江苏省常州市武进区九年级数学上册2.6正多边形与圆课堂学习检测题一(新版)苏科版

1、第二章第六节正多边形与圆1.如图，半径为2的正六边形 ABCDEF勺中心为原点 0,顶点A D在x轴上，则点C坐标为（）FEA1/ 1A （1,2） B 、（1,2） C （1,、可 D 、（ 1, , 3）2 如图，正六边形 ABCDEI中，阴影部分面积为12.3cm2，则此正六边形的边长为nnA. 2 cm B . 4 cm C .6 cm D . 8 cm3. 3.以下说法： 若直角三角形的两边长为 3与4,则第三次边长是 5; 两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； 长度等于半径的弦所对的圆周角为30°2 反比例函数y=-，当0时y随x的增大而增大，x正确的有（）A

2、. B . C . D .4 .如图，00是正五边形ABCDEF外接圆，这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r，则下列关系式错误的是（）2 2 2A. R - r =a BC .a=2rtan36r=Rcos36a=2Rsi n36O,过点A的切线与CB的延长线相交于点F,则/ F=(D .72A.仝 R2B.tR2C.立R2D.Br22246半径为R的圆内接正三角形的面积是（）7.如图，正六边形ABCDE内接于O 0, AB=2则图中阴影部分的面积为 （）71A. n B .2 n C . D .4 n&如图，正六边形 AiBiGDiEiFi的边长为 2,正六边形 A2B2C2

3、D2E2F2的外接圆与正六边形 AiBiCiDEFi的各边相切，正六边形 AB3C3DE3F3的外接圆与正六边形A2B2GD&F2的各边相切，按这样的规律进行下去，AiBiiCiDiEiiFii的边长为()24381/3A .B .2r243813C .2 D .9.圆内接四边形ABCD的四个内角的度数之比/A: / B:/ C:/ D可以是(A. 3: 2: 4: 1B . 1 : 3: 4: 2 C . 3: 3: 1: 4 D . 4: 1 : 2: 310.如图，若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前 需（）个五边形.3个五边形，要完成这一圆环还A. 6 B . 7 C .

4、8 D . 911 如图，正三角形的边长为12cm,剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm5132cm12 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分.A.圆内接正六边形的边心距为2 3，则这个正六边形的面积为B.用科学计算器计算：sin3842 （结果精确到0.1）13. 13 .若等边三角形的边长为 4 cm，则它的外接圆的面积为 14. 正六边形的边长为 4cm,它的边心距等于 cm；15. 如图所示， ABC为O O的内接三角形，AE=1,Z G=30°,则O O的内接六边形的面积为 16. 如图，在O O中，/ D=70&

5、#176;,Z AGB=50，则/ BAG= .17 .有底面为正方形的直四棱柱容器 A和圆柱形容器B,容器材质相同，厚度忽略不计 .如果它们的 主视图是完全相同的矩形，那么将B容器盛满水，全部倒入 A容器，问：结果会（“溢出”、“刚好”、“未装满”，选一个）18.正六边形的每个中心角为度.19.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是20.如图，点M N分别是正五边形ABCDE勺两边 AB、BC上的点.且 AM=BN点O是正五边形的中度.的半径为1,A, P,B, C是00上的四个点./ APCM CPB=60 .21.如图，00(1) 判断

6、ABC的形状：(2) 试探究线段PA PB, PC之间的数量关系，并证明你的结论；uuu(3) 当点P位于AB的什么位置时，四边形 APBC勺面积最大？求出最大面积.22.在直径为 AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为 6和8,现要建造一个内接于 ABC勺矩形水池 DEFN其中D E在AB上，如图24-94的设计方案是使 AC=8 BC=6(1) 求厶ABC的边AB上的高h .h-DN NF(2) 设DN=x且 h AB,当x取何值时，水池 DEFN的面积最大？(3) 实际施工时，发现在 AB上距B点1. 85的M处有一棵大树，问：

