和角加速度.ddtdd 2dtdt 2物理量角速度和角加速常常用矢量表示k k其中

16、k 是沿转轴正向的单位矢量；与有下述关系dd t（2） 转动刚体上任意一点的运动刚体作定轴转动时，除了转轴以外， 刚体上各点的轨迹均是位于垂直于转轴平面内的圆，圆心在转轴上，半径等于点到转轴的距离，称为转动半径；其运动方程为srr 是转动半径，是定轴转动刚体的转角；该点的速度为r沿轨迹的切向，指向与的转向一样；切向加速度和法向加速度分别为ar，anr2全加速度 a 的大小为ar24a 与转动半径的夹角为tg2（3） 转动刚体上任一点速度和加速度的矢量表示法刚体的角速度、角加速度矢量、，体上任一点的矢径为r ，那么该点的速度r加速度为ar其中r 为切向加速度重量a，v 为法向加速度重量a n例图

17、示折杆 oab ，已知 oaabl ，oab120， o 与固定铰连接，、大小已知 ，转向如下列图；试求ab 中点 c 的速度和加速度；解：1°争论点c；oab作定轴转动，可由定轴转动刚体的运动确定其上点c 的速度和加速度；2°速度分析vcoc其中oc 2oa 2ac 22oaaccos120l 2 l 222ll 2sin 307 l 24oc7 l23vcl所以2方向如下列图3° 加速度分析7a coc2lacnoc27 l22方向如图示；例图 示 机 构 ， 杆ab 在45时 以 匀 速 u 作 直 线 平 动 ， 试 求 在 任 意 位 置045 时，杆

18、od 的角速度、角加速度；解：1°争论系统； od 作定轴转动， ab 作直线平动， 取为杆 od 的转角；由题意知杆 od的角速度转向如图示，并设出的转向；2°运动速度分析；杆ab 上点 a 的运动方程为yal tg其速度、加速度为vayy al1cos 2由图示杆ab 的速度知因此cos 2ulvayua ayjv ayu2sinlcos32l0cos2依据图示、的 转 向有，cos2u所以l，2usin2 l 2cos2运算结果说明，的真实转向与图示所设相反；§3.7 刚体的平面平行运动1刚体平面运动的描述刚体运动时， 假如其上任一点到某一固定平面的距离始终

19、保持不变，就刚体的这种运动称为刚体的平面运动；（1） 对刚体平面运动的争论可简化为对平面图形（此图形所在平面与上述固定平面相平行， 图形的大小、 外形不受限制， 可以依据需要进行延长）在其自身所在平面内运动的争论；（2） 平面图形 s 在其平面内的位置，完全可由图形上任始终线ab 的位置来确定；（3） 直线 ab 的位置可由其上的任一点（不妨取为点a ）和 ab 的方位角来确定；如 s 所在面为 oxy 平面，就刚体平面运动方程为：xaf1 t yaf 2 t f3 t 假如刚体运动不再受其它限制时，上述三个量是独立的，这样的平面运动刚体具有三个自由度；上述方程的前两个方程是关于点的方程；点的

20、运动争论已在其次章学习过；第三个方程是对刚体整体运动方位的描述，与描述定抽转动刚体运动的转角有相像之处，但又不完全一样；2平面图形的角速度和角加速度平面图形上任意两直线方位角的变化率均相同，因此将某始终线方位角的变化率称为平面图形的角速度，以表示；为代数量，其数值为：ddt，表示了刚体方位变化的快慢，正、负号表示刚体方位的转向情形；通常， 在图上用一带箭头的弧线表示转向； 由所得，其箭头应画在增加的方向上，当0 ，说明刚体的方位转变方向与图中一样；当0 ，刚体的方位变化与图示相反；平面图形角速度对时间 t 的变化率称为平面图形的角加速度，以表示；为代数量，其数值为：dd 2dtdt 2反映了刚

