江苏省常州市武进区九年级数学上册1.3一元二次方程的根与系数的关系专项练习六(新版)苏科版

1、第一章 第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习六六、根与系数关系综合题 2:1 .已知关于x的一元二次方程 k ( 4k+1) x+3k+3=0 .(1) 试说明：无论k取何值，方程总有两个实数根；BC的长为5.当 ABC是等腰三角(2) 若厶ABC的两边AB AC的长是方程的两个实数根，第三边形时，求k的值.2 .已知：关于 x的一元二次方程 x 2( mf+ 2) x+吊+仁0 (0)(1) 证明：方程有两个不相等的实数根(2) 设方程的两个实数根分别为xi, X2,(其中xi<X2).若y是关于m的函数，且y=X2 2xi 1,求 这个函数关系式.3.已知：关于x的一元二次方程x

2、2(2m1)x m2 m 20 .(1) 求证：不论 m取何值，方程总有两个不相等的实数根；1 1 1(2) 若方程的两个实数根 x1 ,x2满足 一 1-，求m的值.x1 x2 m 224 .关于x的方程为x +(m+2)x+2m仁0.(1) 、证明：方程有两个不相等的实数根.(2) 、是否存在实数 m,使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由.2k5 关于x的方程kx2k 2 x0有两个不相等的实数根.4(1 )求k的取值范围.(2)是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于1?若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.b c6.如果Xi, X2是

3、一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根，那么有 Xi+X2=- , XiX2=.这是一元二次方程根与 系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：xi, X2是方程x2+6x-3=0的两根，求xi2+X22的值.解法可以这样：因为 Xi +X2=-6 , XiX2=-3 ,所以 Xi2+X22=(Xi+X2)2-2x iX2=(-6) 2- 2X( -3)=42.请你根据以上解法解答下题：设xi, X2是方程2x2-x-i5=0的两根，求：1 1+的值；2(2)(x i-x 2)的值.7 .已知为、X2是关于X的方程X222 m i x m 5 0的两个不相等的实数根15(i)求实数m的取值范围

4、已知等腰ABC的一边长为7,若Xi、X2恰好是ABC另外两边长，求这个三角形的周长&如果方程x2 + px+ q = 0的两个根是Xi、X2,那么Xi + X2=- p, Xi x 2= q.请根据以上结论，解决下列问题：(1) 已知关于x的方程X2 + mx+ n = 0 (n丰0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方 程两根的倒数；a b1 1(2) 已知 a、b 满足 a2 15a 5= 0, b2 15b 5 = 0,求 b 日的值；(3) 已知a、b、c均为实数，且 a + b+ c= 0, abc = 16,求正数c的最小值.9 .已知关于 x 的方程 x2-(2

5、m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；2 已知方程的一个根为 x=0,求代数式(2m-1) +(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).2 2 «.10. 已知关于x的方程x + ( 2k - 1) x+k - 1=0有两个实数根 X1, X2.(1) 求实数k的取值范围；(2) 若 X1, X2满足 xj+X22=16+X1X2,求实数 k 的值. 211. 已知关于x的一元二次方程 x + mx +n+1=0的一根为2.(1) 用m的代数式表示n； (4分)(2) 求证：关于y的一元二次方程y2 +my+n=0总有两个不相等的实数根。

6、(5分)12 .已知关于x的一元二次方程(a - c) x2 - 2bx+ (a+c) =0,其中a、b、c分别为 ABC三边的长.如果方程有两个相等的实数根，试判断厶ABC的形状，并说明理由.13.已知关于x的一元二次方程 x - 2mx+(m- 1) =0有两个实数根xi, X2.(1) 求m的取值范围；(2) 当 xi2+X22=28 时，求 m 的值.2 214.已知关于X的方程X 2(k3)x k 4k 10，有两个不相等的实数根:(1) 求k的取值范围；(2) 若这个方程有一个根为 2,求k的值15 .已知关于x的一兀二次方程 x2 +ax+a - 2=0.(1)求证：不论a为何实

7、数，此方程总有两个不相等的实数根.(2)若该方程的两个实数根分别为x1 , x2，且| x-i x2 =i 13，求a的值.答案：1 111. (1)见解析 (2) 2或厲试题分析：(1)利用配方的方法将进行配方，然后说明0;(2)分两种情况进行讨论，即当AB=AC是, =0，求出k的值和AB和AC的长度，进行判断是否能构成三角形；当BC为腰时，将x=5代入方程求出k的值，然后求出另外两边的长度进行判断是否能构成三角形.试题解析：(1)(戟 +T) =+ 1 + 8k-12k?-12k=4； 4k+1=2k-lf >0无论k取何值，方程总有两个实数根.11(2)若AB=AC则方程有两个相