7、这棵大树是否位于最大矩形 水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的 最大矩形水池能避开大树.23如图所示，已知O 0的周长等于6 cm求以它的半径为边长的正六边形ABCDE的 面积.24.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨:甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形如圆内接矩形不一定是正方形.乙同学：我知道边数为 3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形丙同学：我发现边数为 6时，它也不一定是正六边形如图2, ABC是正三角形，弧 AD弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形 ADBECI不是正六

8、边形.(1) 如图1,若圆内接五边形 ABCDE勺各内角均相等，则/ ABC=。，并简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由；(2) 如图2,请证明丙同学构造的六边形各内角相等；(3) 根据以上探索过程， 就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n (n>3, n为整数)”的关系，提出你的猜想(不需证明)25如图有一个宝塔， 它的地基边缘是周长为 26m的正五边形ABCD(如图)，点0为中心.(下 列各题结果精确到 0.1m)(1) 求地基的中心到边缘的距离；(2) 己知塔的墙体宽为 1m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的 观

9、光通道，问塑像底座的半径最大是多少？26. (1)数学爱好者小森偶然阅读到这样一道竞赛题:一个圆内接六边形 ABCDEF各边长度依次为 3 , 3, 3 , 5, 5, 5,求六边形 ABCDEF勺面积.小森利用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等”这一数学原理，将六边形进行分割重组，得到图.可以求出六边形 ABCDEF勺面积等于(2)类比探究：一个圆内接八边形，各边长度依次为2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3求这个八边形的面积.请你仿照小森的思考方式，求出这个八边形的面积.27. (1)已知：如图1,在矩形 ABCD中，点E, F分别在AB, CD边上，BE=DF连接CE, AF.求证

10、:AF=CE(2)如图2, AB切O O于点B, OA=2, / OAB=30，弦BC/ OA求：劣弧 BC的长.(结果保留n)答案: 试题分析：因为正六边形的半径等于边长， 所以CD=2连接0C可知 0C是等边三角形，/ ODC=60 , 作CM垂直0D于M,根据直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半， 所以DM=1所以0M=2-仁1 由勾股定理得：CM= 3，因为C点在第四象限，所以 C点坐标为（1, - ,3），故选C.2. B试题解析：由正六边形可分成六个全等的等边三角形，则阴影部分的面积与中间的正三角形的面积相等，即阴影部分的面积为正六边形的面积的一半.设边长为R,所以有 6

11、X 1 xr2xsin60 ° =2X2 3 ,2/ R=4cm故选B.3. C试题分析：分别利用勾股定理、全等三角形的判定、圆周角定理及反比例函数的性质判断： 若直角三角形的两边长为3与4,则第三次边长是 5或7，故错误； 两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确； 长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°,故错误；2 反比例函数y=-，当0时y随x的增大而增大，正确，x故选C.4. A试题分析：本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键根据圆内接正五边形的性质求出/BOC再根据垂径定理求出

12、/ 仁36。，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解.解：丁©。是正五边形 ABCDE勺外接圆，1/ BOC= X 360° =72。，A 1/ 1 = 2/ BOC= X 72° =36°，1 1fR- r2= (2a) 2=4a2,1a=Rsi n36°,a=2Rsi n36°1a=rtan36 ° ,a=2rtan36 ° ,cos36°=, r=Rcos36°,所以，关系式错误的是R2- r2=a2.故选A.5. D试题分析：连接OA OB AF是O 0的切线，/ OAF

13、= 90°,正五边形 ABCD内接于O O,:丄 AOB=型0 = 72 OA= OB180°72°:丄 OAB=Z OBA= 542/ BA匸 90° 54°= 36°,360： =72/ F= 180° 36° 72°= 72°,故选D.点拨：本题考查了切线的性质、三角形的内角和定理、正五边形的中心角和外角的求法，明确多边形的外角和为360。，正n边形的外接圆的中心角=360°n6. D.O作 ODL BC于 D;试题分析：如图所示，过此三角形是正三角形,/ BOC=36=120&

