(整理)学案24正弦定理和余弦定理应用举例

1、学案24正弦定理和余弦定理应用举例导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有 关的实际问题.回扣教材方实基础【自主梳理1.仰角和俯角目标视线在水平视线上方与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.（如图所示）I /忖标视线铅垂线水平视线I 、目标视线2 .方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角 北方向.3 .方向角：相对于某一正方向的水平角.（如图所示）北北偏东 目标45°,是指北偏东 45°,即东-"东北偏东”即由指北方向顺时针旋转 a到达目标方向.北偏西

2、a即由指北方向逆时针旋转 a到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.4 .坡角坡面与水平面的夹角.（如图所示）5.坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i=h=tan &i为坡比，”为坡角）.6.解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、 中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化, 问题，即建立数学模型.角度等问题，实质是数学知识在生活也就是如何把握一个抽象、概括的一实际情景数学结果数学模型提出问题符合实际结果【自我检测1 .从A处望B处的仰角为“，从B处望A处的俯角为3,则% 3之间的关系是（）A . o> 3B a= 3C. a+ 3= 90°

3、D. a+ 3= 180°2 . （2011承德模拟）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站 C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D,南偏西10°3 .如图所示，为了测量某障碍物两侧 A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是（）A. % a, bB. a, 3, aC. a, b, 丫D, a, 3, b4 .在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30。、60。，则塔高为

4、m.5 . （2010 全国 n ）MBC 中，D 为边 BC 上的一点，BD= 33, sin B=：5, cos/ADC = 3,135求AD.遽堂活动区突破考点研析热点探究点一与距离有关的问题【例1】（2010陕西）如图，A, B是海面上位于东西方向相距5（3 + 73）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°, B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60。且与B点相距2043海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？尤'十北变式迁移1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有

5、一条南偏东 35°走向 的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上 B处有一人正沿此公路向 A走去，走20千 米到达D,此时测得CD为21千米，求此人在 D处距A还有多少千米？探究点二测量高度问题【例2】如图所示，测量河对岸的塔高 AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测 点C与D,现测得/ BCD= a, /BDC= 3, CD = s,并在点C测得塔顶A的仰角为以求塔 高AB.A变式迁移2 某人在塔的正东沿着南偏西60。的方向前进40米后，望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为 30。，求塔高.探究点三三角形中最值问题例3（2010江苏）某兴趣小组要测量电视塔 AE的高度

6、H（单位：m）,示意图如图所示, 垂直放置的标杆 BC的高度h=4 m,仰角/ ABE=a, / ADE = 3该小组已测得一组 “、3的值，算出了 tan e= 1.24, tan 3= 1.20,请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m）,使“与3之差较大，可以提高测量精度.若电视塔实际高度为125 m,试问d为多少时，a 3最大？变式迁移3 （2011宜昌模拟）如图所示，已知半圆的直径 AB=2,点C在AB的延长线 上，BC=1,点P为半圆上的一个动点，以 DC为边作等边 PCD,且点D与圆心。分别 在PC的两侧，求四边形 OPDC面

7、积的最大值.课堂小结1 .解三角形的一般步骤(1)分析题意.准确理解题意.分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位 角等.(2)根据题意画出示意图.(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等 有关知识正确求解.演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答.(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍.2 .应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.(满分：75分)、选择题(每小题5分，共25分)角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为5-183- 2A C

8、3B.47D.82. (2011揭阳*II拟)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点 C,测出AC的距离为50 m, /ACB = 45°,/ CAB= 105° 后,距就可以计算出A. 50V2C. 25m3. AABCA9AA. 2C.4.果)占八、的B. 5073 m25 .2 D.-2 m的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为1,则其外接圆的半径为33B. 4(2011沧州*II拟)某人向正东方向走 x km后，向右转150°,然后朝新方向走 他离出发点恰好是e km , 那么 x 的A.V3B. 273C#或25D. 3

9、5. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60。方向，另一灯塔在船的南偏西75。方向,()A. 5海里B. 543海里C. 10海里D. 10v3海里题号12345答案、填空题（每小题4分，共12分）6.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔 M在北偏东60°方向， 行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东 15。方向，这时船与灯塔的距离为 .7. （2011台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15。的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶

10、部的仰角分别为60。和30。，第一排和最后一排的距离为10y6米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗手应以 米/秒的速度匀速升旗.8. （2011 宜昌模拟）线段 AB 外有一点 C, / ABC = 60°, AB =200 km,汽车以 80 km/h 的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始 h 后，两车的距离最小.三、解答题（共38分）9. （12分）（2009辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75。、30。

11、，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°, AC = 0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪 两点间距离相等，然后求B、D的距离（计算结果精确到 0.01 km,、月=1.414, 46=2.449）.10. （12分）如图所示，甲船以每小时 30近海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方 向匀速直线航行.当甲船位于Ai处时，乙船位于甲船的南偏西75。方向的Bi处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西 60。方向的B2处, 此时两船相距10m海里.问乙船每小时航行多少海里？11. (14分)(2009福建)如图,某市拟在长为 8 km的道

12、路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数 y=Asin承0, e0) , xC 0,4的图象，且图象的最高点为 £3,23); 赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全，限定/MNP=120°.(1)求A, 3的值和M, P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？答案自我检测1. B 2.B 3.A 4004万5.解 由 cos/ADC = 3>0 知 Bf, 52由已知得 cos B = 1f, sin Z ADC =4, 135从而 sin / BAD = sin( / ADC B)=sin / A

