二面角求解方法

1、二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答 题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总 结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成 的角就是二面角的平面角。2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂 足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二 面角的平面角。3、作棱的垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就 是二面角的平面角。4、投影法：利用s投影面=s被投影面cos这个公式对于斜面三角形

2、，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题5异面直线距离法：EF=m2+n2+d2 2mrcos例1:若p是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为 2的正三角形，PA= 6 ,求二面角P-BC-A的大小。分析：由于这两个三角形是全等的三角形,故采用定义法解：取BC的中点E,连接AE PEAC=AB PB=PCAE BC, PE BCPEA为二面角P-BC-A的平面角在 PAE 中 AE=PE=3 , PA= 6 PEA=900二面角P-BC-A的平面角为900例2:已知 ABC是正三角形，PA 平面ABC且 PA=AB=a二面角A-PC-B的大小。 思维二面角的大小是由

3、二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角解1：（三垂线定理法）取AC的中点E,连接BE过E做EF PC连接BFPA 平面ABC PA 平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=ACBE平面PAC由三垂线定理知BF PC图1设PA=1,E为AC的中点,BE仝,EF二鼻24BFE为二面角A-PC-B的平面角tan BFE =BE “6 EFBFE =arctan 、6解2:（三垂线定理法）取BC的中点E,连接AEPE过 A做 AF PE, FMPC,连接FMAB=AC,PB=PCAE BC,PE BC

4、BC 平面PAE,BC平面PBC平面PAE平面PBC,M平面PAE平面PBC=PE由三垂线定理知AM PCE图2BFMA为二面角A-PC-B的平面角设 PA=1 AM，AF=APA1 节sin FMA=圧厘AM 7FMA=argsin 宁解3:（投影法）过B作BE AC于E,连结PEPA 平面ABC PA 平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC二AC图3BE平面PACPEC是 PBC在平面PAC±的射影设 PA=1,则 PB=PC=2 ,AB=1_1_47S pec ,SPBC44由射影面积公式得，COSPECS PBCJ7arg cos解4:（异面直线距离法）过A作A

5、D PC,BE PC交PC分别于2设 PA=1则 AD=f,PB=PC=2BE=瓷叮,CE叮D斗2由异面直线两点间距离公式得a4aD+BE+DE-2ADBED0S , COS 二口7arg cos 点评本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。例3:二面角EF 的大小为120，A是它内部的一点，AB ，AC ,B、C为垂足。(1) 求证：平面ABC ,平面ABC(2) 当AB=4cm,AC=6c时求BC的长及A到EF的距离分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角 解：(1)设过ABC的平面交平面 于BD,交平面 于CDAB ,AB 平面 ABC平面ABC ,同理平面 ABC(2) ABAB

6、EF同理AC EFEF平面ABDCBD EF, CD EFBDC =120BAC 60BC= 42622 4 6COS60 2 7 cm有正弦定理得点A到EF的距离为：d=BC dcmsi n603二面角的求法一、复习引入：1、什么是二面角及其平面角范围是什么 从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角a l B。 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做面角的平面角范围:0,2、二面角出现的状态形式有哪些竖立式横卧式2、二面角的类型及基本方法(1)四种常规几何作求法定义法垂面法;三垂线法;射影面积法cos =S 射影多边形 /

7、S 多边形设m和n分别为平面,的法向量，二面角i的大小为，向量m、n的夹角为，如图：(2)向量法:结论：设m和n分别为平面 ，的法向量，二面角l的大小为，向量 m、n的夹角为或结论：一般地，若设n,m分别是平面，的法向量，则平面 与平面 所成的二面角，则有的计算公式是:nm9«|nmarccos（当二面角为锐角、直角时）或（当二面角为钝角时），其中锐角、钝角根据图形确定。、例题讲解:以锥体为载体，对求角的问题进行研究例1如图,在底面是一直角梯形的四棱锥 S-ABCD中，AD/ BC,/ABC=90 , SU平面AC,SA=AB=BC=1AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。解法