14、#176;.3/ OB=OC1/ BOD X 120° =602/ OBD=30 ;/ OB=R-OD= , BD=OBcos302 BC=2BD=X但=、3r ,21 ?3R Sa bo= X B(X OD=X2 2 Sa ab(=3 x 3R43,3R24故选D.7. B分析：连接BO FQ OA易证OA/ OF由两平行线的间的距离相等可知OAB勺面积= ABF的面积,从而图中阴影部分的面积等于扇形OAF的面积X 3.详解：如图，连接 BO FO OA六边形ABCDE是圆的内接正六边形，/ AOB/ AOF3600 - 6=60°. O/=OB=OF OAF AOB都是

15、等边三角形，:丄 AOI=Z OAB60°, OA/ OF OAB的面积= ABF的面积，六边形 ABCDE是正六边形， AF=AB60nxjc 3 = 2n图中阴影部分的面积等于扇形OAF的面积X 3= |,故选：B.点拨：本题考查了不规则图形面积的求法，用到的知识点有：圆内接多边形的计算，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，同底等高的三角形的面积相等，扇形面积的计算，解题的关键是把阴影部分的面积转化为求扇形的面积8. A分析：连接 OE, OD, OD,如图，根据正六边形的性质得/EOD=60°,则厶EiOD为等边三角形,再根据切线的性质得 OD丄EiDi,于是

16、可得OD= EiD= ' X 2,利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形 A2B2GBE2F2的边长=X 2,同理可得正六边形A3RGBE3F3的边长=()2X 2,依此规律可 - 0D丄 Ei D ,10得正六边形 A11B11G1D1E11F11的边长=(2 ) X 2,然后化简即可.详解：连接OE, OD, 0D,如图，At 金 S；六边形 AiBiGDEiFi为正六边形,/ EiOD=60° EiOD为等边三角形，正六边形 ABGDEaFz的外接圆与正六边形 AiBiGDEiFi的各边相切,i 2正六边形 ABGDEzFz的边长=2 X 2,同理可得正六边形 AB

17、GDbEsFs的边长=()2X 2,百 243则正六边形 A i Bi i G i D i Ei i Fi i的边长=()i 0X 2=.故选A.点拨：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n (n是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.记住正六边形的 边长等于它的半径.9. B试题分析：由四边形 ABCD是圆的内接四边形，根据圆的内接四边形的对角互补，易得ZZ D,继而求得答案.A+Z C=Z B+解：四边形ABCD是圆的内接四边形，/ A+Z C=180，/ B+Z D=180 ,/ A+Z C=Z B+Z D, Z A

18、:Z B:Z C:Z D可以是 1: 3: 4: 2.故选B.10. B.试题解析：五边形的内角和为（5-2 ） ?180° =540°,所以正五边形的每一个内角为540°+ 5=108°,如图，延长正五边形的两边相交于点O,则Z仁360° -108°X 3=360° -324° =36°,360°+ 36° =10,已经有3个五边形， 10-3=7 ,即完成这一圆环还需 7个五边形.故选B.11. 1.3.试题分析：作 ONL BC于N,根据正三角形和正六边形的性质求出正六边形DFH

19、KGE勺面积，根据三角形的面积公式计算即可六边形 DFHKGE正六边形， AD=DE=DF=BF=4 OH=4由勾股定理 得，ON=OH2 HN2=2、3，则正六边形 DFHKGE面积=-X 4 X 2、3 X 6= 2. 3，设这个正六2边形的内部任意一点到各边的距离和为h,则1 X 4 X h=24、3，解得，h=12-、3.2故答案为：12.3 .19G12.24 30.8解析:A.正六边形边长为:2、3tan601正六边形面积为：122、3 624.3 .B.sin38. 2 0.8.13.兰 cm23等边三角形的边长为 4厘米,ODL AB AD=2 厘米,又 Q DAO -2BAC

20、o60AO斗cos30433 ，故答案为:14. 2、34、3316n2cm.316平方厘米.解析：如图所示，AB=4cm过O作OGL AB于G,此多边形是正六边形,/ AOB=36=60°,Z AOG业=30°6 2 OG=AGtar£ AOG =_2_ = 2 3 ,3 '故答案为：2 3 .15.3.32试题解析：连接 AO BO过点O作OH AB于点E,/ C=30°,:丄 AOB60。， AGBO AOB是等边三角形， A(=BOAB=1, EO=sin 60°1Svaob2EOAB3 .34 43.3故答案为：2 *16.