13、DC cos B cos/ ADCsin B4x 丝3x2 = 335 13 5 13 65.由正弦定理得,AD _ BD sin Bsin/ BAD533 X 所以 AD = BD sin B =3= 25.sin/BAD 33课堂活动区【例1】解题导引和余弦定理，在解题中,65这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当.解 由题意知 AB= 5(3+ 73)海里，/ DBA =90 60° = 30°, Z DAB = 90&#

14、176; - 45° = 45°, / ADB= 180° (45 + 30 )= 105°.在 DAB中，由正弦定理，得DBsin/ DABABsin/ADB5(3 + V3)sin 45sin 105 °AB sin / DABDB=sin/ADB二10乖(海里).5(3+73)sin 45 °sin 45 cos 60 4 cos 45 sin 60又 / DBC= / DBA+ / ABC = 30° + (90°60 )=60°, BC=20V3(海里)，在ADBC 中，由余弦定理，得CD2=B

15、D2+BC22BD BC cos/ DBC = 300+ 1 200 2X 10/3x20-73X2= 900, . CD =30(海里),，需要的时间t=a=1（小时）.30故救援船到达D点需要1小时.变式迁移1如图所示，易知 / CAD=25° + 35° = 60°,在 BCD中,312+ 202 212 23cos B= 2X31X20 -31'所以 sin B = *.3 1在 ABC 中，AC= BC sin B= 24, sin A由 BC2=AC2+AB2-2AC ABcos A,得 AB2-24AB-385=0,解得 AB = 35, A

16、B=- 11（舍），所以 AD=AB-BD=15.故此人在D处距A还有15千米.例2解题导引 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图， 恰当地选取相关的三角形和正、 余弦定理逐步进行求解. 注意综合应用方程和平面几何、 体几何等知识.解 在 BCD 中，/CBD=l “一 0由正弦定理得BC _ CDsin/ BDC-sinZ CBD所以BC =CD sin/ BDC _ sin/CBD 一在 RtAABC 中,s sin 3sin( a+八 / 八 s tan Osin f AB = BCtan / ACB =bsin( a+ 町变式迁移2 解由题意可知，在 4BCD中，

17、CD = 40,Z BCD =30°, /DBC=135°,由正弦定理得,CDsin/ DBCBDsin/ BCDBD =40sin 30sin 1350于 20 2.过B作BEX CD于E,显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有 /BEA=30°.在 RtABED 中，又/ BDE = 180° -135 - 30° = 15°.，BE=DB sin 15 = 2啧X 恒卜2= 10(艰1).在 RtAABE 中，AB=BE tan 30 = 10(3也)(米).3故所求的塔高为10(3，3)米. 3例3解题导引平面几何图形中研究或

18、求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题.而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解用所设变量表示出来,解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角再利用正、余弦定理列出方程， 解之.若研究最值，常使用函数思想.DB *由AB =tan-+ atan a hBD = , AD=- tan 3 tan fHAB + BD = AD,解得H =tan 3 tan g htan a 4X1.24tan a- tan 3 1.24-1.20= 124(m).因此，算出的电视塔的高度H是124 m.一 H(2)由题设知 d=AB,得

19、tan “=-.由 AB= AD BD =tan 3 tan 6/日 H-h:信tan片下.所以 tan( a- 9 =tan a tan 31 + tan 就an 3hd H(Hh.) 2)H(H-h ) d当且仅当d=Hm)d即 d = 'h(H h 尸寸125X (1254 尸 55寸5时,上式取等号,所以当 d = 5545时，tan(a3)最大.因为0V为必2,则0< “一为2r,所以当d=55亚时，a 3最大.变式迁移3 解 设/POB=。，四边形面积为y, 则在4POC中，由余弦定理得PC2= OP2 + OC2-2OP OCcos 0= 54cos 0.cc1 .

20、八以 y= Sopc+ SApcd= 2 X 1 X 2sin 0+ 4 (5 4cos 0)= 2sin（$ +乎.当-3=2,即 0=刹，ymax=2十岁.所以四边形OPDC面积的最大值为2+呼. 课后练习区1. D 2.A 3.C 4.C5.C6. 30 2 km7.0.6708.43解析50t.如图所示：设th后，汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD = 80t, BE =因为 AB = 200,所以 BD = 200-80t, 问题就是求DE最小时t的值.由余弦定理得，DE2 = BD2+BE22BD BEcos 60 °=(200 80t)2+ 2500t2- (

21、200 80t) 50t=12900t2 42000t+ 40000.当t=70时，DE最小.9.解 在AACD 中，ZDAC = 30°,/ ADC = 60 - Z DAC = 30°, 所以 CD = AC = 0.1. (2分）又 / BCD =180O-60O-60O = 60°, 所以ABCA CBD,所以 BA= BD.(6分)分）在ABC中,即AB =ABACsin/BCA sin/ABC'AC sin 60 ° 3血+ 脏sin 1520，(10所以 BD=3V220 V60.33(km).故B、D的距离约为 0.33 km.-(12分）10.解分）分）如图，连接A1B2,由题意知，A1B1 = 20, A2B2= 10>2, 20-A1A2=X30W=10W（海里）.又B2A2A1=180°120° = 60°,， A1A2B2是等边三角形，/ B1A1B2=105°-60 =45O.在A1B2B1中，由余弦定理得BiB2= AiB2+AiB2- 2A1B1 AiB2cos 45=202+ （10平）2 2 X 20X 102 X 平=200,，BiB2=1072（海里）.因此乙船的