BIT73全微分课件

1、BIT73全微分PPT课件2009-2010学年第二学期学年第二学期BIT73全微分PPT课件BIT73全微分PPT课件),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义BIT73全微分PPT课件全增量的概念全增量的概念BIT73全微分PPT课件全微分的定义全微分的定义BIT73全微分PPT课件 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可

2、可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.BIT73全微分PPT课件二、可微的条件二、可微的条件BIT73全微分PPT课件证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分,)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此时此时|x ,),(),(yx

3、fyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB BIT73全微分PPT课件一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxffBIT73全微分PPT课件)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,

4、0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函数数在在点点)0 , 0(处处不不可可微微.BIT73全微分PPT课件说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf BIT73全微分PPT课件),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 y

5、x时时，01 .其其中中1 为为yx ,的的函函数数,BIT73全微分PPT课件xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 当当0 y时时，02 ,BIT73全微分PPT课件习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的

6、微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况BIT73全微分PPT课件解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分BIT73全微分PPT课件解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 BIT73全微分PPT课件解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz BI

7、T73全微分PPT课件BIT73全微分PPT课件证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故故函函数数在在点点)0 , 0(连连续续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yfBIT73全微分PPT课件当当)0 , 0(),( yx时时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|

8、21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.BIT73全微分PPT课件所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不连连续续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0)0,0( dfBIT73全微分PPT课件多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导BIT73全微分PPT课件全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用1 - 近似

9、计算近似计算都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx BIT73全微分PPT课件解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1

10、(02. 2 .08. 1 BIT73全微分PPT课件全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用2 - 误差估计误差估计的的绝绝对对误误差差限限。分分别别叫叫做做则则如如果果的的近近似似值值，分分别别是是精精确确值值，分分别别是是各各变变量量的的设设函函数数000000000000000,)(),(),(),(|),(|),(|,),(zyxzyxzzzyyyxxxzyxzyxzyxyxfz BIT73全微分PPT课件的相对误差限。的相对误差限。分别叫做分别叫做则数则数如果如果000000000000000,)(),(),(),(),(),(zyxzyxzzzzyyyyxxxxrrrrr

11、r .|)()(,|)()(,|)()(000000000zzzyyyxxxrrr 从而有从而有BIT73全微分PPT课件),)(,()(,(),(),(),(000000000000yyyxfxxyxfdzzzzyxfzyxyxfzyx ，则由，则由可微，可微，在点在点设函数设函数下面利用全微分给出函数的误差限下面利用全微分给出函数的误差限与自变量的误差限之间的关系。与自变量的误差限之间的关系。BIT73全微分PPT课件| )(,()(,(|0000000yyyxfxxyxfzzyx 有有| )(|),(| )(|),(|000000yyyxfxxyxfyx ),(| ),(|)(| ),(

12、|000000yyxfxyxfyx BIT73全微分PPT课件).(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()(00000000000000000000000yyxfyxfyxyxfyxfxyyxfyxfxyxfyxfzryrxyxr 由上式又可得由上式又可得函函数数的的误误差差估估计计公公式式),(yxfz ).(| ),(|)(| ),(|)(0000000yyxfxyxfzyx 所所以以取取BIT73全微分PPT课件解解.,),(分分别别为为长长和和宽宽和和设设长长方方形形的的面面积积为为函函数数yxxyyxfz .05. 0)(,05. 0)(,45,800000

13、yxyx 根根据据题题意意有有BIT73全微分PPT课件)(| ),(|)(| ),(|)(0000000yyxfxyxfzyx 故故%.17. 0458025. 6|)()(0000 yxxzr )(|)(|0000yxxy .25. 605. 08005. 045 BIT73全微分PPT课件多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结三、小结BIT73全微分PPT课件作业作业 P76,2，3，4, 5BIT73全微分PP

14、T课件 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题BIT73全微分PPT课件一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyez , ,则则 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)

15、ln(222zyxu , ,则则 du_._.3 3、 若函数若函数xyz , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, ,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 数若 函 数yxxyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.练练 习习 题题BIT73全微分PPT课件二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器

16、, ,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内高为cm20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相对对误误差差之之和和. .BIT73全微分PPT课件七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. .BIT73全微分PPT课件一、一、1