21、20°试题分析：连结 BD 如图，/ ADB=/ ACB=50 , / BDCM ADC-Z ADB=70 -50 ° =20°, / BAC=/ BDC=20故答案为20°.O O的内接六边形的面积为:3 = 3.33 二4222117. 未装满解析：试题分析：当圆的直径等于正方形的边长，则正方形的面积大于圆的面积考点：面积的计算18. 60解析：正六边形的圆心角等于一个周角，即为360° ，正六边形有 6个中心角,所以每个中心角=360°* 6=60°,故答案为：60.19.解析：由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊

22、内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积.解：如图所示， OC2, OD2X sin30 ° =1;如图所示, OC2, OD2X sin45如图所示, 0D2X cos30°= 馆,则该三角形的三边分别为:t2+( )2=( )2,该三角形是直角边，该三角形的面积是：X ix|：/|= .I C故答案为：点拨：本题考查了正多边形与圆、勾股定理及其逆定理等知识构造直角三角形是解题的关键 20. 72分析：连接 OA OB OC根据正多边形的中心角的计算公式求出/AOB证明 AOM BON根据全等三角形的性质

23、得到/ BONK AOM得到答案.详解：如图，连接 OA OB OC560'/ AOB=5 =72°, / AOB=Z BOC OA=OB OB=OC / OAB=/ OBC在厶 AOMD BON中,OA = OBZOAMOBNAMBN AOMP BON / BONK AOM / MONK AOB=2故答案为：72.21. (1)等边三角形；(2) ( 2) PA+PB=PC ( 3) 芒试题分析：(1)根据圆周角的定义可得圆周角相等，他们所对的弦也相等得出AC=BC同弧所对的圆周角相等可得/ BAC=/ BPC=60，有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形，可

24、得三角形ABC为等边三角形.(2)在PC上截取PD=PA连接AD,得出 PAD为等边三角形，再根据已知条件得出uuu PABA DAC得 出PC=DC PD+DC=PC等量代换得出结论.(3)当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大.理由，如图过点P作PEL AB, CF丄AB垂足分别为点 E,点F,四边形APBC的面积为 APB与厶ACB的和，底相同，当PE+CF最大时，四边形的面积最大， 因为直径是圆中最大的弦，uuu即PE+CP直径，即P为AB的中点时，面积最大.试题解析：(1)等边三角形；(2) PA+PB=PC证明：如图1,在PC上截取PD=PA 连接AD.屈1/ APC=60

25、 . PAD是等边三角形. PA=AD / PAD=60 ,又/ BAC=60 ,/ PAB2 DAC/ AB=AC PABA DACPB=DC/ PD+DC=PC PA+PB=P.Cuuu(3)当点P为AB的中点时，四边形 APBC面积最大.理由如下：如图 2,过点P作PEL AB垂足为E,过点C作CFLAB垂足为F.丄丄'S pa= - AB PE Saabc= - AB CF.丄S四边形APB(= -AB ( PE+CF .uuu当点P为AB的中点时，PE+CF=PC PC为O O的直径.此时四边形/ PAD=60 / PAD=60面积最大.又TOO的半径为1 ,其内接正三角形的

26、边长AB=.11 S 四边形 APB(= - X 2X * = .22. (1) 4.8(2) 2.4 (3)见解析试题分析：(药首先利用勾股定理求得AE的长再利用三角形面积的两种求法解得高h的值.2S 2=-一(x -4.8x),(2) 根据相似形对应边成比例列出矩形面积关于黑的关系式S矩形DEFN 12 利用二次函数的性质求关系式的最大值.(3) 根据(2)知，知道X的取值，此时 S矩形DEFN最大，求得EF、BF的值.再利用勾股定理求得 BE的 值，并与1.85比较大小.试题解析： 过C作CGL AB于G贝U CGh,在RtA ABC中, AB二冏討=肘*1 1S AAC * BC =

