A23高阶导数课件

1、A23高阶导数PPT课件2-3P970高阶导数的定义高阶导数的定义0高阶导数求法举例高阶导数求法举例A23高阶导数PPT课件一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx A23高阶导数PPT课件记

2、作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxfA23高阶导数PPT课件二、二、

3、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.A23高阶导数PPT课件例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n

4、) !()1( nyn. 0 A23高阶导数PPT课件例例3 3.),1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n阶导数时阶导数时,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导阶导数数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)A23高阶导数PPT课件例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(c

5、os)( nxxn同理可得同理可得A23高阶导数PPT课件例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求为为常常数数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab A23高阶导数PPT课件2. n阶导数的运算法则阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnC

6、uCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式A23高阶导数PPT课件例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxexA23高阶导数PPT课件3.3.间接法间接法: :常用高阶导数公式常用

7、高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则1)(!)1()1( nnnxnx运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.A23高阶导数PPT课件例例7 1)7 1).,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(

8、16066 xxA23高阶导数PPT课件.,21)(2nyxxy求求 解解 解解例例8 1)8 1)2111(31 xxy)2(1)1(1)!1()1(31)1()(nnnnxxny 2).,cos)(2nyxy求求 xxxy2sinsincos2 )2)1(2sin(21)( nxynnA23高阶导数PPT课件2)2).,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynnA23高阶导数PPT课件Z 思考思考2、设、设 连续，且连续，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 1 1、已知函数、已知函数)(xf具有任意阶导数，且具有任意阶导数，且 2)()(xfxf , ,则当则当n为大于为大于 2 2 的正整数时，的正整数时，)(xf的的 n n 阶导数阶导数)()(xfn是是: : （A A）1)(! nxfn； （B B） 1)( nxfn； （C C） nxf2)(； （D D）nxfn2)(!. .1,1,2332223阶阶导导数数的的、求求nxxyxxyxxxy A