初中二次函数知识点详解助记口诀

1、学习必备欢迎下载学问点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念 一般地，假如特yax2bxc a, b, c是常数， a0) ， 特殊留意 a 不为零那么 y 叫做 x 的二次函数；yax 2bxca, b, c是常数， a0) 叫做二次函数的一般式；2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x抛物线的主要特点：b对称的曲线，这条曲线叫抛物线；2a有开口方向；有对称轴；有顶点；3、二次函数图像的画法五点法：（1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线yax 2bxc 与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 a,

2、b 及抛物线与 y 轴的交点 c，再找到点 c 的对称点 d；将这五个点按从左到右的次序连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像；当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 c 及对称点 d ；由 c、m 、d 三点可粗略地画出二次函数的草图；假如需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 a 、b ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像；学问点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一 般 两根三顶点（1） 一般一般式：yax 2bxca,b, c是常数， a0（2） 两根当抛物线 yax 2bxc 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2

3、bxc0 有实 根 x1 和x2 存 在 时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式ax 2bxca xx1 xx2 ， 二 次 函 数yax 2bxc 可转化为两根式ya xx1 xx2 ；假如没有交点，就不能这样表示；a的肯定值越大，抛物线的开口越小；（3） 三顶点顶点式：ya xh 2k a , h, k是常数， a0学问点三、二次函数的最值学习必备欢迎下载假如自变量的取值范畴是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 xb时，2a4 acb2y最值；4a假如自变量的取值范畴是x1xx2 ，那么，第一要看b是否在自变量取值范畴2ax1xx2 内，b4acb 22

4、如在此范畴内， 就当 x=时， y最值；如不在此范畴内，就需要考虑函数在x1 2a4 ax x2 范1围内的增减性， 假如在此范畴内， y 随 x 的增大而增大， 就当 xx2 时， y最大ax2bx2c ，当 xx1时， y最小ax 2bx1c ；假如在此范畴内， y 随 x 的增大而减小， 就当 xx1 时， y最大ax 2bx1c ，1当 xx2 时，y最小ax 2bx2c ；2学问点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数y ax 2二次函数bxca ,b,c是常数， a0a>0a<0yy图像0x0x（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延长；bb（ 1）抛物线开口向下，并向下

5、无限延长；bb（ 2）对称轴是x=，顶点坐标是（2a，（ 2）对称轴是x=2 a，顶点坐标是（，2a2a2性质4acb）；4 ab4acb 2）；4ab（ 3）在对称轴的左侧，即当x<时， y 随 x2a（ 3）在对称轴的左侧，即当x<时， y 随2a的 增 大 而 减 小 ； 在 对 称轴 的 右 侧 ， 即 当x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当学习必备欢迎下载bx>时， y 随 x 的增大而增大， 简记左减2abx>时， y 随 x 的增大而减小，简记左2a右增；（ 4）抛物线有最低点，当x=b时， y 有最小2a增右减；（ 4）抛物线有最高点，当x=b时， y

6、 有最2 a值， y最小值4 acb2 4a大值，y最大值4acb 24a2、二次函数yax 2bxca,b, c是常数， a0 中，a、b、c 的含义：a 表示开口方向：a >0 时，抛物线开口向上a <0 时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=b2 ac 表示抛物线与y 轴的交点坐标： （ 0， c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标；因此一元二次方程中的b 24 ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点；当 >0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当 <

7、;0 时，图像与 x 轴没有交点；学问点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，懂得记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y2如图：点a 坐标为（ x 1， y 1）点 b 坐标为（ x2， y2 ）就 ab 间的距离，即线段ab 的长度为x1x2y1y2a20xb2，二次函数图象的平移学习必备欢迎下载 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k； 保持抛物线yax2 的外形不变，将其顶点平移到h，k处，详细平移方法如下：y=ax 2向上 k >0【或向下 k<0】平移 |k|个单位y=ax 2+ k向右 h&

8、gt;0【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=a x-h2向右 h>0 【或左 h<0 】平移 |k| 个单位向上 k>0 【或下 k<0 】平移 |k|个单位向上 k >0【或下 k <0】平移 |k |个单位向右 h>0【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=a x-h2+k平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3 分，但把握这个学问点，对提高答题速度有很大帮忙，可以大大节约做题的时间）特殊记忆 -同左上加异右下减 必需懂得记忆 说明函数中 ab 值同号，图像