8、等的实数根即"-1 '=o解得：当k=2时，AB=AC=3此时AB AG BC满足三边关系.若BC=5ABC的一腰，则方程有一根是 5,1将x=5代入方程解得：k=11当k=时，解得方程两根为 5和3，此时AB AC BC满足三边关系.综上所述：当 ABC是等腰三角形时，k的值为 或-2. (1)证明见解析；(2) y=m?-2 .试题分析：(1 )先根据判别式的值得到 =m，由于0,根据非负数的性质得到厶 0，然后根据判别式的意义即可得到结论；(2)利用因式分解法得到 xi =1, X2=m+1,然后把它们代入 y=X2-2x 1-1即可.试题解析：(1)证明： =( m+

9、2)2-4 ( mf+1)=m/0,4m,> 0, > 0, 方程有两个不相等的实数根；(2)解：x2- (mi+2) x+m2+ 仁0 (m 0),2(x-m -1 ) (x-1 ) =0, X1=1, X2=nf+1, y=ni+1-2-12八=m-2 .3. (1)证明见解析；(2) 2.试题分析：(1)方程总有两个不相等的实数根的条件是>0,由厶> 0可推出m的取值范围.1 1(2)欲求m的值，先把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、x1 x2两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求m的值.试题解析：(1)由题意，得2 2 2b 4ac

10、(2m1)4(m m 2)=4m2 4m 14m24m 8=90不论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.(2)方程有两个实数根, x1x22m 1, x1x2 m2m 2,由丄X11 1X21得 X1X2m3m 2 '得x1x2m22m 1m 32m 1m 32 mm 2m 2 '(m 2)(m1)m 2/ m2 0 ,2m 13 解方程得m2 m_2 (舍去)m 11117 >八J1 八 J1 2 m24. (1)、见解析；、mi= 2, x= ± . 5 .试题分析：(1)、根据韦达定理来进行说明；(2)、两根互为相反数则说明两个之和为0,然后求出的值，将

11、m的值代入方程求出方程的解.试题解析：(1)证明： =(m+2)2 4(2m 1)= m2 4m+8=(m- 2)2 +4/ (m - 2)2 > 0_ 2 (m- 2) +4>0方程有两个不相等的实数根.、存在实数m,使方程的两个实数根互为相反数. 由题知：x1 +x2 = (m+2)=0解得：m=-2 将m二2代入方程可得：x2 5=0,解得:x= ± '、5 m的值为-2，方程的根为土 -、5.考点：根的判别式、韦达定理5. (1) k 1且k 0 ; (2)不存在，理由见解析试题分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得厶0,还要保证二次项的系数不为 0

12、,由此列出不等式，即可求得 k的取值范围；（2）设两实数根为Xi, X2，由方程的两个实数根的倒数和等k值，结合（1）的结果判定即可1 1于1可得1，根据根与系数的关系代入求得X-Ix2试题解析:（1）由题意可得，方程有两个不相等的实数根.k-0，即设两实数根为k 0(k 4 k k 4k4X1 , X2 有丄丄x-ix21,即乞僅x1x2由韦达定理X1X2x1x2分析：（1）根据根与系数的关系得出耳十®和叫叫的值,再把要求的式子进行通分,然后代值计算即4 k.有 k14-方程有两个不相等的实数根,8舍.不存在.1 1216. (1) I ; (2)115可；(2)把要求从的式子变形

13、为 时*%)"4算円,再把" 1 = 2代入进行计算即可11S详解： Xl+X2=k , XlX2=_ 1 .(x i-x 2) 2=(x 1+X2) 2-4xiX2= (2) 2-4X(-27. (1) m>2; (2)17试题分析：(1 )由根的判别式即可得；(2)由题意得出方程的另一根为7,将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得.试题解析：解：(1)由题意得厶=4 ( n+1) 2 - 4 (吊+5) =8m- 16> 0,解得：m> 2;(2)由题意，/ X1 X2时，.只能取X1=7或X2=7,即7是方程的一个根，将x=7代

14、入得：49 - 14( m+1)2+m+5=0，解得：m=4 或 m=10.当n=4时，方程的另一个根为 3,此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17;当n=10时，方程的另一个根为15,此时不能构成三角形；故三角形的周长为17.2& (1) nx + mx+ 1 = 0; (2)- 47或 2; (3) c 的最小值为 4.X1+X2= m X1 X2试题分析：(1)设x2+ mx+ n = 0 (n丰0)的两根为X1、X2，根据根与系数的关系可得=n,将以上两式变形可得1111h勺和®勺，即可求出答案.(2)根据a、b满足2 2a 15a 5=0, b 15b 5=0,

