(完整版)高考数学圆锥曲线的经典性质50条.doc

1、椭圆与双曲线的对偶性质 一（必背的经典结论）1. 点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角.2. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PFi为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.6.7.8.若 Po (xo , yo)若 Po(X0 , yo )x2 椭圆一y2x2在椭圆一a2x2 在椭圆一a2y2y2b21 t.则过Po的椭圆的切线方程是a2yo yF1.1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为3>b> o）的左右焦点分别为Pi、P2,则切点

2、弦Fi PF2Fi, F 2,点P为椭圆上任意一点xo x yo y 1PF?的直线方程是 a2 b2，则椭圆的焦点角形的面积为 S Fi PF222X v椭圆 1 (a> b> 0)的焦半径公式：a 2 b2M Fi a exo , | M F 2 a exo (Fi ( c,0) , F2 (c,0) M (xo , yo ).b2 tarn .2AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于M、N两点，则MF ±NF.AiP和A2Q交于点M , A2P和A iQ交于点N,则MF1,NF. b2 , a 29. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个

3、顶点，连结10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q,Ai、A2为椭圆长轴上的顶点,22x y11. AB是椭圆 一 一 1的不平行于对称轴的弦，m &o , yo ）为ab的中点，则kow kAB a2 b2即 TZ b 2 xoKab 0a 2 yo若12. Po（xo 不严乂x2y21内，则被P。所平分的中点弦的方程xo x y0 y是X0 2yo 213.若Po（X0,yo）在椭圆1.2.3.4.5.6.7.8.9.a2b2a2b2a2b2i内，则过po的弦中点的轨迹方程是4点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角.xnvo双曲线PT平分 PF1F2在点P处的内

4、角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）若p。（刈，汽）在双曲线若Po （xo , yo ）在双曲线双曲线bFPF双曲线当 M当 Ma2 b2b2co t .2(xo, yo)(xo, yo)a2(a>21b2b2昱b20,b >(a> 0,b> o )在右支上时,在左支上时,MFiMFi（a> °,b> °）上，则过Po的双曲线的切线方程是(a>0,b>0)外

5、，的左右焦点分别为的焦半径公式：（F1exo a , M F2exo a, MF2设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交xo xa2川i. b2则过P。作双曲线的两条切线切点为Fi, F 2 ,点P为双曲线上任意一点(c,0) , F2 (c,0)exo aP、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和Pi、P2 ,则切点弦P1P2的直线方程是a 2 b2F1PF2 ,则双曲线的焦点角形的面积为1.AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,10.11.12.13.1.2.3.4.则 MF ±NF.过双曲线一个焦点X?AB是双曲线_a2F的直线与双曲线交于两点 P、Q , Ai、A

6、 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q交于点M , A 2P和A iQ交于点N,则M F，NF.a>O,b> 0）的不平行于对称轴的弦，M , yo ）为AB的中点，则K 0MK ABb2若Po （xo ，yo ）在双曲线若Po （xo ，yo）在双曲线椭圆x27x2 a2 y2 b21.过椭圆数）.x2a 2 x22ay2y21（a>0,b>0）内，则被P。所平分的中点弦的方程是2,（a>0,b>0）内，则过P。的弦中点的轨迹方程是xp x yp ya2 x2-7ab2 y22 - bX027xo X2ayo椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论

7、）高三数学备课组（a> b > O）的两个顶点为Al （ a,0）, A2 （a,o）,与y轴平行的直线交椭圆于Pl、P2 时xLa2b2（3>o, b> 0）上任一点A （xo ， yo）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线若P为椭圆x2a2b222x y设椭圆1a2 b21 （ a>b> 0）上异于长轴端点的任一点，Fi,F 2是焦点，PF1F2（a > b > 0 ）的两个焦点为Fi、F2,P （异于长轴端点）为椭b2x0 ,即 K ABa2 yoyo27-A1P1 与 A 2P2BC有定向且PF2F1 ，则百）b 2 xo

8、2 八V2 a yo交点的轨迹方程是BCtan2b2 xo (常2 a yoCG-t .2圆上任意一点，在 PF1F2中，记F1PF25.PF1F2 , FiF2P，则有she.sh sh ax2 若椭圆一a2V21 ( a>b> 0)的左、右焦点分别为b 2Fi、F2,左准线为L,则当OVeW S 1时，可在椭圆上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.22x yP为椭圆1( ab0 )上任*点,Fi,F2为焦点,a2 b2A为椭圆内一定点，则2aAF2 pA|pFi | 2a AFi I，当且仅当 A, F2 , P三点共线时，等号成立.(x7. 椭圆炉