9、顶点在y 轴左侧 同左 ， a b 值异号，图像顶点必在y 轴右侧 异右向左向上移动为加左上加 ，向右向下移动为减右下减3、直线斜率：ktany2y1x2x1b为直线在 y 轴上的截距 4、直线方程：4、 两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:yy1kxb t a n xby2y1x2x1x xx1此公式有多种变形牢记 点斜yy1kxxx1 斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: y kx b k0 截距由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy1ab牢记口诀 -两点斜截距 - 两点点 斜 斜截截距学习必备欢迎下载5、设两条直线分别为，l 1 ： yk1

10、 xb1l 2 ： yk 2 xb2如 l 1/l 2 ，就有l1 / l 2k1k 2且 b1b 2 ；如ll12k 1k 216、点 p（ x0，y0）到直线 y=kx+b 即： kx-y+b=0的距离 :dkx0k 2y0b12kx0y0bk 217、抛物线 yax 2bxc 中， a b c,的作用（ 1） a 打算开口方向及开口大小，这与yax 2 中的 a 完全一样 .（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线ybbax 2bxc 的对称轴是直线x，故： b2 a0时，对称轴为y 轴；0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；a b0 （即 a 、 b

11、 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .口诀 -同左异右a（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0 时， yc ，抛物线yax 2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）： c0 ，抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，就b0 .a二次函数图像与性质口诀 : 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点 , 它们确定图象现；开口、大小由 a 断 ,c 与 y 轴来相见 ,b 的符号较特殊，符号与 a 相关联；顶点位置先找见， y 轴

12、作为参考线，左同右异中为 0，牢记心中莫纷乱；顶点坐标最重要 , 一般式配方它就现，横标即为对称轴 , 纵标函数最值见；如求对称轴位置 , 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换；二次函数抛物线，选定需要三个点， a 的正负开口判， c 的大小 y 轴看，的符号最简便， x 轴上数交点， a、 b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键；关于 x 轴对称yax2bxc 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；学习必备欢迎下载关于 y 轴对称2yaxbxc 关于 y

13、轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于原点对称yax2bxc 关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk关于顶点对称2yaxbxc 关于顶点对称后，得到的解析式是22byaxbxc；2yaxhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2a2yaxhk 关于点 m ，n对称2yaxhk 关于点m，n对称后，得到的解析式是2ya xh2m2nk依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的外形肯定不会发生变化，因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依

14、据题意或便利运算的原就，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键； 开口、顶点和交点, 它们确定图象限；开口、大小由a 断 ,c 与 y 轴来相见 ,b 的符号较特殊，符号与a 相关联；顶点位置先找见，y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫纷乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见；如求对称轴位置,符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换；学习必备欢迎下载解一元二次不等式：第一化成一般

15、式，构造函数其次站；判别式值如非负，曲线横轴有交点； a 正开口它向上，大于零就取两边；代数式如小于零，解集交点数之间；方程如无实数根，口上大零解为全；小于零将没有解，开口向下正相反；13.1 用公式法解一元二次方程要用公式解方程，第一化成一般式；调整系数随其后，使其成为最简比；确定参数abc ，运算方程判别式； 判别式值与零比，有无实根便得知；有实根可套公式，没有实根要告之；用常规配方法解一元二次方程：左未右已先分别，二系化“1”是其次；一系折半再平方，两边同加没问题；左边分解右合并，直接开方去解题；该种解法叫配方，解方程时多练习；用间接配方法解一元二次方程：已知未知先分别，因式分解是其次；调整系数等互反，和差积套恒等式；完全平方等常数，间接配方显优势【注】恒等式学习必备欢迎下载解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最抱负；假如缺少常数项，因式分解没商议；b、c 相等都为零，等根是零不要忘；b、c 同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方；二次函数：二次方程零换y，二次函数便显现；全体实数定义域，图像叫做抛物线；抛物线有对称轴，两边单调正相反；a定开口及大小，线轴交点叫顶点；顶点非高即最低；上低下高很惹眼；假如要画抛物线，平