初三上专题四点共圆

1、学习必备欢迎下载四点共圆专题讲义例 1如图， e、f、g、 h 分别是菱形abcd 各边的中点求证：e、f 、g、h 四点共圆例 2（ 1）如图，在 abc 中， bd 、ce 是 ac、ab 上的高， a=60 °求证： ed = 1 bc2（ 2）已知：点o 是 abc 的外心， be， cd 是高求证：ao de例 3如图，在abc 中， ad bc，de ab， df ac求证： b、e、f 、c 四点共圆总结：四点共圆的方法：学习必备欢迎下载oa=ob =oc adc= abc=90° acd= abd =90° b+ d=180 °或a+ b

2、cd=180 °或 a=dce1 2 3 4 a=d 或 b= c例 4求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中ab·cd +bc· ad =ac· bd 练习 1在 abc 中， babc ，旋转 2得到线段 pqbac， m 是 ac 的中点， p 是线段 bm 上的动点，将线段pa 绕点 p 顺时针（ 1）如60且点 p 与点 m 重合（如图1），线段 cq 的延长线交射线bm 于点 d，请补全图形，并写出cdb的度数；（ 2）在图 2 中，点 p 不与点 b， m 重合，线段cq 的延长线与射线bm 交于点 d ，猜想 cdb 的大

3、小（用含的代数式表示） ，并加以证明；（ 3）对于适当大小的，当点 p 在线段 bm 上运动到某一位置（不与点b， m 重合）时，能使得线段cq 的延长线与射线 bm 交于点 d ，且 pq=qd ，请直接写出的范畴练习 2在 abc 中， a=30°， ab=23 ，将 abc 绕点 b 顺时针旋转（0° <<90°），得到 dbe ，其中点 a 的对应点是点d ，点 c 的对应点是点e， ac、de 相交于点f，连接 bf .学习必备欢迎下载（ 1）如图1，如=60°，线段ba 绕点 b 旋转得到线段 bd .请补全 dbe ，并直接写出

4、afb 的度数；（ 2）如图2，如=90°，求afb 的度数和bf 的长；（ 3）如图 3，如旋转（ 0° <<90°），请直接写出afb 的度数及bf 的长（用含的代数式表示）.cdcdcdffababab图 1图 2图 3ee练习 3已知，点p 是 mon 的平分线上的一动点，射线pa 交射线 om 于点 a，将射线pa 绕点 p 逆时针旋转交射线 on 于点 b，且使 apb+ mon =180°（ 1）利用图1，求证： pa=pb ；（ 2）如图 2，如点 c 是 ab 与 op 的交点，当spob=3spcb 时，求 pb 与 pc

5、 的比值；（ 3）如 mon =60°，ob=2，射线 ap 交 on 于点 d ，且满意且 pbd = abo，请借助图3 补全图形，并求op 长练习 4已知，在 abc 中， ab=ac过 a 点的直线a 从与边 ac 重合的位置开头绕点a 按顺时针方向旋转角，直线 a 交 bc 边于点 p（点 p 不与点 b、点 c 重合）， bmn 的边 mn 始终在直线a 上（点 m 在点 n 的上方），且 bm =bn，连接 cn （ 1）当 bac= mbn =90°时，如图 a，当 =45°时， anc 的度数为 ；学习必备欢迎下载如图 b，当 45°时

6、，中的结论是否发生变化？说明理由；（ 2）如图 c，当 bac= mbn 90°时，请直接写出anc 与 bac 之间的数量关系，不必证明练习 5已知： rta'bc ' 和 rtabc 重合，a' c ' b =acb=90 °，ba' c ' = bac=30 °，现将 rta'bc ' 绕点 b 按逆时针方向旋转角（ 60° 90°），设旋转过程中射线c ' c ' 和线段aa' 相交于点 d,连接 bd （ 1）当 =60°时，a'

7、 b 过点 c，如图 1 所示，判定bd 和aa' 之间的位置关系，不必证明；（ 2）当 =90 °时，在图2 中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍旧成立，不必证明；（ 3）如图 3，对旋转角（ 60° 90°），猜想（ 1）中的结论是否仍旧成立；如成立，请证明你的结论；如不成立，请说明理由图 1图 2图 3练习 6在等边 abc 外侧作直线ap，点 b 关于直线ap 的对称点为d ，连接 ad， bd，cd ，其中 cd 交直线 ap于点 e设 pab， ace， aec1 依题意补全图1；2如 15°，直接写出和的度数；3 如图 2，

8、如 60° <<120°，判定，的数量关系并加以证明；请写出求大小的思路 （可以不写出计算结果）学习必备欢迎下载acacbppb图 1图 2练习 7阅读下面材料：小红遇到这样一个问题，如图1：在 abc 中， ad bc， bd=4 ，dc =6 ，且 bac=45 °，求线段ad 的长aaafobdc图1bd ec图2bdc图 3小红是这样想的： 作 abc 的外接圆 o，如图 2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道 boc =90°，然后过 o 点作 oe bc 于 e，作 of ad 于 f，在 rt boc 中可以求出 o 半

9、径及 oe，在 rt aof 中可以求出af ，最终利用ad=af +df 得以解决此题请你回答图2 中线段 ad 的长.参考小红摸索问题的方法，解决以下问题：如图 3：在 abc 中， ad bc， bd =4，dc =6, 且 bac=30 °，就线段ad 的长.练习 8已知： a、b、c 三点不在同始终线上1 如点 a、b、c 均在半径为r 的 o 上，（ i ）如图，当a=45°，r=1 时，求 boc 的度数和bc 的长；（ ii ）如图，当a 为锐角时，求证：sina=bc ；2r2 如定长线段bc 的两个端点分别在man 的两边 am 、anb、c 均与 a

10、不重合 滑动，如图，当man =60 °，学习必备欢迎下载bc=2 时，分别作bp am ， cp an，交点为p，摸索究在整个滑动过程中，p、a 两点间的距离是否保持不变？请说明理由练习 9在四边形abcd 中， ab dc ， ab cd ，k， m 分别在 ad， bc 上， dam = cbk求证： dma =ckb 分析：连 km ，由 dam = cbk ，得到 a， b， m ， k 四点共圆，就dab = cmk ， akb = amb ，而 dab + adc =180°，得到 cmk + kdc =180°，因此 c， d ，k ， m 四点共圆，所以cmd =dkc ，即可得到 dma = ckb 解答：解：连km ， dam = cbk， a， b， m ， k 四点共圆， dab