27、A8 k h*根据三角形面积公式得：AC BC 8«6 -=-4,8.AB 10/如图,NF/ AB CNFA CABh-DNINFi « =FhAB10(4.S-x)NF =4$= NFx =(m2-4.8x) = -Hx-2.4)2 + 12, S矩形 DEFN'I则当x=2.4时,S矩形DEFN1大；当S矩形DEFN1大，x=2.4 ,过点C作CGL AB于点G,/ ABC是直角三角形， AC=8, BC=6, AB=10，8x6*'* CG =101EF = -CM = 24 F为BC中点,在 Rt FEB中, EF=2.4 , BF=3"

28、EB = J&F2-EF2 = j?-2.42 = 18,/ BM1.85 BM>EB故文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案 x=2.4 时，NF=5 At=3.2由圆的对称性知：满足题设条件的设计方案是：将最大面积的建筑物建在使 AC=6, BO8,且C点在半圆周上的厶ABC中.27223. 3 cm2 试题分析：把内接正六边形问题转化成正三角形问题，利特殊三角形求边的长度，再求面积试题解析：设正六边形边长为a,则圆0半径为a,由题意得：2 a=6，a=3.如右图，设 AB为正六边形的一边， 0为它的中心, 过O乍ODL AB垂足为D,180i3则 0Dr6,则/ DO

29、A竺1=30° AD=丄AB=?,6223 JT在 Rt ABC中, OD=r=dcm,2 S=6 1ar6=1 x 3X 疸 x 6=272 2 2 2、3 cm .点拨：正六边形问题，可以转化为正三角形问题，正三角形问题，可以转化为30° -60° -90° 特殊三角形，三边比例是1:32，利用特殊三角函数值或者勾股定理，可以快速计算各边关A24. (1) 108.见解析；(2)见解析；(3)见解析试题分析：(1)运用n边形的内角和定理就可求出/ABC的度数；已知圆内接五边形ABCDE勺各内角均相等，要证该五边形为正五边形，只需证该五边形的各边均相等

30、，只需利用弧与圆周角之间的 等量关系就可解决问题.(2) 由厶ABC是正三角形可得/ ABC* ACBN BAC=60，根据圆内接四边形的性质可得/AFC /ADB / BEC均为120 °,由亦石可得/ ABD玄CAF,即可求出/ DAF=120，同理可得/DBENECF=120，问题得以解决.(3) 依据对(1)、( 2)的探索积累的经验就可提出合理的猜想.解：(1)v五边形的内角和 =(5- 2)X 180° =540°,/ ABC =108°.5故答案为：10 8.理由：如图1,/ A=Z B Wr亡甘=I二匚 = BC=AE同理可得：BC=DE

31、 DE=AB AB=CD CD=AE BC=DE=AB=CD=AE五边形 ABCDE!正五边形；(2)证明：如图2, ABC是正三角形， / ABC=Z ACB2 BAC=60 ,四边形ABCF是圆内接四边形， / ABC+Z AFC=180 , / AFC=120 .同理可得：/ ADB=120 , Z BEC=120 ./ ADB=120 ,/ DAB+Z ABD=60 ./ ABD=Z CAF,/ DAB+Z CAF=60 ,/ DAF=Z DAB+Z CAF+Z BAC=120 .同理可得：Z DBE=120 , Z ECF=120 , Z AFC=Z ADBZ BEC玄 DAF=/

32、DBE=Z ECF=120 ,故图2中六边形各角相等；(3)由(1 )、(2)可提出以下猜想:当n(2) 1m.定为正多边形.(n>3, n为整数)是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形;试题分析：(1)构造一个由正多边形 的边心距、半边和半径组成的直角三角形根据正五边形的性25.( 1)3.6m；26- 10=2.6，最质得到半边所对的角是他=36°,再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是5后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1 )中的结论、塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算.试题解析：(1 )作OMLAB于点M,连接OA OB则OMI为边心距，Z AOB是中心角.由正五边形性质得/ AOB=360十5=72°1又 AB)X 26=5.2 ,5 AM=2.6,Z AOM=3° ,在 Rt AMO中，边心距 OM= AM 2.636 mtan 36o tan 36o(2) 3.