15、得出a, b是x2 15x 5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求结果；(3)根据a+b+c=0,1 1+ =0的解，再根据 c2-4X>0,即可料f +-abc=16，得出 a+b=-c, ab=匚，a、b 是方程 x2+cx+® “求出c的最小值.(IJT+助m解：(1)设 x + mx+ n = 0 (n 丰0)的两根为 X1、X2. /. X1+ X2= m Xix2= n. m + ' =、'；=,11 Im I门*.-=、'.二所求一兀二次方程为x2+* x +严=0, 即卩 nx2+ mx+1 = 0.a(2)当ab时，由题意知a、b是一

16、元二次方程 x 15x 5 = 0的两根，/ a+ b= 15, ab = - 5.b /+护 Mj硏一i"二2x(5a ba b+ .= 瑟 =':能= 47.当 a = b 时， +. = 1 + 1 = 2.综上， + = 47或2.16 16 T a+ b+ c = 0, abc = 16, a + b = c, ab=-.二 a、b 是方程 x + ex += 0 的两根， =4x1$c >0. T c>0,. c >64,. c>4,. c 的最小值为 4.点拨：本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用

17、的解题方法本题的运算过程有点复杂，难度也较大，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键.9. (1)证明见解析；(2) 5.试题分析：(1)找出a, b及c,表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证.(2)把x=0代入方程即可求 m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可.试题解析：(1 )关于x的一元二次方程 x2- (2m+1 x+m(m+1 =0.2 = ( 2m+1 -4m ( m+1 =1 > 0,方程总有两个不相等的实数根；(2) T x=0是此方程的一个根，把x=0代入方程中得到 m(m+1 =0, m=0或 m=-1,2 2 2 2T( 2m-1)

18、+ (3+m) (3-m ) +7m-5=4m-4m+1+9-m+7m-5=3m+3m+5,把 m=0代入 3ni+3m+5得：3ni+3m+5=522把 m=-1 代入 3m+3m+5得：3m+3m+5=3<1 -3+5=5 .510. (1) k w ;(2)-2.试题分析：(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 =-4k+5>0,解之即可得出实数k的取值范围；(2)由根与系数的关系可得X1+X2=1- 2k、X1X2=k2-1,将其代入x/+X22=( X1+X2)2 -2X1X2=16+X1X2中，解之即可得出 k的值.试题解析：(1 )关于x的方程x2+ (2k -

19、 1) x+k2- 1=0有两个实数根 X1, X2,22 = ( 2k - 1)- 4 ( k - 1) =-4k+5> 0,解得：k<,5实数k的取值范围为kw烛(2)v关于x的方程x+ (2k - 1) x+k - 1=0有两个实数根xi, X2,2 2 2 2xi+X2=1 2k, xiX2=k - 1.Txi+X2= (X1+X2) - 2xiX2=16+xiX2,2 2 22( i - 2k)- 2 x( k - i) =i6+ ( k - i),即 k - 4k - i2=0,解得：k= - 2或k=6 (不符合题意，舍去).实数k的值为-2.11. (i ) n=-

20、2m-5 ; (2)有两个不相等的实数根，理由略试题分析：(i )把x=2代入方程，然后化简得到的等式即可；(2)根据条件证明方程判别式大于0即可.试题解析：(i )把 x=2 代入方程得：4+2m+n+i=0,. 2m+n+5=0,. n=-2m-5,2 2 2 2(2)b 4ac m 4n m 8m 20 m 4+4 4>0,方程y2 +my+ n=0总有两个不相等的实数根12. A ABC为直角三角形.试题分析：由方程有两个相等的实数根，可得4b2-4 (a+c) (a- c) =0,然后整理可得到 b2+c2=a2,从而 ABC为直角三角形.解：方程有两个相等的实数根，2 2 b

21、 - 4ac=0 ,即 4b - 4 (a+c) ( a- c) =0,b2+c2=a2,.A ABC 为直角三角形.点拨：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 (0)的根的判别式 =b2- 4ac：当？>0时，一元二次 方程有两个不相等的实数根；当 ？=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 ？<0时，一元二次方 程没有实数根113. (1) m>丄;(2)符合条件的m的值为3.2试题分析：(1)若一元二次方程有两个等实数根，则根的判别式厶=b2-4ac>0,建立关于 m的不等式，即可求出 m的取值范围；(2)根据根与系数的关系，可得x计X2=2m, xix2=(m- 1)，再根据xi +X2 = (X1+X2) -2x i x 2即可求得m的值，结合(1)即可确定出 m的具体值试题解析：(1 )原方程有两个实数根，2 2 = (- 2m) - 4 ( m- 1) >0, 整理得：2m-1> 0,1解得：22 2(2)Vx i +X2=28,2/( X1+X2)- 2xi?X2=28,'/x i+X2=2m, Xi X2=