(整理)厦门大学年下学期高等数学期中考试卷及答案

1、厦门大学高等数学课程期中试卷答案（2011.4.16）主考教师：理工类教学组试卷类型：（A卷） .11. （10分）求抛物线y2=2x与其上一点A（2,1）处的法线围成的平面图形的面积.1解：先求出抛物线y2=2x在点A（2,1）处的法线万程.dxdy=(-y2)y=1 dy 2=1, y=1所求的法线方程为y -1=（ -1）（x-）,即y=9-x. 则法线与抛物线的两个交点分募（2,1）,（9,-3）于是所围平面图形的面积为Q _ 131 231213、S= ,(-y) -y dy= (yy _ty)3 222261 =16-3 一万2. （10分）半径为R（单位为：米）的半球形水池充满了

2、水的水全部吸尽，需作多少功?解：取坐标系如图，考察区间x,x+dx所对应的小薄层，此薄层水重为n（R2-x2）dx（吨），将此层水提高到水池外面的距离是x,因此所作的微功为_22dW =n(R -x )xdx ,（单位为：吨），要把池内要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为RW = L 兀（R2 x2）xdx = /R4 （吨.米）3. （10分）某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离,在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为（千米/时）.假设减速伞9000kg（公斤）的飞机，着陆时的水平速度为700km/h打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例

3、系数为k=6.0M 106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ,着陆时的水平速度V0=700km/h ,从飞机接触跑道开始计时，设t时刻飞机滑行的距离为x(t),速度为v(t)。2分根据牛顿第二定律知mdv = -kv,所以 dt2分kt两端积分得通解v=Ce.,代入初始条件vL°=v。，解得C=v0,故_ktv=v0e m。>+:：飞机滑行的最长距离为x(t)= J0 v(t)dt=-k mv0-mtek-bemv0=一 =1.05km。0 k3分3分ktt-ktkt或由")=v0e m 知，x(t)= J。v&

4、#176;e m dt= -v0(e m -1),故最长距离为dt0k当 t t +8 时 x(t) t mv = 1.05km o4. (10分)求微分方程y"+y'=ex+cosx的通解。解：对应齐次方程的特征方程为r2+r=0,特征根为"=0,巳=-1,所以对应齐 次方程的通解为y=C1+C2e“。3分下面分别求y "+y =ex与y"+y'=cos x的特解1* 1 x设方程y +y=ex的特解为y尸Aex,代入方程得A=2,所以y1=-e 1分为求y"+y'=cosx的特解，先求方程y"+y'

5、=eix的一个特解，1 i 为此设特解为y*=Bex,代入方程消去eix得B=-,所以1 1 i ix 1rzy*=e = -( sinx-cosx)-i(sinx+ cosx)2 分2 2* sinx - cosx即 y"+y'=cosx 的特解为 y2=2-1 分* 1 x sinx - cosx所以原方程的特解为yi+y2=2e +2-1分a 1 x sinx - cosx所求微分方程的通解为y=G+C2e+ -e+ -。2分22解：所求直线的方向向量为两已知平面法向量的叉积。2分平面2x-y-5z=1的法向量为木=2,-1,-5 ,1分平面x-4z=3的法向量为n2=

6、1，。，-4,1分i j k5. （10分）求过点（-32,5）且与两个平面2x-y-5z=1和x-4z=3的交线平行的 直线的方程。则所求直线的方向向量为n=n1Xn2=2 -1 -5=4i+3j+k,3分1 0 -4x 3 y - 2 z- 5由于直线过点（-325）,故所求的直线方程为 丁 二工一 =丁。3分43 I x2+y2+z2=166. （10分）求母线平行于x轴且通过曲线2 y 2 2的柱面方程和曲线在yoz x - y +z =0平面上的投影曲线L的方程，并求曲线L绕z轴旋转曲面方程，并指出该旋转曲面方程表示的是哪种曲面，画出它的简图。解：从上述两方程消去x便得到母线平行于x

7、轴的柱面方程y=8 y=-83 分3y2 - z2=16曲线r在yoz平面上的投影曲线方程为L:y ,2分x=0L绕z轴旋转曲面方程为 3（x2 + y2）-z2 = 16,4分此曲面称为（旋转）单叶双曲面。1分7. (10分)设二元函数z=f(u ,v)具有二阶连续的偏导数，u=xy, 丫=乂2+丫2,求2的偏导数底，且与二阶偏导数:x ；:y2，2，'一x: y .x.y ；y；x解：:f ：:u ：:f ：:v十= yfu' + 2xfv，由于互换x, y不改变u, v,从而不改变z=f(u,v),所以z是对称函数从而名=xfu + 2yfv.由全微分形式的不变性得:yF

8、zd(一):xdyfU 2状=dyfu 2d状=fudy ydfu 2 fvdx 2xdffudy yfdu "dv 2 fvdx 2xdu <dvfudy yfuu(xdy ydx) yfuv(2xdx 2ydy) 2 fvdx2xfuv(xdy ydx) 2xfvv(2xdx 2ydy)整理得d(-) 二 x=(2 fvy2fuu4xyfuv4x2fw)dx(fuxy2 匕2(x2y2) fuv4xyf.)dy所以得到一 2x- 2二 z= 2fJ y2fuu 4xyfuv 4x2fw:x :y=fuxyfuu 2(x2 y2)fuv 4xyfw- 2r二 z:y:x互换x

9、, y后变得= 2fv x2fuu 4xyfuv 4y2fvv8. (10分)求曲线x2+y2+z2=162.2,x +y =4x在点M(0,0,4)处的切线方程和法平面方程。解：记 F(x, y,z) =x2+y2+z2-16, G(x, y,z) = x2+y2-4x则Fx(M) =2x|M=0,Fy(M)=2y|M = 0,Fz(M) = 2为=8,Gx(M) =(2x-4)M= -4, Gy(M) =2yk=0,Gz(M) =0Fy FGy GFzFGz G= -32,MFyGy故所求的切线方程为 二:不二:0 -320,法平面为y=0 。9. (10分)设函数u二xy2z, (1)求u函数在点乂。(1,-1,2)指向乂1(21,-1)的方向导数;(2)问函数U在M0处沿什么方向的方向导数最大？它的最大值是多少?解：(1) s=M°Mi=(12, -3),2-3uos二2,Mo二-4,Mo=1M0二 u:smo 1414<1414沿点M0处梯度方向的方向导数最大，而graduM0=2, -4,1max-|mo=. 22+( -4)2 12 = . 21 s10.(10 分)求函数 f (x, y) =e2x(x+y2+2y)的极值。fx=e2x (2x+2y2 +4y+1)=01解：令俗e2x(2y+2)=0，得驻点M(2，F2x2_A = fxx(M )