第四章第三节

1、1第三节平面向量的数量积第三节平面向量的数量积21平面向量的数量积平面向量的数量积(1)数量积的定义：已知两个非零向量数量积的定义：已知两个非零向量a和和b，它们的夹角，它们的夹角为为，则向量，则向量a与与b的数量积是数量的数量积是数量_，记作，记作ab，即，即ab_规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为_(2)向量的投影：设向量的投影：设为为a与与b的夹角，则向量的夹角，则向量a在在b方向上方向上的投影是的投影是_；向量；向量b在在a方向上的投影是方向上的投影是_(3)数量积的几何意义：数量积数量积的几何意义：数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与_的乘积的乘积

2、|a|b|cos |a|b|cos 0|a|cos |b|cos b在在a的方向上的投影的方向上的投影|b|cos 32平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律(1)交换律：交换律：abba；(2)数乘结合律：数乘结合律：(a)b_；(3)分配律：分配律：a(bc)_(ab)a(b)abac43平面向量数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量为向量a，b的的夹角夹角561若若abbc，则，则ac吗？吗？【提示提示】不一定不一定b0时就不成立时就不成立2(ab)ca(bc)一定成立吗？一定成立吗？【提示提示】不

3、一定成立不一定成立(ab)c是与是与c平行的向量，平行的向量，a(bc)是与是与a平行的向量而平行的向量而a与与c关系不确定，故关系不确定，故(ab)ca(bc)不一定成立不一定成立73你能根据数量积的定义证明：你能根据数量积的定义证明：|a|b|ab|a|b|吗？吗？【提示提示】设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为，则，则ab|a|b|cos ，0，1cos 1，|a|b|ab|a|b|.8【答案答案】C9【解析解析】|ab|a|b|cos |，故，故B错误错误【答案答案】B10【答案答案】D11【解析解析】ab(1，1)(2，x)2x1x1.【答案答案】D125已知已知a(1，3)，b(4

4、，6)，c(2，3)，则，则(bc)a等于等于()A(26，78) B(28，42)C52 D78【解析解析】bc426326，(bc)a(26，78)【答案答案】A131415(2) 如图所示，以如图所示，以AB，AD所在所在的直线分别为的直线分别为x轴和轴和y轴建立平面直角轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为坐标系，由于正方形边长为1，故，故B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)又又 E 在在 A B 边 上 ， 故 设边 上 ， 故 设 E ( t ，0)(0t1)16【答案答案】(1)16(2)11 17181920 (1)(2012安徽高考安徽高考)设向量设向量a(1，2m)，b

5、(m1，1)，c(2，m)若若(ac)b，则，则|a|_(2)(2013郑州模拟郑州模拟)已知已知a与与b为两个不共线的单位向量，为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量为实数，若向量ab与向量与向量kab垂直，则垂直，则k_【思路点拨思路点拨】(1)求出求出ac的坐标后，利用的坐标后，利用(ac)b0求出求出m；(2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于k的方程，进而解方程求的方程，进而解方程求k的值的值21221(1)非零向量垂直的充要条件：非零向量垂直的充要条件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.(2)本例本例(2)中常见的错

6、误是不能利用中常见的错误是不能利用条件判定条件判定ab1，导致求解受阻，导致求解受阻2(1)abab0是对非零向量而言的，若是对非零向量而言的，若a0时，时，ab0，但不能说，但不能说ab.(2)abab0，体现了，体现了“形形”与与“数数”的转化，用之可解决几何问题中的线线垂直问题的转化，用之可解决几何问题中的线线垂直问题 23(2012江西高考江西高考)设单位向量设单位向量m(x，y)，b(2，1)若若mb，则，则|x2y|_242526271(1)在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量的数量积，注意避免错用公式如的数量积，注意避免错用公式如a

7、2|a|2是正确的，而是正确的，而ab|a|b|和和|ab|a|b|都是错误的都是错误的(2)研究向量的夹角应注研究向量的夹角应注意意“共起点共起点”；由于两个非零共线向量有方向相同和方向；由于两个非零共线向量有方向相同和方向相反两种情况，故它们的夹角分别是相反两种情况，故它们的夹角分别是0与与180.2(1)求两向量的夹角，进而确定两直线的夹角时，要求两向量的夹角，进而确定两直线的夹角时，要注意两者的区别与联系注意两者的区别与联系(2)求向量的长度，进而可解决平面求向量的长度，进而可解决平面上两点间的距离，求线段的长度问题上两点间的距离，求线段的长度问题282930两个非零向量垂直的充要条件

8、：两个非零向量垂直的充要条件：abab0. 1.若若ab0，能否说明，能否说明a和和b的夹角为锐角？的夹角为锐角？2若若ab0，能否说明，能否说明a和和b的夹角为钝角？的夹角为钝角？3132向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量中低档题目平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题；解答题以向量为载体，常与积的性质常以客观题形式命题；解答题以向量为载体，常与平面几何、三角函数、解三角形、解析几何知识交汇命题，平面几何、三角函数、解三角形、解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想主要考查运算能力及数形结合思想3334【答案答案】D35361(2012辽宁高考辽宁高考)已知两个非零向量已知两个非零向量a，b满足满足|