21、体角速度的变化情形；同样用带箭头的弧线表示的转向，其转向的确定，以及正、负号的含意与类似；物理量、也可以用矢量表示，就k ，k ，其d中 k 为垂直于平面图形的单位矢量，且有dt3平面图形上各点的速度（ 1）速度瞬心法平面图形在运动过程中的任一瞬时，图形上 （或其延长部分）都惟一地存在速度等于零的点 p 瞬时速度中心；不同瞬时，图形有不同的速度瞬心；刚体的平面运动是由一系列绕不同速度瞬心的瞬时转动所组成；图形上各点的速度分布与定轴转动完全一样，转轴为过点 p 与图形垂直的直线，因此其上任一点a 的速度为v apa或v apa其方向垂直于pa ，与图形角速度的转向一样；假如已知某瞬时平面图形的角

22、速度及其速度瞬心的位置，由上式可求出图形上任一点的速度；这种方法称为瞬心法速度瞬心 p 的位置的确定方法见表3.1沿固定面只滚不滑已知的方向，但不平行已知平行反向，并垂直于 ab已知平行同向，大小不等，并垂直于ab已知，并垂直于ab，就p 在无穷远处，刚体做瞬时平动；此时，, 各点具有相同的速度；已知平行，并垂直于ab；就 p 在无穷远处，刚体做瞬时运动； 此时，, 各点具有相同的速度；（ 2）平面图形上两点的速度关系平面图形上任意两点的速度具有如下关系vbvavba式中v baab或vbaab方向垂直于ab ，并与图形角速度的转向相一样；上式又称为基点法，a 是基点；它说明平面图形上某点的速

23、度等于基点的速度与图形以其角速度绕基点转动时该点所具有速度的矢量和；（ 3）速度投影定理平面图形上任意两点的速度在其连线上投影具有相等关系，即 v aab vbab这就是速度投影定理；此定理对于任何形式的刚体运动均成立；4平面图形上各点的加速度平面图形上任意两点的加速度具有如下关系ana ba abaa baa nab aab式中ba，baa nab2aab或ba，baa naba 的方向由 b 指向 a ，ba 的方向垂直于ab ，并与图形角加速度的转向一样；上式说明平面图形上某点的加速度等于基点的加速度与图形以其角速度，角加速度绕基点转动时该点所具有加速度的矢量和；5.刚体作平面平行运动时

24、，动力学方程macxfxmacyfyi cmc f 假如作用于刚体上的外力只有保守力，就由机械能守恒律可知1 mv21 i2vezz22例：一匀质的圆柱重w ，半径为 r ，无初速地放在倾角为的斜面上，不计滚动阻力，求其质心 c 的加速度；解：滚动物体在斜面上的运动情形，依据接触处的光滑而有所不同；下面分三种情形争论：（1） 接触处是抱负光滑的，斜面对滚动物体的约束力与斜面垂直而通过物体的质心c ，这种情形下，物体上的作用力对质心的主矩等于零；因此，它只能在斜面上滑下而不发生滚动；此时，可以把物体作为质点处理而求得其平动加速度为gsin；（2） 设接触处相当粗糙，就是说有足够大的摩擦阻力来阻挡

25、接触点a 的相对滑动；在此情形下，滚动物体在斜面上作纯滚动，其摩擦阻力f 小于其极限值fm ；取 x、y 轴如下列图，列出动力学方程，有macxfxmacw sinfmacyfy0nwcosi cmc f i cfr此外，由运动学知，作纯滚动时，acr；于是得：caw sinmi c r 2令c 为滚动物体对于其质心c 的回转半径，就i c2mc ，agsinc1c 2r2fi c acrwsinr2同时得到：1c由于物体作纯滚动，ffm，而 fmfnfw cos，所以fw cosw sinftg1 r2c1 r 2c上述关系式给出了滚动物体在斜面上作纯滚动的条件；（3）设接触处的摩擦系数并不满意上述条件，即当ftg1 r 2c时， 就物体在斜面上不能保持纯滚动而将连滚带滑地运动；在这个情况下， 将不存在 acr这个关系式，但是，满意另一关系式ffn ；与动力学方程联立，可以求得：fr i cac1 wmfnr i csinfwrf cos i c1mfrgw sincos2cfw cosg