9、 (y yo A 1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是a2b2A2 a2 B2b2 (Ax o Byo C )2已知椭圆上总a2b2(a>b> 0) , 0为坐标原点，P Q为椭圆上两动点，且1OP.(1) OQ10P|OQju ；(2)ppF+pq 2 a2 b2的最大值为4Z a2 b的最小值是 9 9；(3) S OPQ一屋b?a2 b29.x2 过椭圆一(a>b> 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,PF |10.a2x2 已知椭圆b 2y21( a> b>0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂

10、直平分线与x轴相交于点P 80 ,0),a2 b2MN |2a2 b2 a2 b2 xo aa2b2.2)1 cos11.设P点是椭圆 一 卫2 1 ( a> b > 0 )上异于长轴端点的任一点，F】、F2为其焦点记F1PF2 ，则(1) |PF1PF2a2 b2s PF1 F2 b2 tair .222BPA, c、e分别是椭圆的A、B两点，点C在右准线1上，且B C Xx y,12.设A、B是椭圆 9 1 ( a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点， PAB ,PBA a2 b2、In a 2ab2 | cos |22a2b2半焦距禺心率，则有(1) P A2

11、2l.(2) tan tanl e .(3) 5 fab-:?cca c co sb a2213 .已知椭圆 1( a> b>0)的右准线1与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 a2b2轴，则直线AC经过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16 .椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、

12、外点 .）17 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线2.4.22x y 1双曲线1a 2 b222x y _ 程是1.a 2 b 2（a> 0,b> 0）的两个顶点为x y过双曲线二T =1 （ a> 0,b>。）上任一点a2 b2kBC b% （常数）.2ryo若P为双曲线22x y 1L 一1 ( a> 0,b> 0 )右Ai （ a,0） , A2 （a,0），与y轴平行的直线交双曲线于A &o ,

13、 yo ）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于（或左）支上除顶点外的任一点,Fi, F 2是焦点，Pi . P2时A 1P1与A 2P2交点的轨迹方B,C两点，则直线 BC有定向且PFiF2PF2F1 ，则COr tanco t (或Or tan co 二 ).c a 22 c a 22设双曲线4 4 1（a>0,b>0）的两个焦点为F1 a2 b2F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在4PFi F2中，记FiPF2,PFiF2，FiF2Pshc,则有(sh sh ) ae.x2 25.若双曲线7 T 1 （ a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi、F2,左准

14、线为L ,则当IVeW电 1时，可在双曲线上求一点P,使得PFi6.7.8.1)9.10.11.12.是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.X9P为双曲线或 a2 b2三点共线且P2 双曲线二a2己知双曲线12 |0P1（a> 0,b>0）上任一点,Fi,F2为二焦点,A为双曲线内一定点，则AF2 2a PAPF当且仅当AF,P和a,f2b2x2在y轴同侧时，等号成立.(a> 0,b> 0)与直线 Ax By C0有公共点的充要条件是A2a2B2b2 c 2b2b> a >0） , 0为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点，且0P2|0Q I2a2已知双曲线7

15、 a 2 bza2 b2X0设P点是双曲线bPFF设A、Bb21( 2)bp F+Dq 2 b4a2b222 ；(3)S OPQb aa2b2-22b a1（ a>0,b>0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,_pF |M N的垂直平分线父 x轴于P,贝MN a21（ a> 0,b> 0） ,A、B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与X轴相交于点P (xo,0)，则 xo2 b2 一或 ax2a2cot.2x2 是双曲线y21（a> 0,b>0）上异于实轴端点的任一点，Fi、F2为其焦点记F1PF2b2PF1 PF22b21 cosV 1 （a>0,b>0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点, b2PABPBAe分别是双曲线的半焦距离心率，则有 “）PA I2ab 2 | cos222a c cosQ) lan tanx213.已知双1111线2c2a2b21 e . (3) s PAB_2Fcot .b ay21 （ a>0,b> 0）的右准线1与x轴相交于点E ,过双曲线右焦点b2F的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线1上，且BCX轴，则直线AC经过线段EF的中点.14 .过双曲线焦半径