8、1：可用射影面积法来求，这里只要求出SaSCD与 SaS故所求的二面角B应满足cos =1 1 1 工1 73 亚32 2点评：（1）若利用射影面积法求二面角的大小， 作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理. （2）由学生讨论解决，教师根据学生的解答情况进行引导、明确学生的解答解法2:（三垂线定理法）解：延长CD BA交于点E,连结SE SE即平面CSD与平面BSA的交线.又t DAL平面SAB 过A点作SE的垂线交于F.如图.1 AD=丄 BC且 AD/ BC2 ADEA BCE EA= AB- SA又 SAL AESAE为等腰直角三角形，F为中点，DAL 1 CL 近i 近口AF -

9、SE 一SA 一 又t DAL平面 SAE AFLSE2 2 2由三垂线定理得DFL SE / DFA为二面角的平面角， tan DFA= DA-即所求二面角的正切值.FA 2评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角； 三求：通过计算求出相应的角。点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线 注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还 有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，

10、交点在二面角的面内。解法3:（向量法）解：如图，建立空间直角坐标系，则 A（0,0, 1），易知平面SAB的法向量为m=（0 ,0）；0, 0），B（0，1, 0），C（-1，1, 0），D（0，0），S（0， 设平面SDC的法向量为n =（x , y, z），而DC =（-1 ,uuu0），DS=（O，1）uuirDC，r uuu uur n 丄 DS , m 丄 DC .r umr n?DC r umr2y 0令x 1得:y 2, z12y1。即 n=（1,2,1）面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角B,Sir ir cos n,mm?n -jmn=2 6=故面SCD与面SBA所成的角大

11、小为arccos.点评：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三 角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、 证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是 一种有效方法。搭建平台，自主交流，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点, 体验数学的简约美，一题多解是训练学生思维的有效形式。以柱体为载体，对求角的问题进行研究例2、已知D E分别是正三棱柱 ABC- A1B1C的侧棱AA和BB上的点，且 AD=2BE=BC.求过 D E、C的平面与棱柱的

12、下底面所成二面角的大小（几何法）解：在平面MBB内延长DE和A1B1交于F,则F是面DEF与面ABC的公共点，C也是这 两个面的公共点，连结 CF, CF为这两个面的交线，所求的二面角就是 D-C1F-A1. AD/ BE,且 AD=2BE, E、B分别为DF和AF的中点.T A1B=BF=BC , FC丄AQ.又面AACC丄面ABC , FC在面ABC内， FG丄面AAGC.而DG在面AAGC内， FG丄 DG. / DGAi是二面角 D-FG-Ai 的平面角. 由已知AiD=BC=AG,：/ DGAi=.故所求二面角的大小为法2:（向量法）解：建立如图的空间直角坐标系 A xyz，设B1G

13、1 2，则B&.3，1，0）,E（、.3,i,i）, Ci（0,2,0）,D（0,0,2）,易知平面 AiBiG 的法向量为 n =（0,0,i）,DGr =（0,2,-2）,由LTLTITz i m= （0，1，1） cos n,m设平面DEG的法向量为m=（x，y，z）,而 DK3，i，-i），山山_即y z，不妨设X 0，得ym?DE 0 3x y z 0 yx 0 yir uuuium?DCi 0 2y 2z 0面AiBiG与面DEG所成角的二面角为锐角4点评：无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要根据公理2或公理4来找出二面角的

14、棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这 种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行）。那么延长这两条线有一交点，根据公理 2,这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面 角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4,可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。课堂反馈练习：如图,直四棱柱 ABCD-ABGD的底面是梯形，AB/ CD ADL DG GD=2 DD=DA

15、=AB=,i P、Q分别是 CG、GD的中点，求二面角B-PQ-D的大小。y COS斤 DA I： DA 2 0 从图中可知，二面角B-PQ-D为锐角，'n DA 32因此二面角B-PQ-D的大小为arccos.3点评：二面角问题可以综合较多知识点，可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我 们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识，要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角，然后通常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的，解这类题，找平面角是关键的一步，要注意运用题中的条件分析图形，然后用有关的方法找 出平面角，计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。三、课堂小结：二面角的类型和求法可用框图：点评：自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次 巩固。四、作业：Q如图，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为3,侧棱AAi 一V3，D是CB延长线上一点，且BD BC。求二面角B1 AD B的大小。解：取BC的中点0,连AO由题意 平面ABC 平面BCCiBi，AO BC，二AO 平面BCC&，以0为原点，建立如图6所示空间直角坐标系,则 A(0,0,一)，/ 一 c c、93 3 B（ °0），D（严,B（，5AD （,0, 2，BQ