初一几何难题例题练习题

1、学习必备欢迎下载1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系；许多其它问题最终都可化归为此类问题来证；证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质， 其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也常常用到；例 1. 已知：如图1 所示，abc 中，c90 ，acbc， addb，aecf ；求证： de dfaedcfb图1分析： 由abc 是等腰直角三角形可知，ab45，由 d 是 ab 中点，可考虑连结 cd ，易得 cdad ，dcf45 ；从而不难发觉dcfdae证明： 连结 cdacbcabacb90， a

2、ddbcdbdad，dcbbaaecf ，adcb ， adcda d ecdf dedf说明： 在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的帮助线；在等腰三角形中，作顶角的 平分线或底边上的中线或高是常用的帮助线；明显， 在等腰直角三角形中，更应当连结cd ，由于 cd 既是斜边上的中线，又是底边上的中线；此题亦可延长ed 到 g，使 dg de，连结 bg，证efg 是等腰直角三角形；有爱好的同学不妨一试；例 2. 已知：如图2 所示， ab cd ， ad bc， ae cf；求证： e f学习必备欢迎下载eadbcf图2证明： 连结 ac在abc 和cda 中，abcd ， bcad， ac

3、caabccda bd sssabcd ， aecfbedf在bce 和daf 中，bedfbdbcdabcedaf efsas说明： 利用三角形全等证明线段求角相等；常须添帮助线， 制造全等三角形，这时应注意：（ 1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（ 2）添帮助线能够直接得到的两个全等三角形；2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中， 平行与垂直是两种特别的位置； 证两直线平行， 可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证， 也可通过边对应成比例、 三角形中位线定理证明； 证两条直线垂直，可转化为证一个角等于 90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证；例 3

4、. 如图 3 所示，设bp、cq 是abc 的内角平分线，ah 、ak 分别为 a 到 bp、cq的垂线；求证： kh bc学习必备欢迎下载aqpkhbmnc图3分析： 由已知， bh 平分 abc ，又 bh ah ，延长 ah 交 bc 于 n ，就 ba bn ，ahhn ；同理，延长ak 交 bc 于 m ，就 ca cm ，ak km ；从而由三角形的中位线定理，知 kh bc；证明： 延长 ah 交 bc 于 n，延长 ak 交 bc 于 m bh 平分 abcabh nbh又 bh ah a h b n h b90bh bhabhnbh asababn， ahhn同理， ca c

5、m ， ak kmkh 是amn 的中位线kh / / mn即 kh/bc说明：当一个三角形中显现角平分线、中线或高线重合时，就此三角形必为等腰三角形；我们也可以懂得成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形；例 4. 已知：如图4 所示， ab ac ， a90 ，aebf，bddc ；求证： fd ed学习必备欢迎下载aef2 31bdc图4证明一： 连结 adabac， bddc 1 290， dae dab bac90 bdad， bddc b dab dae在ade 和bdf 中，ae bf， b ade bdf 3 13290fdeddae，adbd说明： 有等

6、腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用帮助线；证明二： 如图 5 所示，延长ed 到 m ，使 dm ed，连结 fe， fm ， bmafebdcm图5学习必备欢迎下载bddcbdmcde ， dmde bdmcdecebm ，ccbmbm / / ac a90abm90aabac， bfae afcebmaefbfm fefmdmdefded说明： 证明两直线垂直的方法如下：（ 1）第一分析条件，观看能否用供应垂直的定理得到，包括添常用帮助线，见此题证二；（ 2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余；（ 3）证明二直线的夹角等于90°；3

7、、证明一线段和的问题（一） 在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段；（截长法）例 5. 已知：如图6 所示在abc 中，b60， bac 、 bca 的角平分线ad 、ce相交于 o；求证： ac ae cdbedo1423a56fc图6分析： 在 ac 上截取 af ae ；易知aeoafo ，12 ；由b60，学习必备欢迎下载知5660 ，160 ，23120；123460 ，得：focdoc，fcdc证明： 在 ac 上截取 af aebadcad，aoao aeoafosas42又b60566016023120123460focdoc fcdc即 acaecd

8、 aas（二） 延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，就两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段；（补短法）例 6. 已知：如图7 所示，正方形abcd 中， f 在 dc 上， e 在 bc 上，eaf45；求证： efbe dfad312fgb ec图7分析： 此题如仿照样1，将会遇到困难， 不易利用正方形这一条件；不妨延长cb 至 g，使 bg df ；证明： 延长 cb 至 g，使 bg df在正方形 abcd中，abgd90 ，abadabgadf sasagaf ，13学习必备欢迎下载又eaf4523452145即 gae faegeefefbedf4、中考题：如图 8

9、 所示，已知abc 为等边三角形，延长bc 到 d，延长 ba 到 e，并且使ae bd ，连结 ce、de ；求证： ec edefabcd图8证明： 作 df/ac 交 be 于 fabc 是正三角形bfd 是正三角形又 ae bdaefdbfbaafef即 ef acac / / fdeacefdeacdfe eced sas题型展现：证明几何不等式：例题：已知：如图9 所示，12，abac ；求证： bddc学习必备欢迎下载a1 2cbde图9证明一： 延长 ac 到 e，使 ae ab ，连结 de在ade 和adb 中，aeab，21， adadadeadbbdde， dcebdc

10、ee dedc ，ebbddc证明二： 如图 10 所示，在 ab 上截取 af ac ，连结 dfa1 2f34bdc图10就易证adfadc34 ， dfdcbfd3，4bbfdb bddfbddc说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用帮助线；【实战模拟】1. 已知： 如图 11 所示，abc 中，c90，d 是 ab 上一点， de cd 于 d，交 bc于 e，且有 acadce ；求证： de1 cd2学习必备欢迎下载ceadb图112. 已知：如图12 所示，在abc 中，a2b ， cd 是 c 的平分线；求证： bc ac adadbc图123.

11、 已知：如图13 所示，过abc 的顶点 a ，在 a 内任引一射线，过b、c 作此射线的垂线 bp 和 cq ；设 m 为 bc 的中点；求证： mp mqaqbmc p图13学习必备欢迎下载4. abc 中，bac90 ，adbc 于 d，求证：ad1abacbc4学习必备欢迎下载【试题答案】1. 证明： 取 cd 的中点 f，连结 afc41f3eadbacad afcdafccde90又1490 ，139043acceacfced cfed1decd 2 asa2. 分析： 此题从已知和图形上看好象比较简洁，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们常常采纳“截长补短”的手法；“截长”即将长的线段截成两部分， 证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段；eadbc证明： 延长 ca 至 e，使 ce cb，连结 ed在cbd 和ced 中，学习必备欢迎下载cbcebcdecd cdcdcbdced bebac2bbac2e又bacadeea d ee，adaebcceacaeacad3. 证明： 延长 p